1、- 1 -南京市六校联合体高三年级 12月份联考试卷数 学 注意事项：1本试卷共 4页，包括填空题（第 1题第 14题） 、解答题（第 15题第 20题）两部分本试卷满分为 160分，考试时间为 120分钟2答题前，请务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸的密封线内试题的答案写在答题纸上对应题目的答案空格内考试结束后，交回答题纸参考公式：样本数据 x1， x2， xn的方差 ，其中 ；锥体的体积公式： V Sh，其中 S为锥体的底面积， h为锥体的高；圆锥的侧面积公式： ，其中 为底面半径， 为母线长一、填空题（本大题共 14小题，每小题 5分，计 70分. 不需写出解答过程，请把答案写
2、在答题纸的指定位置上）1.已知集合 ，集合 ，则 =_【答案】【解析】【分析】由 M与 N，求出两集合的交集即可【详解】集合 ，集合 ， =故答案为：【点睛】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键2.双曲线 的渐近线方程是 _【答案】【解析】- 2 -【分析】在双曲线的标准方程中，把 1换成 0，即得此双曲线的渐近线方程【详解】令 =0得y= x，双曲线 =1的渐近线方程为 y= x，故答案为： 【点睛】本题主要考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，属于基础题3.复数 满足 ，其中 是虚数单位，则复数 的模是_【答案】【解析】【分析】利用复数的运算法则和模的计算公
3、式即可得出【详解】|z|= = ，故答案为：【点睛】本题考查了复数的运算法则和模的计算公式，属于基础题4.若一组样本数据 3，4，8，9， 的平均数为 6，则该组数据的方差 s2_【答案】【解析】【分析】本题可运用平均数的公式： = （x 1+x2+xn）解出 a的值，再代入方差的公式中计算得出方差即可【详解】数据 3，4，8，9， 的平均数为 6，3+4+8+9+a=30，解得 a=6，- 3 -方差 s2= （36） 2+（46） 2+（86） 2+（96） 2+（66） 2= 故答案为： 【点睛】本题主要考查的是平均数和方差的求法，解题的关键弄清计算公式，同时考查了运算求解的能力，属于基
4、础题5.从 1，2，3，4 这四个数中一次性随机地取出 2个数，则所取 2个数的乘积为奇数的概率是_【答案】【解析】【分析】列举可得共 6种情形，其中满足所取 2个数的乘积为奇数的有 1种情形，由概率公式可得【详解】从 1，2，3，4 这 4个数中依次随机地取 2个数有（1，2） ， （1，3） ， （1，4） ， （2，3） ， （2，4） ， （3，4）共 6种情形，其中满足所取 2个数的乘积为奇数的有（1，3）共 1种情形，所求概率 ，故答案为：【点睛】有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数：1基本事件总数较少时，用列举法把所有基本事件一一列出时，要
5、做到不重复、不遗漏，可借助“树状图”列举；2注意区分排列与组合，以及计数原理的正确使用6.如图所示的流程图的运行结果是_【答案】20【解析】试题分析：第一次循环： ，第二次循环： ，结束循环，输出- 4 -考点：循环结构流程图7.若圆锥底面半径为 1，侧面积为 ,则该圆锥的体积是_【答案】【解析】【分析】由圆锥底面半径为 1，侧面积为 得到圆锥的母线长，进而得到圆锥的高，从而得到该圆锥的体积.【详解】设圆锥的母线长为 ，圆锥底面半径为 1，侧面积为 , ，即 ，圆锥的高该圆锥的体积是故答案为：【点睛】本题考查圆锥的体积与侧面积公式，属于基础题.8.设直线 是曲线 的切线，则直线 的斜率的最小值
6、是_【答案】4【解析】【分析】求出函数的导函数，利用均值不等式求最小值即直线 的斜率的最小值【详解】 的定义域为（ 0，+）y=4x+ ，当且仅当 x= 时取等号即直线 的斜率的最小值是 4故答案为：4【点睛】考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，以及利用均值不等式求最值，掌握不等式成立时的条件，属于基础题9.已知 ，则 的值是_【答案】- 5 -【解析】【分析】由 得到 ，进而得到 ，再结合两角和的正弦公式得到结果.【详解】 ， ，故答案为：【点睛】本题考查了两角和与差的正弦、正切公式，同角基本关系式，考查了计算能力，属于基础题.10.已知函数 f (x)是定义在 R上的奇函数，且
7、当 x0 时， 若 f (a)4 f ( a)，则实数 a的取值范围是_【答案】【解析】【分析】利用函数为奇函数，不等式可转化为 f (a)2，结合函数图象可得结果.【详解】 f (x)为奇函数， f (a)4 f ( a)可转化为 f (a)2作出 的图象，如图：- 6 -由图易知：a2故答案为：【点睛】本题考查函数的图象与性质，解题关键利用奇偶性简化不等式，结合函数图象即可得到结果.11. 中， 为边 的中点， ，则 的值为_【答案】-4【解析】【分析】利用基底 表示 ，结合向量的运算法则即可得到结果.【详解】 为边 的中点， , ， 2-6=-4故答案为：-4【点睛】求向量的数量积，应该
8、先利用向量的运算法则将各个向量用已知的向量表示，再利用向量的运算法则展开即可12.已知圆 ，直线 与 轴交于点 ，过 上一点 作圆 的切线，切点为 ，若 ，则实数 的取值范围是_【答案】 或【解析】【分析】设 P（x，y） ，由 PA=2PT，求出点 P的轨迹方程，问题可转化为直线 l与圆有公共点的问题，列不等式求解即可- 7 -【详解】圆 C：直线 l： 与与轴交于点 A（0，2） ，设 P（x，y） ，由 PA= PT，可得 =2（ 2） ，即 x2+y212y=0，即满足 PA=2PT的点 P的轨迹是一个圆所以问题可转化为直线 l与圆 有公共点，所以 dr，6，解得 或 ，实数 k的取值
9、范围是 或 故答案为： 或【点睛】本题考查圆的方程的综合应用，直线与圆的位置关系，考查转化思想以及计算能力，明确动点 P的轨迹是解题的关键13.已知 nN *, ， ， ，其中表示 这 个数中最大的数数列 的前 n项和为 ，若 对任意的 nN *恒成立，则实数 的最大值是_【答案】【解析】【分析】设 ，明确 的单调性，得到 ，进而得到 ， 对任意的nN *恒成立即 ，转求 的最小值即可.【详解】设，即- 8 -即 ，由 与 图象可知：在第一象限 n取正整数时，仅有 n=3时，即 ，即实数 的最大值是故答案为：【点睛】本题考查数列的综合应用，等差数列的性质，考查与不等式的综合应用，考查学生分析问
10、题及解决问题的能力，考查分类讨论及转化思想，考查计算能力，属于难题14.已知函数 .若对任意的 ，存在 ，使得 成立，则实数 的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】围【详解】 的对称轴为 x=a，且 ，函数 f（x）= 在0， 上是减函数，在 ，2上是增函数；函数 f（x）= 在 的最小值为 f（a）= ，当 2a3 时，函数 f（x）= （ x ）在 x=0时取得最大值，且最大值为 2a1，由于此时 2a3，则 32a15；2a1- 9 -0a2 时，函数 f（x）= （ x ）在 x=4时取得最大值，且最大值为 428a+2a1=156a，由于此时 0a2，则 3156a15；，综上，
11、；即 t的取值范围是： 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质的应用问题，也考查了恒成立问题与存在性问题，是综合性题目二、解答题（本大题共 6小题，计 90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题卡的指定区域内）15.在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且 （1）求角 B；（2）若 ， ，求 ， 【答案】 （1） ；（2） .【解析】【分析】（1）利用正弦定理化简已知条件，然后求解 B的大小（2）利用正弦定理余弦定理，转化求解即可【详解】 （1）在 中，由正弦定理 ，得 又因为在 中 所以 法一：因为 ，所以 ，因而 所以 ，所以 法二： 即 ，
12、 - 10 -所以 ，因为 ，所以 （2）由正弦定理得 ，而 ，所以 ，由余弦定理 ，得 ，即 ， 把代入得 .【点睛】解三角形的基本策略：一是利用正弦定理实现“边化角” ，二是利用余弦定理实现“角化变；求三角形面积的最大值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值.16.如图，在四棱锥 P ABCD中，底面 ABCD是正方形， AC与 BD交于点 O， PC底面 ABCD， 点 E为侧棱 PB的中点求证：(1) PD平面 ACE；(2) 平面 PAC平面 PBD【答案】 （1）证明见解析；（2）证
13、明见解析。【解析】【分析】（1）连接 OE易证 PDOE，根据线面平行判定定理得证；（2）要证平面 PAC平面 PBD，即证 BD平面 PAC【详解】(1) 连接 OE- 11 -因为 O为正方形 ABCD的对角线的交点，所以 O为 BD中点 因为 E为 PB的中点，所以 PDOE 又因为 OE面 ACE，PD 平面 ACE，所以 PD平面 ACE (2) 在四棱锥 PABCD 中， 因为 PC底面 ABCD，BD面 ABCD，所以 BDPC 因为 O为正方形 ABCD的对角线的交点，所以 BDAC 又 PC、AC平面 PAC，PCACC，所以 BD平面 PAC 因为 BD平面 PBD，所以平
14、面 PAC平面 PBD【点睛】垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.17.已知椭圆 ： 上一点与两焦点构成的三角形的周长为 ,离心率为 .（1）求椭圆 的方程；（2）设椭圆 C的右顶点和上顶点分别为 A、 B，斜率为 的直线 l与椭圆 C交于 P、 Q两点（点 P在第一象限）.若四边形 APBQ面积为 ，求直线 l的方程.- 12 -【答案】 （1） ；（2） 。【解析】【分析】（ 1）设椭圆的半焦距为 c，由已知得 ，又 ，a 2=b2+c2，联立解
15、出即可得出；（2）设直线 方程为： 代入椭圆 并整理得： ，利用韦达定理表示 ，分别计算，到直线 PQ的距离，即可表示四边形 APBQ面积，从而得到直线 l的方程.【详解】 （1）由题设得 ，又 ，解得 , . 故椭圆 的方程为 . （2）设直线 方程为： 代入椭圆 并整理得： ，设 ，则 . ， 到直线 PQ的距离为 ，到直线 PQ的距离为 ， 又因为 在第一象限, 所以 ，所以 ，所以 ， 解得 ，- 13 -所以直线方程为 【点睛】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交弦长问题、一元二次方程的根与系数的关系、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题18.如图，某
16、公园内有一个以 O为圆心，半径为 5百米，圆心角为 的扇形人工湖OAB， OM、 ON是分别由 OA、 OB延伸而成的两条观光道为便于游客观光，公园的主管部门准备在公园内增建三条观光道，其中一条与 相切点 F，且与 OM、 ON分别相交于 C、 D，另两条是分别和湖岸 OA、 OB垂直的 FG、 FH (垂足均不与 O重合)(1) 求新增观光道 FG、 FH长度之和的最大值； (2) 在观光道 ON段上距离 O为 15百米的 E处的道路两侧各有一个大型娱乐场，为了不影响娱乐场平时的正常开放，要求新增观光道 CD的延长线不能进入以 E为圆心，2.5 百米为半径的圆形 E的区域内则点 D应选择在
17、O与 E之间的什么位置？请说明理由【答案】 (1) 新增观光道 FG、 FH长度之和的最大值是 百米；(2) 点 D应选择在 O与 E之间，且到点 O的距离在区间 (单位：百米)内的任何一点处【解析】【分析】（1）连结 OF， OF CD于点 F，则 OF5设 FOD ，则 FGFH5sin( )5sin，利用两角和与差的正弦公式化简，即可得到新增观光道 FG、 FH长度之和的最大值；（2）以 O为坐标原点，以 ON所在的直线为 x轴，建立平面直角坐标系 xOy可得圆 O的方程，圆 E的方程，根据直线和圆的位置关系得到答案即可.【详解】(1) 连结 OF， OF CD于点 F，则 OF5设 F
18、OD ，则 FOC ( )，故 FH5sin ， FG5sin( )， 则 FG FH5sin( )5sin - 14 -5( cos sin sin )5( sin cos )5 sin( )， 因为 ，所以 ，所以当 ，即 时，( FG FH)max (2) 以 O为坐标原点，以 ON所在的直线为 x轴，建立如图所示的平面直角坐标系 xOy由题意，可知直线 CD是以 O为圆心，5 为半径的圆 O的切线，直线 CD与圆 E相离，且点 O在直线 CD下方，点 E在直线 CD上方由 OF5，圆 E的半径为 2.5，因为圆 O的方程为x2 y225，圆 E的方程为( x15) 2 y26.25，
19、设直线 CD的方程为 y kx t ( k0， t0)，即 kx y t0，设点 D(xD，0)则 由得 t5 ， 代入得 ，解得 k2 又由 k0，得 0 k23，故 k23，即 3在 y kx t中，令 y0，解得 xD ，所以 xD10答：(1) 新增观光道 FG、 FH长度之和的最大值是 百米；(2) 点 D应选择在 O与 E之间，且到点 O的距离在区间 (单位：百米)内的任何一点处【点睛】本题考查了三角函数的应用问题，考查了直线与圆的位置关系，考查了逻辑推理能- 15 -力及运算能力，属于中档题.19.已知数列 an各项均不相同， a11，定义 ，其中 n， kN*（1）若 ，求 ；
20、（2）若 bn1 (k)2 bn(k)对 均成立，数列 an的前 n项和为 Sn（i）求数列 an的通项公式；（ii）若 k， tN *，且 S1， Sk S1， St Sk成等比数列，求 k和 t的值【答案】 （1） ；（2） （i） ；（ii） k2， t3【解析】【分析】（1）当 时，由新定义可得 ，利用累加法可得结果；（2） （i）若 bn1 (k)2 bn(k)对 均成立，由新定义可得 ，从而得到数列 an的通项公式；（ii）由（i）可知 Sn2 n1因为 S1， Sk S1， St Sk成等比数列，可得 2t2 (2 k1 )232 k2 1 对 k分类讨论可知 k和 t的值【详解
21、】 （1）因为 ，所以 ，所以 . （2） （i）因为 bn1 (k)2 bn(k)，得 ， 令 k1, ，k2， ， 由得 ，+得 ， +得 ，又 ，所以数列 是以 1为首项，2 为公比的等比数列，- 16 -所以 （ii）由（i）可知 Sn2 n1因为 S1， Sk S1， St Sk成等比数列，所以( Sk S1)2 S1(St Sk)，即(2 k2) 22 t2 k，所以 2t(2 k)232 k4，即 2t2 (2 k1 )232 k2 1(*)由于 Sk S10，所以 k1，即 k2当 k2 时，2 t8，得 t3 当 k3 时，由(*)，得(2 k1 )232 k2 1 为奇数，
22、所以 t20，即 t2，代入(*)得 22k2 32 k2 0，即 2k3，此时 k无正整数解综上， k2， t3【点睛】本题以新定义为背景，考查数列递推关系、等比数列的通项公式与求和公式，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题20.已知函数 .(1)求 的极大值；(2)当 时，不等式 恒成立，求 的最小值；(3)是否存在实数 ，使得方程 在 上有唯一的根，若存在，求出所有 的值，若不存在，说明理由.【答案】 （1） ；（2）-1；（3）存在，且当 符合题意。【解析】【分析】(1)求导 ,明确函数的单调性，从而得到 的极大值；(2) 不等式 恒成立，即 恒成立，记 ，求其最大值，即可得
23、到 的最小值；(3) 记 ，由 ，存在 ，使 在 上有零点，再证明唯一性即可.- 17 -【详解】 （1） ，令 ，得 . 当 时， ，则 在 上单调递增，当 时， ，则 在 上单调递减，故当 时， 的极大值为 （2）不等式 恒成立，即 恒成立，记 ，则 ， 当 时，令 ，得 ，当 时， ，此时 单调递增，当 时， ，此时 单调递减，则 ，即 ，8 分则 ， 记 ，则 ，令 ，得当 时， ，此时 单调递减，当 时， ，此时 单调递增，故 的最小值为 . （3）记 ，由 ， 故存在 ，使 在 上有零点，下面证明唯一性： 当 时， ，故 ， 在 上无解当 时， ，而 ，此时 ， 单调递减，所以当
24、符合题意【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出 ，本专题在高考中的命题方向及命题角度从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系 (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数 (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题 (4)考查数形结合思想的应用- 18 -南京市六校联合体高三年级 12月份联考试卷数学(附加题)注意事项：1附加题供选修物理的考生使用2本试卷共 40分，考试时间 30分钟3答题前，请
25、务必将自己的姓名、学校写在答题卡上试题的答案写在答题卡上对应题目的答案空格内考试结束后，交回答题卡【选做题】本题 A、B、C 三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答若多做，则按作答的前两小题评分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤选修 42：矩阵与变换21.已知矩阵 ，其中 ，若点 在矩阵 的变换下得到的点（1）求实数 的值；（2）求矩阵 的逆矩阵.【答案】 （1） ；（2）【解析】【分析】（1）根据点 P在矩阵 A的变化下得到的点 ，写出题目的关系式，列出关于 a,b的等式，解方程即可,（2）计算 ，从而得到矩阵 的逆矩阵.【详解】 （1）因为 ， 所以 ,所以 （2） ，
26、【点睛】本题考查二阶矩阵与逆矩阵，属于基础题.选修 44：坐标系与参数方程- 19 -22.在直角坐标系 中，已知直线 的参数方程是 （ t是参数） ，若以 为极点， 轴的正半轴为极轴，取与直角坐标系中相同的单位长度，建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 求直线 l 被曲线 C截得的弦长【答案】【解析】【分析】消去参数即可求直线 l的普通方程，利用极坐标与直角坐标的互化求解曲线 C的直角坐标方程,利用直线与圆的位置关系，通过点到直线的距离以及圆的半径以及半弦长的关系求解|AB|【详解】消去参数 ，得直线 的普通方程为 ， 即 ，两边同乘以 得 ， 所以 ， 圆心 到直线 的距离 ， 所以弦长为
27、【点睛】本题考查直线的参数方程以及圆的极坐标方程的应用，考查直线与圆的位置关系的应用，考查计算能力选修 45：不等式选讲23.若 x， y， z为实数，且 x+2y+2z=6，求 的最小值【答案】4.【解析】分析：根据柯西不等式 可得结果.详解：证明：由柯西不等式，得 因为 ，所以 ，当且仅当 时，不等式取等号，此时 ，- 20 -所以 的最小值为 4点睛：本题考查柯西不等式等基础知识，考查推理论证能力.柯西不等式的一般形式：设a1， a2， an， b1， b2， bn为实数，则( a a a )(b b b )( a1b1 a2b2 anbn)2，当且仅当 bi0 或存在一个数 k，使 a
28、i kbi(i1，2， n)时，等号成立【必做题】第 22题、第 23题，每题 10分，共计 20分请在答题卡指定区域内作答解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤24.将 4名大学生随机安排到 A,B,C,D四个公司实习 （1）求 4名大学生恰好在四个不同公司的概率；（2）随机变量 X表示分到 B公司的学生的人数，求 X的分布列和数学期望 E(X)【答案】 （1） ；（2）分布列见解析， 。【解析】【分析】（1）将 4人安排四个公司中，共有 44=256种不同放法，记“4 个人恰好在四个不同的公司”为事件 A，则事件 A包含 =24个基本事件，由此能求出 4名大学生恰好在四个不同公司的概率；（
29、2）X 的可能取值为 0，1，2，3，4，分别求出相应的概率，由此能求出 X的分布列和E（X） 【详解】 （1）将 4人安排四个公司中，共有 44=256种不同放法记“4 个人恰好在四个不同的公司”为事件 A，事件 A共包含 个基本事件，所以 ，所以 4名大学生恰好在四个不同公司的概率 （2）方法 1： X的可能取值为 0，1，2，3，4， ， ， - 21 -所以 X的分布列为：X 0 1 2 3 4P所以 X的数学期望为： 方法 2：每个同学分到 B公司的概率为 ， 根据题意 ，所以 ， 4，所以 X的分布列为：X 0 1 2 3 4P所以 X的数学期望为 【点睛】本题考查概率的求法，考查
30、离散型随机变量的分布列、数学期望的求法及应用，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题25.设 且 ，集合 的所有 个元素的子集记为 （1）当 时，求集合 中所有元素之和 ；（2）记 为 中最小元素与最大元素之和，求 的值【答案】 （1）30；（2）2019.【解析】【分析】（1）当 n=4时，因为含元素 的子集有 个，同理含 的子集也各有 个，从而得到结果；- 22 -（2）分类讨论明确最小元素的子集与最大元素的子集个数，从而得到 ，进而得到结果.【详解】 （1）因为含元素 的子集有 个，同理含 的子集也各有 个，于是所求元素之和为 ； （2）集合 的所有 个元素的子集中：以 为最小元素的子集有 个，以 为最大元素的子集有 个；以 为最小元素的子集有 个，以 为最大元素的子集有 个；以 为最小元素的子集有 个，以 为最大元素的子集有 个 ，【点睛】本题考查了子集的概念，组合的概念及性质，分类讨论的思想方法，考查推理、计算能力两题中得出含有相关数字出现的次数是关键- 23 -
