1、1第 23 讲 与几何相关的应用题1.(2018 南京金陵中学、海安高级中学、南京外国语学校高三模拟)如图,OM,ON 是某景区的两条道路(宽度忽略不计),其中 OM 为东西走向,Q 为景区内一景点,A 为道路 OM 上一游客休息区.已知 tanMON=-3,OA=6 百米,Q 到直线 OM,ON 的距离分别为 3 百米, 百米.现新修一条自 A 经过 Q 的有轨观光直路并6105延伸与道路 ON 交于点 B,并在 B 处修建一游客休息区.(1)求有轨观光直路 AB 的长;(2)已知在景点 Q 的正北方 6 百米的 P 处有一大型音乐喷泉组合,喷泉表演一次的时长为 9 分钟.表演时,喷泉喷洒区
2、域以 P 为圆心,r 为半径且变化,且 t 分钟时,r=2 百米(0t9,00),由 = ,解得 x0=3(舍 x=-5),所以 Q(3,3).|3x0+3|106105故直线 AQ 的方程为 y=-(x-6),即 x+y-6=0, 解得 x=-3,y=9,y= -3x,x+y-6=0,即 B(-3,9).所以 AB=9 .2(2)将喷泉记为圆 P,由题意可得 P(3,9),设 t 分钟时,观光车在直路 AB 上的点 C 处,则 BC= t,0t9,2所以 C(-3+t,9-t).若喷泉不会洒到观光车上,则 PC2r2对 t0,9恒成立,即 PC2=(6-t)2+t2=2t2-12t+364a
3、t,当 t=0 时,上式成立,当 t0,9时,2at+ -6, =6 -6,当且仅当 t=3 时取等号,18t (t+18t-6)min2 2因为 a(0,1),所以 rPC 恒成立,即观光车不会被喷泉喷洒到.2.解析 以 AD 所在直线为 x 轴,以线段 AD 的中垂线为 y 轴建立平面直角坐标系.(1)直线 PB 的方程为 y=2x,半圆 O 的方程为 x2+y2=402(y0),由 得 y=16 .所以点 P 到 AD 的距离为 16 m.y=2x,x2+y2=402(y 0), 5 5(2)由题意,得 P(40cos,40sin).直线 PB 的方程为 y+80= (x+40),sin
4、 +2cos +1令 y=0,得 xE= -40= .80cos +80sin +2 80cos -40sinsin +2直线 PC 的方程为 y+80= (x-40),sin +2cos -1令 y=0,得 xF= +40= .80cos -80sin +2 80cos +40sinsin +24所以 EF 的长度为 f()=x F-xE= ,80sinsin +2 .(0, 2)区域 IV、VI 的面积之和为 S1= 80= ,12 (80- 80sinsin +2) 6400sin +2区域 II 的面积为 S2= EF40sin= 40sin= ,12 12 (80sinsin +2) 1600sin2sin +2所以 S1+S2= .1600sin2 +6400sin +2 (0 2)设 sin+2=t,则 2t3,S1+S2= =1600 1600(4 -4)=6400( -1),1600(t-2)2+6400t (t+8t-4) 2 2当且仅当 t=2 ,即 sin=2 -2 时“=”成立.2 2此时休闲区域 II、IV、VI 的面积 S1+S2最小,即绿化区域面积之和最大.
