1、1第 2 讲 数列求和及综合应用A 组 小题提速练一、选择题1公差不为零的等差数列 an的前 n 项和为 Sn，若 a4是 a3与 a7的等比中项， S832，则S10等于( )A18 B24C60 D90解析：设数列 an的公差为 d(d0)，由 a a3a7，得( a13 d)2( a12 d)(a16 d)，故242a13 d0，再由 S88 a128 d32，得 2a17 d8，则 d2， a13，所以S1010 a145 d60.答案：C2已知等差数列 an的公差为 d，关于 x 的不等式 dx22 a1x0 的解集为0,9，则使数列 an的前 n 项和 Sn最大的正整数 n 的值是
2、( )A4 B5C6 D7解析：关于 x 的不等式 dx22 a1x0 的解集为0,9，0,9 是一元二次方程dx22 a1x0 的两个实数根，且 d0， a6 d0，得 n0， an1 3 an，又2n 1 2na12， an是首项为 2，公比为 3 的等比数列， Sn 3 n1.2 1 3n1 3答案：3 n115在数列 an中， nN *，若 k(k 为常数)，则称 an为“等差比数列” ，an 2 an 1an 1 an下列是对“等差比数列”的判断： k 不可能为 0；等差数列一定是“等差比数列” ；等比数列一定是“等差比数列” ；“等差比数列”中可以有无数项为 0.其中所有正确判断的
3、序号是_解析：由等差比数列的定义可知， k 不为 0，所以正确，当等差数列的公差为 0，即等差数列为常数列时，等差数列不是等差比数列，所以错误；当 an是等比数列，且公比q1 时， an不是等差比数列，所以错误；数列 0,1,0,1，是等差比数列，该数列中有无数多个 0，所以正确答案：B 组 大题规范练1已知数列 an满足 an0， a11， n(an1 2 an)2 an.(1)求数列 an的通项公式；(2)求数列 的前 n 项和 Sn.ann 3n 5解析：(1)因为 n(an1 2 an)2 an，故 an1 an，得 2 ；2 n 1n an 1n 1 ann设 bn ，所以 bn1
4、2 bn， an0， bn0， 2.又因为 b1 1，ann bn 1bn a11所以数列 bn是以 1 为首项，公比为 2 的等比数列，故 bn12 n1 2 n1 ，ann故 an n2n1 .6(2)由(1)可知， 3 n52 n1 3 n5，ann故 Sn(2 0315)(2 1325)(2 n1 3 n5)(2 02 12 n1 )3(12 n)5 n2 n 1.3n2 7n22等差数列 an的前 n 项和为 Sn，数列 bn是等比数列，满足a13， b11， b2 S210， a52 b2 a3.(1)求数列 an和 bn的通项公式；(2)令 cnError!设数列 cn的前 n
5、项和 Tn，求 T2n.解析：(1)设数列 an的公差为 d，数列 bn的公比为 q，由 b2 S210， a52 b2 a3，得Error! 解得Error!所以 an32( n1)2 n1， bn2 n1 .(2)由 a13， an2 n1 得 Sn n(n2)，则 n 为奇数， cn ， n 为偶数， cn2 n1 .2Sn 1n 1n 2所以 T2n( c1 c3 c2n1 )( c2 c4 c2n) (22 32 2n1 )(113) (13 15) ( 12n 1 12n 1)1 12n 1 2 1 4n1 4 (4n1)2n2n 1 233设数列 an满足 a12， a2 a51
6、4，且对任意 nN *，函数 f(x) an1 x2( an2 an)x满足 f(1)0.(1)求数列 an的通项公式；(2)设 bn ，记数列 bn的前 n 项和为 Sn，求证 Sn .1 an 1 an 1 12解析：(1)函数 f(x) an1 x2( an2 an)x 的导数为 f( x)2 an1 x( an2 an)，由 f(1)0，可得 2an1 an2 an，由等差数列的性质可得数列 an为等差数列，设公差为 d，则 a12， a2 a52 a15 d14，解得 d2，即有 an a12( n1)2 n.(2)证明： bn 1 an 1 an 1 1 2n 1 2n 17 ，1
7、2( 12n 1 12n 1)则 Sn ，12(1 13 13 15 12n 1 12n 1) 12(1 12n 1)12则 Sn .124若数列 an满足 .a11 a23 an2n 1 94 4n 15n(1)求通项公式 an.(2)求数列 an的前 n 项和解析：(1)因为 ，a11 a23 an2n 1 94 4n 15n所以当 n2 时， ，a11 a23 an 12n 3 94 4n5n 1两式相减得： ，an2n 1 4n5n 1 4n 15n 4n5n所以 an(2 n1) n(n2)，(45)又因为 不满足上式，所以 anError!a11 94 165 1920(2)当 n
8、2 时， Sn 3 25 37 4 (2 n1) n， Sn 31920 (45) (45) (45) (45) 45 192535 4(2 n3) n(2 n1) n1 ，(45) (45) (45) (45)两式相减得 Sn 2Error!15 19100 4825Error! (2n1) n1(45) 2 (2 n1) n1 10 n1 (2 n1) n1 173100(45)3 (45)n 11 45 (45) 173100 12825 (45) (45)(2 n9) n1 ，所以 Sn (10 n45) n1 (n2)13720 (45) 1374 (45)当 n1 时也符合上式，所以 Sn (10 n45) n1 .1374 (45)8
