1、1重难强化练（四） 双星模型+卫星变轨问题1(多选)甲、乙两恒星相距为 L，质量之比 ，它们离其他天体都很遥远，我们m甲m乙 23观察到它们的距离始终保持不变，由此可知( )A两恒星一定绕它们连线的某一位置做匀速圆周运动B甲、乙两恒星的角速度之比为 23C甲、乙两恒星的线速度之比为 3 2D甲、乙两恒星的向心加速度之比为 32解析：选 AD 根据题目描述的这两颗恒星的特点可知，它们符合双星的运动规律，即绕它们连线上某一位置做匀速圆周运动，A 正确。它们的角速度相等，B 错误。由 m 甲 a 甲 m 乙 a 乙 ，所以 ，D 正确。由 m 甲 甲 v 甲 m 乙 乙 v 乙 ，所以 ，a甲a乙
2、m乙m甲 32 v甲v乙 m乙m甲 32C 错误。2双星系统由两颗恒星组成，两恒星在相互引力的作用下，分别围绕其连线上的某一点做周期相同的匀速圆周运动。研究发现，双星系统演化过程中，两星的总质量、距离和周期均可能发生变化。若某双星系统中两星做圆周运动的周期为 T，经过一段时间演化后，两星总质量变为原来的 k 倍，两星之间的距离变为原来的 n 倍，则此时圆周运动的周期为( )A. T B. Tn3k2 n3kC. T D. Tn2k nk解析：选 B 设原来双星间的距离为 L，质量分别为 M、 m，圆周运动的圆心距质量为m 的恒星距离为 r。对质量为 m 的恒星： G m 2rMmL2 (2T)
3、对质量为 M 的恒星： G M 2(L r)MmL2 (2T)得 G LM mL2 4 2T2即 T24 2L3G M m则当总质量为 k(M m)，间距为 L nL 时， T T，选项 B 正确。n3k3某宇宙飞船在月球上空以速度 v 绕月球做圆周运动。如图 1 所示，为了使飞船安全地落在月球上的 B 点，在轨道 A 点点燃火箭发动器做短时间的发动，向外喷射高温燃气，喷气的方向为( )2图 1A与 v 的方向相反B与 v 的方向一致C垂直 v 的方向向右D垂直 v 的方向向左解析：选 B 要使飞船降落，必须使飞船减速，所以喷气方向应该与 v 方向相同，因此 B 正确。4.如图 2 所示，宇宙
4、飞船 A 在低轨道上飞行，为了给更高轨道的空间站 B 输送物资，它可以采用喷气的方法改变速度，从而达到改变轨道的目的，则以下说法正确的是( )图 2A它应沿运行速度方向喷气，与 B 对接后运行周期变小B它应沿运行速度的反方向喷气，与 B 对接后运行周期变大C它应沿运行速度方向喷气，与 B 对接后运行周期变大D它应沿运行速度的反方向喷气，与 B 对接后运行周期变小解析：选 B 飞船由低轨道向高轨道运行时，需要提高在轨道上的运行速度，增加轨道高度才能使宇宙飞船 A 到达更高轨道与空间站 B 对接；由 G mr 可知， r 增大， TMmr2 4 2T2变大，故 B 正确。5我国“嫦娥一号”探月卫星
5、发射后，先在“24 小时轨道”上绕地球运行(即绕地球一圈需要 24 小时)；然后，经过两次变轨依次到达“48 小时轨道”和“72 小时轨道” ；最后奔向月球。如果按圆形轨道计算，并忽略卫星质量的变化，则在每次变轨完成后与变轨前相比( )A卫星动能增大，引力势能减小B卫星动能增大，引力势能增大C卫星动能减小，引力势能减小D卫星动能减小，引力势能增大3解析：选 D 卫星在圆形轨道上运动时，万有引力提供其做圆周运动的向心力，由G m mr ，得 r ， v 。因为在变轨过程中，卫星周期 T 增大，所以Mmr2 v2r 4 2T2 3GMT24 2 GMr轨道半径 r 增大，速率 v 减小，即卫星动能
6、减小，又因为卫星在变轨前后机械能增大，因而引力势能增大，故 D 正确。6探测器绕月球做匀速圆周运动，变轨后在周期较小的轨道上仍做匀速圆周运动，则变轨后与变轨前相比( )A轨道半径变小 B向心加速度变小C线速度变小 D角速度变小解析：选 A 探测器绕月球做圆周运动的向心力由月球的万有引力提供，由 G mMmr2r，得周期 T2 ，当周期变小时，轨道半径 r 变小，选项 A 正确；由 G ma m4 2T2 r3GM Mmr2 mr 2，得向心加速度 a G ，线速度 v ，角速度 ，可见，轨道半径 rv2r Mr2 GMr GMr3变小时，向心加速度、线速度和角速度都将变大，选项 B、C、D 均
7、错误。7.如图 3 所示 ，一飞行器围绕地球沿半径为 r 的圆轨道 1 运动。经 P 点时，启动推进器短时间向前喷气使其变轨，2、3 是与轨道 1 相切于 P 点的可能轨道。则飞行器( )图 3A变轨后将沿轨道 2 运动B相对于变轨前运行周期变长C变轨前、后在两轨道上经 P 点的速度大小相等D变轨前、后在两轨道上经 P 点的加速度大小相等解析：选 D 推进器短时间向前喷气，飞行器将被减速，故选项 C 错误；此时有G m ，所以飞行器将做向心运动，即变轨后将沿较低轨道 3 运动，故选项 A 错误；根Mmr2 v2r据开普勒第三定律可知，公转周期将变短，故选项 B 错误；由于变轨前、后在两轨道上经
8、P 点时，所受万有引力不变，因此加速度大小不变，故选项 D 正确。8天文学家将相距较近、仅在彼此的引力作用下运行的两颗恒星称为双星。双星系统在银河系中很普遍，假设宇宙空间中由甲、乙两星构成的双星系统，正以相同的周期 T 绕它们的连线上某点做匀速圆周运动，双星中心相距为 R，甲星的质量大于乙星的质量。若4采取措施将乙星上的物质，搬走质量 m 到甲星上去，保持距离 R 不变，设它们做匀速圆周运动的周期为 T，引力常量为 G。则下列结论正确的是( )A利用上述数据可求出双星的总质量B圆周运动的圆心将向乙星移动C周期 T将小于 TD甲、乙两星运动的线速度均增大解析：选 A 设甲、乙两星质量分别为 M1
9、和 M2，甲、乙到圆心的距离分别为 l1和 l2。由万有引力提供向心力得对 M1有 G M1 2l1M1M2R2 (2T)对 M2有 G M2 2l2M1M2R2 (2T)两式相加整理得 M1 M2 (l1 l2)4 2R2GT2 4 2R3GT2所以，可求出双星的总质量。由质量和的表达式知，周期 T 只与二者间的距离 R 以及二者质量和有关，则 T T。由 M1 2l1 M2 2l2知，若将乙星上的物质搬到甲星上去，乙的半径 l2将增大，圆周运动的圆心将向甲星移动。因周期不变，则角速度不变，甲的半径 l1减小，甲的线速度减小，综上所述，本题答案为 A。9银河系的恒星中大约四分之一是双星。某双
10、星由质量不等的星体 S1和 S2构成，两星在相互之间的万有引力作用下绕两者连线上某一定点 C 做匀速圆周运动。由天文观测得其周期为 T， S1到 C 点的距离为 r1， S1和 S2的距离为 r，已知万有引力常量为 G。由此可求出 S2的质量为( )A. B.4 2r2 r r1GT2 4 2r13GT2C. D.4 2r3GT2 4 2r2r1GT2解析：选 D 设 S1、 S2两星体的质量分别为 m1、 m2，根据万有引力定律和牛顿定律得：对 S1有 G m1 2r1，m1m2r2 (2T)解之可得 m2 。4 2r2r1GT2所以正确选项是 D。10.某宇宙飞船由运载火箭先送入近地点为
11、A、远地点为 B 的椭圆轨道，在 B 点实施变轨后，再进入预定圆轨道，如图 4 所示。已知飞船在预定圆轨道上飞行 n 圈所用时间为t，近地点 A 距地面高度为 h1，地球表面重力加速度为 g，地球半径为 R。求：5图 4(1)飞船在近地点 A 的加速度 aA为多大？(2)远地点 B 距地面的高度 h2为多少？解析：(1)设地球质量为 M，飞船的质量为 m，在 A 点飞船受到的地球引力为 F G，地球表面的重力加速度 g GMm R h1 2 MR2由牛顿第二定律得 aA 。Fm GM R h1 2 gR2 R h1 2(2)飞船在预定圆轨道飞行的周期 Ttn由牛顿第二定律得 G m 2(R h
12、2)Mm R h2 2 (2T)解得 h2 R。3gR2t24 2n2答案：(1) (2) RgR2 R h1 2 3gR2t24 2n211质量分别为 m1和 m2的两个天体，相距 r。其他天体离它们很远，以至可以认为这两个天体除相互之间的万有引力外不受其他外力作用，这两个天体被称为双星，双星能够保持距离 r 不变，是由于它们绕着共同的中心(质心)做匀速圆周运动，它们之间的万有引力提供做匀速圆周运动的向心力，试分析、计算：(1)共同中心(质心)在何处？两个天体到共同中心 O 的距离 r1、 r2各为多大？(2)两个天体绕共同中心 O 转动的角速度、线速度、周期各多大？解析：(1)由于两个天体
13、(视作质点)间相互作用的万有引力方向均沿两个天体的连线，所以共同中心(质心) O 一定位于连线上(如图所示)。两个天体绕 O 以角速度 做匀速圆周运动，据此可列出两个天体的运动方程：m1 2r1 G m1m2r2m2 2r2 G m1m2r2联立解得 m1r1 m2r2根据题意 r1 r2 r，可得 r1 r， r2 r。m2m1 m2 m1m1 m26(2)由方程及 r1、 r2的表达式，经简单推演，即可得角速度、线速度、周期表达式如下 ； v1 r 1 m21rG m1 m2r Gr m1 m2v2 r 2 m1 ；Gr m1 m2T 2 r 。2 rG m1 m2答案：见解析12神奇的黑
14、洞是近代引力理论所预言的一种特殊天体，探寻黑洞的方案之一是观测双星系统的运动规律。天文学家观测河外星系大麦哲伦云时，发现了 LMCX3 双星系统，它由可见星 A 和不可见的暗星 B 构成，两星均可视为质点，不考虑其他天体的影响， A、 B 围绕二者连线上的 O 点做匀速圆周运动，它们之间的距离保持不变，如图 5 所示。引力常量为 G，由观测能够得到可见星 A 的速率 v 和运行周期 T。图 5(1)可见星 A 所受暗星 B 的引力 FA可等效为位于 O 点处质量为 m的星体(视为质点)对它的引力，设 A 和 B 的质量分别为 m1、 m2，试求 m的表达式(用 m1、 m2表示)。(2)求暗星
15、 B 的质量 m2与可见星 A 的速率 v、运行周期 T 及质量 m1之间的关系式。(3)恒星演化到末期，如果其质量大于太阳质量 mS的 2 倍，它将有可能成为黑洞。若可见星 A 的速率 v2.710 5 m/s，运行周期 T4.710 4 s，质量 m16 mS，试通过估算来判断暗星 B 有可能是黑洞吗？( G6.6710 11 Nm2/kg2， mS2.010 30 kg)解析：(1)设 A、 B 的圆轨道半径分别为 r1、 r2，由题意知， A、 B 做匀速圆周运动的角速度相同，设为 0，根据牛顿运动定律，有 FA m1 02r1， FB m2 02r2， FA FB设 A、 B 之间的
16、距离为 r，有 r r1 r2由上述各式得 r r1m1 m2m2由万有引力定律，有 FA Gm1m2r2将式代入得 FA Gm1m23 m1 m2 2r127又 FA Gm1mr12可得 m 。m23 m1 m2 2(2)根据牛顿第二定律，有 G m1 m1mr12 v2r1又可见星 A 的轨道半径 r1 vT2由式可得 。m23 m1 m2 2 v3T2 G(3)将 m16 mS代入式得 m23 6mS m2 2 v3T2 G代入数据，得 6.910 30 kg3.45 mSm23 6mS m2 2设 m2 nmS(n0)，将其代入式，得 mS3.45 mSm23 6mS m2 2 n(6n 1)2可见， 的值随 n 的增大而增大，试令 n2，得m23 6mS m2 2mS0.125 mS3.45 mSn(6n 1)2若使式成立，则 n 必须大于 2，即暗星 B 的质量 m2必须大于 2mS，由此得出结论：暗星 B 有可能是黑洞。答案：见解析
