1、1第 4讲万有引力定律及其应用主干知识体系 核心再现及学科素养知识规律(1)一条黄金代换： GM gR2.(2)两条基本思路天体附近： G mg.MmR2环绕卫星： G m mr 2 mr 2.Mmr2 v2r (2T)(3)两类卫星近地卫星： G mg m .MmR2 v2R同步卫星： G m(R h)MmR h22(T24 h)(2T)(4)双星： m1 2r1 m2 2r2Gm1m2L2r1 r2 L思想方法(1)物理思想：估算的思想、物理模型的思想(2)物理方法：放大法、假设法、近似法.1(2018全国卷，20)(多选)2017 年，人类第一次直接探测到来自双中子星合并的引力波根据科学
2、家们复原的过程，在两颗中子星合并前约 100 s时，它们相距约 400 km，绕二者连线上的某点每秒转动 12圈将两颗中子星都看作是质量均匀分布的球体，由这些数据、万有引力常量并利用牛顿力学知识，可以估算出这一时刻两颗中子星( )A质量之积 B质量之和C速率之和 D各自的自转角速度BC 两颗中子星运动到某位置的示意图如图所示2每秒转动 12圈，角速度已知，中子星运动时，由万有引力提供向心力得 m1 2r1Gm1m2l2 m2 2r2Gm1m2l2l r1 r2由式得 2l，Gm1 m2l2所以 m1 m2 ， 2l3G质量之和可以估算由线速度与角速度的关系 v r 得v1 r 1v2 r 2由
3、式得 v1 v2 (r1 r2) l ，速率之和可以估算质量之积和各自自转的角速度无法求解2(2018全国卷，16)2018 年 2月，我国 500 m口径射电望远镜(天眼)发现毫秒脉冲星“J03180253” ，其自转周期 T5.19 ms.假设星体为质量均匀分布的球体，已知万有引力常量为 6.671011 Nm2/kg2.以周期 T稳定自转的星体的密度最小值约为( )A510 9kg/m2 B510 12kg/m3C510 15kg/m3 D510 18kg/m3C 脉冲星自转，边缘物体 m恰对球体无压力时万有引力提供向心力，则有 G mrMmr2，4 2T2又知 M r343整理得密度
4、kg/m33GT2 33.146.6710 115.1910 325.210 15kg/m3.3(2018全国卷，15)为了探测引力波， “天琴计划”预计发射地球卫星 P，其轨道半径约为地球半径的 16倍；另一地球卫星 Q的轨道半径约为地球半径的 4倍 P与 Q的周期之比约为( )A21 B41C81 D1613C 由 G mr 知， ，则两卫星 .Mmr2 4 2T2 T2r3 4 2GM T2PT2Q r3Pr3Q因为 rP rQ41，故 TP TQ81.4(2018天津卷，6)(多选)2018 年 2月 2日，我国成功将电磁监测试验卫星“张衡一号”发射升空，标志我国成为世界上少数拥有在轨
5、运行高精度地球物理场探测卫星的国家之一通过观测可以得到卫星绕地球运动的周期，并已知地球的半径和地球表面处的重力加速度若将卫星绕地球的运动看作是匀速圆周运动，且不考虑地球自转的影响，根据以上数据可以计算出卫星的( )A密度 B向心力的大小C离地高度 D线速度的大小CD 设人造地球卫星的周期为 T，地球质量和半径分别为 M、 R，卫星的轨道半径为r，则在地球表面： G mg， GM gR2MmR2对卫星：根据万有引力提供向心力，有G m 2rMmr2 (2T)联立式可求轨道半径 r，而 r R h，故可求得卫星离地高度由v r r ，从而可求得卫星的线速度2T卫星的质量未知，故卫星的密度不能求出，
6、万有引力即向心力 Fn G 也不能求Mmr2出故选项 C、D 正确5(2016高考全国卷，17)利用三颗位置适当的地球同步卫星，可使地球赤道上任意两点之间保持无线电通讯目前，地球同步卫星的轨道半径约为地球半径的 6.6倍假设地球的自转周期变小，若仍仅用三颗同步卫星来实现上述目的，则地球自转周期的最小值约为( )A1 h B4 hC8 h D16 hB 地球自转周期变小，卫星要与地球保持同步，则卫星的公转周期也应随之变小，4由开普勒第三定律 k可知卫星离地球的高度应变小，要实现三颗卫星覆盖全球的目的，r3T2则卫星周期最小时，由数学几何关系可作出他们间的位置关系如图所示卫星的轨道半径为 r 2
7、RRsin 30由 得 .r31T21 r32T2 6.6R3242 2R3T2解得 T24 h考情分析命题特点与趋势1近几年有关万有引力定律及其应用的题目在高考中通常以选择题的形式出现，极个别情况下会出现在计算题中，难度一般中等；在考查内容上一般考查对描述天体运动参量间的关系、天体质量(密度)的估算、万有引力定律等基本概念和基本规律的理解与应用，有时还会涉及能量知识，同时还会考查运用控制变量法进行定性判断或定量计算的能力2从命题趋势上看，分析人造卫星的运行规律，仍是考试中的热点，以近几年中国及世界空间技术和宇宙探索为背景的题目备受青睐，会形成新情景的物理题解题要领1正确理解万有引力及万有引力
8、定律，掌握天体质量和密度的估算方法，熟悉一些天体的运行常识2结合牛顿第二定律、向心力公式和万有引力定律分析计算卫星运行及卫星变轨问题高频考点一 万有引力定律及天体质量和密度的求解备考策略1利用天体表面的重力加速度 g和天体半径 R.由于 G mg，故天体质量 M ，天体密度 .MmR2 gR2G MV M43 R3 3g4 GR2通过观察卫星绕天体做匀速圆周运动的周期 T和轨道半径 r.5(1)由万有引力等于向心力，即 G m r，得出中心天体质量 M ；Mmr2 4 2T2 4 2r3GT2(2)若已知天体半径 R，则天体的平均密度 ；MV M43 R3 3 r3GT2R3(3)若天体的卫星
9、在天体表面附近环绕天体运动，可认为其轨道半径 r等于天体半径R，则天体密度 .可见，只要测出卫星环绕天体表面运动的周期 T，就可估算出中心3GT2天体的密度题组突破11.理论上已经证明：质量分布均匀的球壳对壳内物体的万有引力为零现假设地球是一半径为 R、质量分布均匀的实心球体， O为球心，以 O为原点建立坐标轴 Ox，如图所示，一个质量一定的小物体(假设它能够在地球内部移动)在 x轴上各位置受到的引力大小用 F表示，则选项所示的四个 F随 x变化的关系图中正确的是( )A 选 A.因为质量分布均匀的球壳对壳内物体的万有引力为零，则在距离球心 x处(x R)物体所受的引力为 F G mx x，故
10、 F x图线是过原点GM1mx2 G43 x3 mx2 43的直线；当 xR时， F ，故选项 A正确GMmx2 G43 R3 mx2 4G mR33x2 1x212.(2018湖北省麻城一中高考冲刺模拟)宇宙中有两颗相距很远的行星 A和 B，它们的半径分别为 RA和 RB.两颗行星周围卫星的轨道半径的三次方( r3)与运行周期的平方( T2)的关系如图所示； T0为两颗行星近地卫星的周期，则( )6A行星 A的质量小于行星 B的质量B行星 A的密度小于行星 B的密度C行星 A的第一宇宙速度等于行星 B的第一宇宙速度D若两卫星轨道半径相等，行星 A的卫星向心加速度大于行星 B的卫星向心加速度D
11、 A.根据万有引力提供向心力，有： ，解得 T ，对于环绕行GMmR2 mR4 2T2 4 2R3GM星 A表面运行的卫星，有：T 0 ，对于环绕行星 B表面运行的卫星，有 T04 2R3AGMA，联立解得 ，由图知 RARB，所以 MAMB，故 A错误；B. A行星质量为：4 2R3BGMB R3AMA R3BMBMA A R ， B行星的质量为： MB B R ，代入解得 ，43 3A 43 3B R3A A43 R3A R3B B43 R3B解得 A B，故 B错误；C、行星的近地卫星的线速度即第一宇宙速度，根据万有引力提供向心力，有： ，解得GMmR2 mv2Rv R R，因为 RAR
12、B，所以 vAvB，故 C错误；D、根据GMR G 43 R3R 43 G ma知， a ，由于 MAMB，行星运动的轨道半径相等，则行星 A的卫星的向心加速GMmr2 GMr2度大于行星 B的卫星的向心加速度，故 D正确；故选 D.13.(2018山东省潍坊市昌乐县二中高三下学期质检)已知某星球的第一宇宙速度与地球相同，其表面的重力加速度为地球表面重力加速度的一半，则该星球的平均密度与地球平均密度的比值为( )A116 B161 C41 D14D 根据 mg m 得，第一宇宙速度 v ，因为星球和地球的第一宇宙速度相同，v2R gR表面的重力加速度为地球表面重力加速度的一半，则星球的半径是地
13、球半径的 2倍，根据G mg知， M ，知星球的质量是地球质量的 2倍，根据 知，星球的平MmR2 gR2G MV M43 R37均密度与地球平均密度的比值为 14，故 D正确，A、B、C 错误故选 D.高频考点二 天体和卫星的运行备考策略1熟记卫星的绕行速度 v、角速度 、周期 T与轨道半径 r的关系(1)由 G m ，得 v ，则 r越大， v越小Mmr2 v2r GMr(2)由 G m 2r，得 ，则 r越大， 越小Mmr2 GMr3(3)由 G m r，得 T2 ，则 r越大， T越大Mmr2 4 2T2 r3GM2第一宇宙速度是指发射人造地球卫星的最小发射速度，也是人造卫星环绕地球运
14、动的最大环绕速度其求解方法是： G m .MmR2 v2R3同步卫星的周期与地球的自转周期相同，是 24 h，同步卫星只能定点于赤道上空，其离地高度是一定的，速度大小是确定的命题视角考向 1 卫星的 a、 v、 、 T与半径 r的关系例 1 (多选)卫星 A、 B的运行方向相同，其中 B为近地卫星，某时刻，两卫星相距最近( O、 B、 A在同一直线上)，已知地球半径为 R，卫星 A离地心 O的距离是卫星 B离地心的距离的 4倍，地球表面重力加速度为 g，则( )A卫星 A、 B的运行周期的比值为 TATB 41B卫星 A、 B的运行线速度大小的比值为 vAvB 12C卫星 A、 B的运行加速度
15、的比值为 aAaB 14D卫星 A、 B至少经过时间 t ，两者再次相距最近167 RgBD 由地球对卫星的引力提供向心力 G m r知 T2 ，而 rA4 rB，Mmr2 4 2T2 r3GM r3所以卫星 A、 B的运行周期的比值为 ，A 项错误；同理，由 G m 得 v ，TATB 81 Mmr2 v2r GMr 1r8所以卫星 A、 B的运行线速度大小的比值为 ，B 项正确；由 G ma得 a ，所vAvB 12 Mmr2 GMr2 1r2以卫星 A、 B的运行加速度的比值为 ，C 项错误；由 T2 及地球表面引力等于aAaB 116 r3GM重力大小 G MmR2mg知 T2 ，由于
16、 B为近地卫星，所以 TB2 ，当卫星 A、 B再次相距最近时，r3gR2 Rg卫星 B比卫星 A多运行了一周，即 t2，联立可得 t ，D 项正确(2TB 2TA) 167 Rg考向 2 同步卫星的理解例 2 (2018高考物理全真模拟二)已知一质量为 m的物体静止在北极与赤道对地面的压力差为 N，假设地球是质量均匀的球体，半径为 R，则地球的自转周期为(设地球表面的重力加速度为 g)( )A地球的自转周期为 T2mR NB地球的自转周期为 TmR NAC 在北极 FN1 G ，在赤道 G FN2 mR ，根据题意，有 FN1 FN2 N，联立MmR2 MmR2 4 2T2计算得出： T2
17、，所以 A正确的，B 错误；万有引力提供同步卫星的向心力，则： GmR N m ，联立可得： r3 ，又地球表面的重力加速度为 g，则： mg G ，得：Mmr2 4 2rT2 GMmR N MmR2r R， C正确，D 错误；故选 A、C.(mg N)归纳反思解答卫星问题的三个关键点1若卫星做圆周运动：根据 G m m 2r m r ma分析，可得：Mmr2 v2r 4 2T29v 、 、 T 、 a ，即“高轨低速周期长，低轨GMr 1r GMr3 1r3 4 2r3GM r3 GMr2 1r2高速周期短” 2若卫星做椭圆运动：根据开普勒行星运动定律分析求解可根据开普勒第二定律分析卫星的速
18、率变化规律，根据开普勒第三定律分析计算卫星的周期3注意事项：注意同步卫星与地球赤道上物体的区别与联系，注意黄金代换公式GM gR2的灵活应用题组突破21.(2018山东省青岛市高三统一质检)2018 年 1月 19日，以周总理命名的“淮安号”恩来星在甘肃酒泉卫星发射中心，搭乘长征11 号火箭顺利发射升空 “淮安号”恩来星在距离地面高度为 535 km的极地轨道上运行已知地球同步卫星轨道高度约 36000 km，地球半径约 6400 km.下列说法正确的是( )A “淮安号”恩来星的运行速度小于 7.9 km/sB “淮安号”恩来星的运行角速度小于地球自转角速度C经估算， “淮安号”恩来星的运行
19、周期约为 1.6 hD经估算， “淮安号”恩来星的加速度约为地球表面重力加速度的三分之二AC A.据 G m ，解得： v ，则“淮安号”恩来星的运行速度小于第一宇宙Mmr2 v2r GMr速度 7.9 km/s.故 A项正确B：据 G mr 2，解得： ，则“淮安号”恩来星的Mmr2 GMr3运行角速度大于地球同步卫星的角速度，即“淮安号”恩来星的运行角速度大于地球自转角速度故 B错误C：据 G mr 2，解得： T2 ， “淮安号”恩来星的运行周Mmr2 (2T) r3GM期与地球同步卫星的周期关系为 ，解得“ 淮安号”恩来星的运行周期约为TT同 (R h1R h同 )31.6 h故 C项
20、正确D：据 G ma和 G mg，解得“淮安号”恩来星的加速度约为地Mmr2 MmR2球表面重力加速度的 0.85倍故 D项错误22.(2018武汉市高三毕业班调研)如图为人造地球卫星的轨道示意图，LEO 是近地轨道，MEO 是中地球轨道，GEO 是地球同步轨道，GTO 是地球同步转移轨道已知地球的半径 R6 400 km，该图中 MEO卫星的周期约为(图中数据为卫星近地点、远地点离地面的高度)( )10A3 h B8 hC15 h D20 hA 根据题图中 MEO卫星距离地面高度为 4 200 km，可知轨道半径约为 R110 600 km，同步轨道 GEO卫星距离地面高度为 36 000
21、km，可知轨道半径约为 R242 400 km，为MEO卫星轨道半径的 4倍，即 R24 R1.地球同步卫星的周期为 T224 h，运用开普勒第三定律， ，解得 T13 h，选项 A正确R31R32 T21T2高频考点三 卫星的变轨备考策略1熟记变轨现象2掌握卫星变轨过程中的能量变化卫星在同一轨道上稳定运行过程中机械能守恒；在变轨过程中，点火加速，做离心运动，轨道升高，机械能增加，点火减速，做近心运动，轨道降低，机械能减少3卫星绕过不同轨道上的同一点(切点)时，其加速度大小关系可用 F ma比较GMmr2得出命题视角考向 1 变轨过程中各参数的变化例 3 (2018山东省潍坊市高三一模)如图所
22、示， “嫦娥三号”从 M点进入环月圆轨道，运行 4天后再从 M点进入椭圆轨道， N为椭圆轨道的近月点(可视为紧贴月球表面)，则“嫦娥三号”( )11A在两轨道上运行的周期相同B在两轨道上运行的机械能相同C在 N点的速度大于月球的第一宇宙速度D在 N到 M的过程机械能不断增加C A.根据开普勒第三定律 k可得半长轴 a越大，运动周期越大，显然轨道的a3T2半长轴(半径)大于轨道的半长轴，故沿轨道运动的周期小于沿轨道运动的周期，故A错误；B.由于飞船经过点 M时点火减速，使飞船由环月圆轨道从 M点进入椭圆轨道，外力做负功，机械能减小，所以轨道上的机械能大于轨道上的机械能，故 B错误；C.第一宇宙速
23、度是发射卫星的最小速度，是绕月球做圆周运动的最大速度也可以称为近月N点的环绕速度， “嫦娥三号”在 N点做椭圆轨道的离心运动，故速度应大于在 N点上圆周运动的速度，即在 N点的速度大于月球的第一宇宙速度，故 C正确；D.沿椭圆轨道运动，动能和势能交替转化，不会有别的力做功改变其机械能，机械能守恒，故 D错误；故选 C.考向 2 卫星的追及相遇问题例 4 (2018内蒙古包头市高三模拟)2016 年 10月 17日 7时 30分神舟十一号飞船发射升空，成功入轨后，经过 5次远距离导引控制之后，飞船到达天宫二号后下方 52公里左右的位置(如图所示)，两个航天器建立空空通信，转入到自主控制段.10
24、月 19日凌晨，神舟十一号飞船与天宫二号自动交会对接成功，开始在太空中的连体飞行与前几次交会对接任务不同，此次交会对接轨道和返回轨道高度比之前增加了 50公里，距地面高度为 393公里下列说法正确的是( )A神舟十一号飞船从图示状态下要与天宫二号对接，须向后喷气B在图示状态时，天宫二号的向心加速度大于神舟十一号的向心加速度C在图示状态时，天宫二号做匀速圆周运动的周期小于神舟十一号的周期D天宫二号和神舟十一号组合体绕地球做匀速圆周运动的速度大于 7.9 km/sA 根据天宫二号和神舟十一号绕地球做圆周运动所需要的向心力是由地球对它们的12万有引力提供的，则有 G m 2r m ma，即 v ，
25、T ， a G ，由此Mmr2 (2T) v2r GMr 4 2r3GM Mr2可知： r越大， v越小， T越大， a越小，故 B、C、D 错误；神舟十一号飞船从图示状态下要与天宫二号对接，需加速做离心运动进入高轨道，才能实现对接，A 正确；故选 A.归纳反思1卫星变轨的两种常见情况较 低 圆轨 道 近 地 点 向 后 喷 气 近 地 点 向 前 喷 气 椭 圆轨 道 远 地 点 向 后 喷 气 远 地 点 向 前 喷 气 较 高 圆轨 道2航天器变轨问题的三点注意事项(1)航天器变轨时半径的变化，根据万有引力和所需向心力的大小关系判断；稳定在新轨道上的运行速度变化由 v 判断GMr(2)航
26、天器在不同轨道上运行时机械能不同，轨道半径越大，机械能越大(3)航天器经过不同轨道相切的同一点时加速度相等，外轨道的速度大于内轨道的速度题组突破31.(2018山东省实验中学高三第一次模拟考试)中国探月工程嫦娥四号任务计划于2018年执行两次发射：上半年发射嫦娥四号中继星，下半年发射嫦娥四号探测器，她将实现人类首次月球背面软着陆和巡视勘察，如图所示，设月球半径为 R，假设“嫦娥四号”探测器在距月球表面高度为 3R的圆形轨道上做匀速圆周运动，运行周期为 T，到达轨道的 A点时点火变轨进入椭圆轨道，到达轨道的近月点 B时，再次点火进入近月轨道绕月做匀速圆周运动，引力常量为 G，则下列说法正确的是(
27、 )A月球的质量可表示为256 2R3GT2B在轨道上 B点速率大于在轨道上 B点的速率C “嫦娥四号”探测器沿椭圆轨道从 A点向 B点运动过程中，机械能保持不变D “嫦娥四号”探测器从远月点 A向近月点 B运动的过程中，加速度变小C 在轨道上运动过程中，万有引力充当向心力，故有 G m (3R)，解得Mm3R2 4 2T213M ，A 错误；在轨道的 B点需要减速做近心运动才能进入轨道做圆周运动，108 2R3GT2所以在轨道上 B点速率小于在轨道上 B点的速率，B 错误；探测器沿椭圆轨道从 A运动到 B的过程中只受到地球引力作用，飞船的机械能保持不变，C 正确；根据公式 G maMmr2可
28、得 a ，所以轨道半径越大，向心加速度越小，故从远月点到近月点运动过程中，轨GMr2道变小，加速度变大，D 错误32.我国原计划在 2017年底发射“嫦娥五号”探测器，实现月球软着陆以及采样返回，这意味着我国探月工程“绕、落、回”三步走的最后一步即将完成 “嫦娥五号”探测器在月球表面着陆的过程可以简化如下，探测器从圆轨道 1上 A点减速后变轨到椭圆轨道2.之后又在轨道 2上的 B点变轨到近月圆轨道 3.已知探测器在 1轨道上周期为 T1， O为月球球心， C为轨道 3上的一点， AC与 AO最大夹角为 ，则下列说法正确的是( )A探测器要从轨道 2变轨到轨道 3需要在 B点点火加速B探测器在轨
29、道 1的速度小于在轨道 2经过 B点时的速度C探测器在轨道 2上经过 A点时速度最小，加速度最大D探测器在轨道 3上运行的周期为 T1sin3BD 探测器要从轨道 2变轨到轨道 3需要在 B点减速，A 错误；探测器在轨道 1的速度小于在轨道 3的速度，探测器在轨道 2经过 B点的速度大于在轨道 3的速度，故探测器在轨道 1的速度小于在轨道 2经过 B点时的速度，B 正确；探测器在轨道 2上经过 A点时速度最小， A点是轨道 2上距离月球最远的点，故由万有引力产生的加速度最小，C 错误；由开普勒第三定律 ，其中 sin ，解得 T3 T1，D 正确T21r31 T23r3 r3r1 sin3高频
30、考点四 双星和多星问题备考策略牢记双星系统模型以下特点1各自需要的向心力由彼此间的万有引力相互提供，即 m1 r1， m2Gm1m2L2 21 Gm1m2L2r2.22两颗星的周期及角速度都相同，即 T1 T2， 1 2.143两颗星的半径与它们之间的距离关系为： r1 r2 L.题组突破41.(2018湖北省荆州中学高三全真模拟考试(一)2018 年 12月 7日是我国发射“悟空”探测卫星三周年的日子，该卫星的发射为人类对暗物质的研究做出了重大贡献假设两颗质量相等的星球绕其球心连线中心转动，理论计算的周期与实际观测的周期有出入，且 (n1)，科学家推测，在以两星球球心连线为直径的球体空间中均
31、匀T理 论T观 测 n1分布着暗物质，设两星球球心连线长度为 L，质量均为 m，据此推测，暗物质的质量为( )A( n1) m B nm C. m D. mn 28 n 14D 双星均绕它们的连线的中点做圆周运动，理论上，由相互间的万有引力提供向心力得： G m 解得： T 理论 L .根据观测结果，星体的运动周期且m2L2 4 2T2理 论 L2 2LGm (n1)，这种差异是由双星内均匀分布的暗物质引起的，均匀分布在球体内的暗T理 论T观 测 n1物质对双星系统的作用与一质量等于球内暗物质的总质量 m，位于中点 O处的质点的作用相同则有： G m 解得： T 观测 L 联立解得： mm2L
32、2 GmmL22 4 2T2观 测 L2 2LGm 4m m.故选 D.n 1442.2017 年 10月 16日，南京紫金山天文台对外发布一项重大发现，我国南极巡天望远镜追踪探测到首例引力波事件光学信号关于引力波，早在 1916年爱因斯坦基于广义相对论预言了其存在.1974 年拉塞尔豪尔斯和约瑟夫泰勒发现赫尔斯泰勒脉冲双星，这双星系统在互相公转时，由于不断发射引力波而失去能量，因此逐渐相互靠近，这现象为引力波的存在提供了首个间接证据科学家们猜测该双星系统中体积较小的星球能“吸食”另一颗体积较大的星球表面的物质，达到质量转移的目的，则关于赫尔斯泰勒脉冲双星周期 T随双星之间的距离 L变化的关系
33、图象正确的是( )15B 双星做匀速圆周运动的向心力由它们之间的万有引力提供， m1 2R1 m2Gm1m2L2 (2T)2R2，由几何关系得： R1 R2 L，解得： ，已知此双星系统中体积(2T) 1T2 Gm1 m24 2 1L3较小的星球能“吸食”另一颗体积较大的星体表面的物质，达到质量转移的目的，每个星球的质量变化，但质量之和不变，所以 ，故 B正确，ACD 错误1T2 1L343.(2018湖南省常德市高三模拟考试)(多选)2016 年 2月 1日 15时 29分，我国在西昌卫星发射中心成功发射了第五颗新一代北斗导航卫星该卫星绕地球作圆周运动，质量为 m，轨道半径约为地球半径 R的
34、 4倍重力加是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星做圆周运动，如图甲所示；另一种是三颗星位于等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行，如图乙所示设两种系统中三个星体的质量均为 m，且两种系统中各星间的距离已在图甲、图乙中标出，引力常量为 G，则( )A直线三星系统中星体做圆周运动的线速度大小为GmLB直线三星系统中星体做圆周运动的周期为 4L35GmC三角形三星系统中每颗星做圆周运动的角速度为 2L33GmD三角形三星系统中每颗星做圆周运动的加速度大小为3GmL2BD 在直线三星系统中，星体做圆周运动的向心力由其他两星对它的万有引力的合力16提供，根据万有引力定律和牛顿第二
35、定律，有 G G m ，解得 v ，A 项错m2L2 m22L2 v2L 125GmL误；由周期 T 知，直线三星系统中星体做圆周运动的周期为 T4 ，B 项正确；2 rv L35Gm同理，对三角形三星系统中做圆周运动的星体，有 2G cos 30 m 2 ，解m2L2 L2cos 30得 ，C 项错误；由 2G cos 30 ma，得 a ，D 项正确3GmL3 m2L2 3GmL2课时跟踪训练(四)一、选择题(18 题为单项选择题，914 题为多项选择题)1(2018威海市高考模拟考试)2017 年 9月 29日，世界首条量子保密通讯干线“京沪干线”与“墨子号”科学实验卫星进行天地链路，我
36、国科学家成功实现了洲际量子保密通讯设“墨子号”卫星绕地球做匀速圆周运动，在时间 t内通过的弧长为 L，该弧长对应的圆心角为 ，已知引力常量为 G.下列说法正确的是( )A “墨子号”的运行周期为 tB “墨子号”的离地高度为LC “墨子号”的运行速度大于 7.9 km/sD利用题中信息可计算出地球的质量为L3G t2D “墨子号”的运行周期为 T ，选项 A错误；“墨子号”的离地2 2t 2 t高度为 h r R R，选项 B错误；任何卫星的速度均小于第一宇宙速度，选项 C错误；L根据 G m 2r，其中 ， r ，解得 M ，选项 D正确；故选 D.Mmr2 t L L3G t22若太阳系内
37、每个行星贴近其表面运行的卫星的周期用 T表示，该行星的平均密度是 ，到太阳的距离是 R，已知引力常量 G.则下列说法正确的是( )A可以求出该行星的质量B可以求出太阳的质量C T 2是定值17D. 是定值T2R3C 因为不知道行星的半径，所以无法求出行星的质量，故 A错误 T不是行星的公转周期，所以不能求出太阳的质量，故 BD错误对于卫星，由万有引力充当向心力得G m r，其中 M V r 3，整理可得 T 2 是一个定值，故 C正确Mmr2 4 2T2 43 3G3(2018石家庄高三考前模拟)如图所示，地球绕太阳做匀速圆周运动，地球处在运动轨道 b位置时，地球和太阳连线所在的直线上的 a与
38、 e位置、 c与 d位置均关于太阳对称当一无动力的探测器处在 a或 c位置时，它仅在太阳和地球引力的共同作用下，与地球一起以相同的角速度绕太阳做圆周运动，下列说法正确的是( )A该探测器在 a位置受到的太阳、地球引力的合力等于在 c位置受到的太阳、地球引力的合力B该探测器在 a位置受到的太阳、地球引力的合力大于在 c位置受到的太阳、地球引力的合力C若地球和该探测器分别在 b、 d位置，它们也能以相同的角速度绕太阳运动D若地球和该探测器分别在 b、 e位置，它们也能以相同的角速度绕太阳运动B 根据题述，探测器处在 a位置和 c位置时，它仅在太阳和地球引力的共同作用下，与地球一起以相同的角速度 绕
39、太阳做圆周运动，设该探测器的质量为 m，在 a位置受到的太阳和地球引力的合力为 Fa，在 c位置受到的太阳和地球引力的合力为 Fc，根据牛顿第二定律，可知 Fa m 2ra， Fc m 2rc，由于 rarc，所以 FaFc，选项 A错误，B 正确；若地球和探测器分别在 b、 d位置，探测器在 d位置所受到的太阳和地球引力的合力与在 c位置时不同，所以不能以相同的角速度绕太阳做圆周运动，选项 C错误；若地球和探测器分别在 b、 e位置，探测器在 e位置所受到的太阳和地球引力的合力与在 a位置时不同，所以不能以相同的角速度绕太阳做圆周运动，选项 D错误42017 年 6月 15日，我国在酒泉卫星
40、发射中心用长征四号乙运载火箭成功发射首颗X射线调制望远镜卫星“慧眼” “慧眼”的成功发射将显著提升我国大型科学卫星研制水平，填补我国 X射线探测卫星的空白，实现我国在空间高能天体物理领域由地面观测向天地联合观测的超越 “慧眼”研究的对象主要是黑洞、中子星和射线暴等致密天体和爆发现象在利用“慧眼”观测美丽的银河系时，若发现某双黑洞间的距离为 L，只在彼此之间的万有引力作用下做匀速圆周运动，其运动周期为 T，引力常量为 G，则双黑洞总质量为( )18A. B. C. D.4 2L3GT2 4 2L33GT2 GL34 2T2 4 2T3GL2A 双黑洞靠相互间的万有引力提供向心力，有： G m1r
41、1 m1m2L2 4 2T2G m2r2 ，解得： m2 ， m1 ，则双黑洞总质量为： m 总m1m2L2 4 2T2 4 2r1L2GT2 4 2r2L2GT2 m2 m1 ，故选：A.4 2L3GT25(2018福建厦门市毕业班调研)位于贵州的“中国天眼”是目前世界上口径最大的单天线射电望远镜(FAST)通过 FAST测得水星与太阳的视角为 (水星、太阳分别与观察者的连线所夹的角)，如图所示若最大视角的正弦值为 k，地球和水星绕太阳的运动视为匀速圆周运动，则水星的公转周期为( )A. 年 B. 年 C. 年 D. 年3k21k3 k3 k1 k23C 由题意可知，当观察者和水星的连线与水
42、星的轨道相切时，水星与太阳的视角最大，由三角函数可得 sin k，又由万有引力提供向心力有 G m 水 r 水 ，r水r地 Mm水r2水 4 2T2水 m 地 r 地 ，联立以上可解得 T 水 年，C 正确GMm地r2地 4 2T2地 k36(2018安徽省合肥一中高三二模)天文学家通过观测双星轨道参数的变化来间接验证引力波的存在，证实了 GW150914是两个黑洞并合的事件该事件中甲、乙两个黑洞的质量分别为太阳质量的 36倍和 29倍，假设这两个黑洞，绕它们连线上的某点做圆周运动，且这两个黑洞的间距缓慢减小若该黑洞系统在运动过程中各自质量不变且不受其他星系的影响，则关于这两个黑洞的运动，下列
43、说法正确的是( )A甲、乙两个黑洞运行的线速度 v大小之比为 3629B甲、乙两个黑洞运行的角速度 大小之比为 3629C随着甲、乙两个黑洞的间距缓慢减小，它们运行的周期 T也在减小D甲、乙两个黑洞做圆周运动的向心加速度大小始终相等C 对两个黑洞，它们的角速度 相等，由万有引力 G m 甲 2r 甲 m 乙 2rm甲 m乙L2乙 和 v r 可以判断出线速度 ，AB 错误又 r1 r2 L，结合万有引力公式可以得v甲v乙 2936出 G 2，两个黑洞的间距缓慢减小，则角速度 在增加，由 T 知 T减小，m1 m2L3 219而它们的向心加速度 a ，质量不等，相对应的向心加速度大小不相等，C
44、正确，D 错GmL2误7(2018重庆市江津区高三下 5月预测模拟)北斗导航已经用于多种手机，如图所示，导航系统的一颗卫星原来在较低的椭圆轨道上飞行，到达 A点时转移到圆轨道上若圆轨道离地球表面的高度 h1，椭圆轨道近地点离地球表面的高度为 h2.地球表面的重力加速度为 g，地球半径为 R，则下列说法不正确的是( )A卫星在轨道上的机械能大于在轨道上的机械能B卫星在轨道上的运行速率 vgR2R h1C若卫星在圆轨道上运行的周期是 T1，则卫星在轨道的时间 T2 T1h1 h2 2R38R h13D若“天宫一号”沿轨道运行经过 A点的速度为 vA，则“天宫一号”运行到 B点的速度 vB vAR
45、h1R h2D 卫星从轨道进入轨道要在 A点加速，则卫星在轨道上的机械能大于在轨道上的机械能选项 A正确；卫星在轨道上： G m ，又 GM gR2，解得 vMmR h1 v2R h1，选项 B正确；根据开普勒第三定律可得： ，解得 T2 T1gR2R h1 R h13T21 (2R h1 h22 )3T2，选项 C正确；根据开普勒第三定律得： vA(h1 R) vB(h2 R)，解得 vBh1 h2 2R38R h13vA，选项 D错误；此题选项不正确的选项，故选 D.(h1 Rh2 R)8(2018山东省湖北重点学校协作体冲刺模拟)“嫦娥之父”欧阳自远透露：我国计划于 2020年登陆火星假
46、如某志愿者登上火星后将一小球从高为 h的地方由静止释放，不计空气阻力，测得经过时间 t小球落在火星表面，已知火星的半径为 R，引力常量为 G，不考虑火星自转，则下列说法正确的是( )20A火星的第一宇宙速度为2hRtB火星的质量为2h2RGt2C火星的平均密度为3h2 RGt2D环绕火星表面运行的卫星的周期为 t2RhC 由自由落体运动规律， h gt2，解得火星表面的重力加速度大小为 g ，火星12 2ht2的第一宇宙速度 v1 ，A 错误；在火星表面有 G mg，解得火星的质量为 MgR2hRt MmR2，B 错误；火星的平均密度 ，C 正确；设环绕火星表面运行的2hR2Gt2 MV2hR2Gt24 R33 3h2 RGt2卫星的周期为 T，则 T t ，D 错误2 Rv1 2Rh9
