1、- 1 -江西省南昌县莲塘第一中学 2018 届高三数学周末练试题（直升班，含解析）一选择题1.若角 终边上的点 在抛物线 的准线上，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】抛物线 的准线为 ，即 ，所以 ，选 A.【点睛】抛物线需化标准式，如本题先化为 准线为一次项系数除以-4,所以准线为 .2.若 ，且 ，则 的值为（ ）A. B. C. D. 1【答案】C【解析】由题意可知 ,所以 和 ,所以 = ,选 C.3.函数 ，设 的最大值是 ，最小正周期为 ，则 的值等于（ ）A. B. C. 1 D. 0【答案】B【解析】,所以 的最大值 ,最小正周期 故选 B- 2 -4.已知
2、函数 （ 为自然对数的底数） ，当 时， 的图象大致是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】由题意可得 即 为函数，排除 ， ，显然存在 使得，所以 在 上单调递增，在 上单调递减。所以选 B.【点睛】对于函数图像选择题，一般从四个选项的差异性入手讨论函数的性质，从整体性质到局部性质，如本题先利用图像对称性，考虑奇偶性。再利用图像 的单调性变化，从而讨论导数。5.已知约束条件为 ，若目标函数 仅在交点 处取得最小值，则 的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】画出可行域，如下图：- 3 -目标函数 ，所以要求最小值，即求截距的最小值。把直线放在 处旋转，可知斜率大
3、于以 2，所以 即 。选 C.6.已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，焦距为 ，抛物线的准线交双曲线左支于 两点，且 ，其中 为原点，则双曲线的离心率为（ ）A. 2 B. C. D. 【答案】C【解析】由题意，抛物线 的准线 交双曲线左支于 两点，设 AB 的中点为 M,则点 关于 轴对称,又 ，则 ,又 可得 代入双曲线方程，可得,结合 ,把 用 替换,两边同时除以 整理可得 ，解得 1，所以 ,解得 故选 C点睛: 本题考查双曲线的离心率，考查抛物线的性质:关于 轴对称,则可得到 A 点坐标,代入- 4 -双曲线的标准方程即得到关于 的等量关系式,结合 ,把 用 替换,两边同时除以 即得到
4、关于 的二次方程即得解，计算的准确性很关键.7.等比数列 的前 项和 （ 为常数） ，若 恒成立，则实数 的最大值是（ ）A. 3 B. 4 C. 5 D. 6【答案】C【解析】由题意可知 且 ,可得 ,化简为 ,由于均值不等式等号不成立,所以由钩型函数可知,当 n=1 时, .选 C.【点睛】等比数列,当 , ,对于恒成立,我们常用分离参数的方法,但是要注意用均值不等式时要对等号进行判定.8.如图为一个多面体的三视图，则该多面体的体积为（ ）A. B. 7 C. D. 【答案】C【解析】- 5 -该几何体为如图所示的几何体 ，是从棱长为 的正方体中截取去两个三棱锥后的剩余部分，其体积，故选
5、C.9.已知偶函数 满足 ，当 时， ，则函数 在区间 内的零点个数为A. 8 B. 7 C. 6 D. 5【答案】B【解析】由题意可得 f(x)对称轴 ,x=0,所以周期为 ,由图可知,在 上有两个根,其中一个为 x=0,根据周期性可知 ,上各有一个零点,所有共 7 个零点.选 B.【点睛】对于函数零点问题,我们一般先找到己知函数区间上的零点个数,再根据对称性和周期性求出其它区间上的零点数,特别要注意每段区间端点的零个数,需不重不漏.10.设 是双曲线 的右顶点， 是右焦点，若抛物线 的准线 上存在一点 ，使 ，则双曲线的离心率的范围是（ ）A. B. C. D. - 6 -【答案】A【解析
6、】抛物线的准线方程为 ,正好是双曲的右准线.由于 AF= ,所以 AF 弦,圆心 ,半径 圆上任取一点 P, ,现在转化为圆与准线相交问题.所以 ,解得 .填 A.【点睛】定弦与等弦所对的圆周角相等,本题利用这点,简化了解题过程.11.在 中，内角 所对的边分别为 ，已知， 是线段 上一点，且 ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】由 ，可得解得 。又因为 ，可得 ， ，得填 B.12.中心为原点 的椭圆焦点在 轴上， 为该椭圆右顶点， 为椭圆上一点， ，则该椭圆的离心率 的取值范围是 （ ）- 7 -A. B. C. D. 【答案】B【解析】设椭圆标准方程为 ，设 P(x,y
7、)，点 P 在以 OA 为直径的圆上。圆的方程：，化简为 ， 可得 。则所双 可得 ，选 B.二、填空题13.直线 截圆 所得的两段弧长之差的绝对值是_【答案】【解析】圆心到直线的距离 ，所以劣孤所对的圆心角为 ， 。填 。14.等比数列 的首项为 2，公比为 3，前 项的和为 ，若 的最小值为_【答案】【解析】由题意可得 ，所以 = ，即，由 =（ ） （ ）= ，等号成立条件是 。填【点睛】本题由数列可得 ，要求 的最小值，我们常用的方法是“1 的妙用” ，即在=（ ） （ ） ，再展开利用均值不等式可解。15.在平面直角坐标系 xoy 中，已知点 ， ,若直线 x-y+m=0 上存在点
8、P，使得- 8 -2PA=PB,则实数 m 的取值范围为_【答案】【解析】设 P(x,y), 由 2PA=PB，得 ，化简得 ，所以即直线与圆有交点。 ，解得 m 的范围为 填 。【点睛】对于满足条件轨迹不能很好转化几何意义时，我们就用直接法求出所求点的轨迹方程。再进行问题处理。16.若 的图象向右平移 个单位后与自身重合，且 的一个对称中心为 ，则 的最小正值为_【答案】24【解析】由题意可知 的周期为 T,满足 ，即 ，由 的一个对称中心为 可得 。所以 为最小值。填 24.【点睛】对于 的周期，当 时，周期为 ，当 时， 。17.已知函数 ，实数 满足 ，若 ，使得 成立，则 的最大值为
9、_【答案】4【解析】- 9 -填 4.【点睛】对于 ，转化为 的值域 的值域。18.已知函数 ，若关于 x 的不等式 的解集为 ，且，则实数 m 的取值范围是_【答案】【解析】函数 若 m=0，则不等式即 ，显然不成立若 0，函数 在 R 上是增函数，如图 1 所示：由 ，可得 ， 0，故 m 无解若 0，函数 的图象是把函数 的图象向右平移 - m 个单位得到的，由题意可得，当 -1，1时，函数 的图象在函数 的图象的下方，如图 2 所示：只要 即可，即 ,即 ，即 ，求得 综合可得 .故答案为- 10 -点睛：本题考查函数的单调性、二次函数的性质、不等式等知识，考查数形结合思想、分类讨论思
10、想，由题意可得，当 ，显然不满足条件；在 上，函数 的图象应在函数 的图象的下方 .三解答题19.如图已知四边形 AOCB 中, , ,点 B 位于第一象限，若BOC 为正三角形.（1）若 求点 A 的坐标；（2）在（1）条件下，记向量 与 的夹角为 ，求 的值. 【答案】 （1） 点坐标为 （2）【解析】试题分析：（1） 根据两角的和与差的余弦公式得出 ， ，根据三角函数定义得出点 A 坐标；（2）点 B ,向量 代入各值得结果.试题解析：- 11 -（1） 点坐标为（2）B ，向量 因此，20.如图，在半径为 的半圆形铁皮上截取一块矩形材料 ABCD（点 A、B 在直径上，点C、D 在半圆
11、周上） ，并将其卷成一个以 AD 为母线的圆柱体罐子的侧面（不计剪裁和拼接损耗），（1）若要求圆柱体罐子的侧面积最大，应如何截取？（2）若要求圆柱体罐子的体积最大，应如何截取？【答案】 （1）当截取的矩形铁皮的一边 为 为时，圆柱体罐子的侧面积最大（2）当截取的矩形铁皮的一边 为 为时，圆柱体罐子的体积最大【解析】解：（1）如图，设圆心为 O，连结 ，设 ，法一 易得 ， ，故所求矩形 的面积为 （ ）（当且仅当 ， （ ）时等号成立） 此时 ； 法二 设 ， ； 则 ， ，所以矩形 的面积为 ， - 12 -当 ，即 时， （ ）此时 ； （2）设圆柱的底面半径为 ，体积为 ，由 得， ，所
12、以 ，其中 ， 由 得 ，此时， 在 上单调递增，在上单调递减， 故当 时，体积最大为 ， 答：（1）当截取的矩形铁皮的一边 为 为时，圆柱体罐子的侧面积最大（2）当截取的矩形铁皮的一边 为 为时，圆柱体罐子的体积最大21.已知定点 ，圆 C： ，（1）过点 向圆 C 引切线 l，求切线 l 的方程；（2）过点 A 作直线 交圆 C 于 P,Q，且 ，求直线 的斜率 k； （3）定点 M,N 在直线 上，对于圆 C 上任意一点 R 都满足 ，试求 M,N 两点的坐标.【答案】 （1） x2 或 （2） （3）【解析】解：(1)当直线 l 与 x 轴垂直时，易知 x2 符合题意； 当直线 l 的
13、斜率存在时，设直线 l 的方程为 yk(x2)即 kxy2k0.- 13 -若直线 l 与圆 C 相切，则有 ，解得 k ，直线 l：故直线 l 的方程为 x2 或 （2）设 ，由 知点 P 是 AQ 的中点，所以点 Q 的坐标为 .由于两点 P,Q 均在圆 C 上，故 ， ，即 ， 得 ， 由解得 或 ， (其他方法类似给分) （3）设 ，则 又 得 ， 由、得 ，由于关于 的方程有无数组解，所以 ， 解得 所以满足条件的定点有两组 22.已知数列 和 满足 若 为等比数列，且（1）求 和 ；（2）设 ，记数列 的前 项和为求 ；求正整数 k，使得对任意 均有 .- 14 -【答案】 （1）
14、 an2 n(nN *) bn n(n1)( nN *) （2）(i) Sn (nN *)(ii)k4.【解析】解：(1)由题意 a1a2a3an ，b3b26，知 a3( )b3b28. 设数列an的公比为 q,又由 a12，得 ，q2(q2 舍去)，所以数列an的通项为an2n(nN*) 所以，a1a2a3an2 ( )n(n1)故数列bn的通项为 bnn(n1)(nN*) (2)(i)由(1)知 cn (nN*)所以 Sn (nN*) (ii)因为 c10，c20，c30，c40，当 n5 时，cn 而 得 所以，当 n5 时，cn0.综上，若对任意 nN*恒有 SkSn，则 k4.23
15、.如图，正三棱柱 中，侧棱 ， ， 分别为棱 的中点，分别为线段 和 的中点.（1）求证：直线 平面 ；（2）求二面角 的余弦值.【答案】 （1）详见解析；（2） .【解析】- 15 -试题分析：取 口点 F,通过证平面 平面 ，从面证明直线 平面取 BC 中点 O,以 O 为原点，OB,OE，OA 分别为 x 轴，建立空间直角坐标系，可解。试题解析：（1）取棱 的中点 ，连 ，则平面 ， 平面平面 ，同理 平面又 ，且 平面 ， 平面平面 平面又 平面 /平面 （2）取线段 的中点 ，连 ，则 ，连 ，则 ，又因为 平面 ，所以 平面以 为坐标原点，分别以 ， , 为 轴正方向建立空间直角坐
16、标系 .设 则 ， 各点坐标如下：， , 平面 即平面 取平面 的一个法向量为设平面 的法向量为 ，则 ， 又 - 16 -令 得平面 的一个法向量为故二面角 的余弦值为【点睛】通过证线线平行证线面平行不好找时，我们可以通过证面面平行来证线面平行。24.已知函数 ，其中 .（1）设 是 的导函数，求函数 的极值；（2）是否存在常数 ，使得 时， 恒成立，且 有唯一解，若存在，求出的值；若不存在，说明理由.【答案】 （1）极大值为 ，没有极小值；（2） .【解析】试题分析：（1）求导，求得 ， （ ）求导，根据导数与函数单调性的关系，即可求得函数 的极值；（2）由（1）可知：必然存在 ，使得 在 单增，单减，且 ，求得 的表达式，存在 使得 ，代入即可求得 ，即可求得 的值试题解析：（1） 在 单增；在 单减，极大值 ,没有极小值（2）由（1）知： ，且 在 单减，且 时 0则必然存在 ，使得 在 单增， 单减；且 ，即 此时：当 时，由题意知：只需要找实数 使得 将式带入知：- 17 -得到 ，从而. 点睛：本题考查导数的综合应用，考查导数与函数单调性及极值的关系，不等式恒成立，考查转化思想，任意 时， 恒成立，且 有唯一解，转化为找实数 使得 .- 18 -
