1、1西藏自治区拉萨中学 2019 届高三数学上学期第四次月考试题 文（含解析）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.设集合 ， ， ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】因为 ,所以 .选 C.2.设复数 z 满足 =i，则|z|=（ ）A. 1 B. C. D. 2【答案】A【解析】试题分析：由题意得， ，所以 ，故选 A.考点：复数的运算与复数的模.【此处有视频，请去附件查看】3.已知函数 ，那么 的值为（ ）A. 9 B. C. 9 D. 【答案】B【解析】，那么 ，故选 B.f(116)=log4116=
2、2 ff(116)=f(2)=32=194.若 ，且 为第二象限角，则 （ ）sin(2+)=35 tan=A. B. C. D. 43 34 43 34【答案】A【解析】2【分析】由已知利用诱导公式，求得 ，进一步求得 ，再利用三角函数的基本关系式，即可求cos sin解。【详解】由题意 ，得 ，sin(2+)=35 cos=35又由 为第二象限角，所以 ， sin= 1cos2=45所以 。故选 A.tan=sincos=43【点睛】本题主要考查了三角函数的化简、求值问题，其中解答中熟记三角函数的诱导公式和三角函数的基本关系式，合理运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题。5
3、.若 ，则下列不等式成立的是a1b0,12a=14 A，排除 ；2=a2b2=14 C，排除 ，故选 B.c2logba=1 D【点睛】用特例代替题设所给的一般性条件，得出特殊结论，然后对各个选项进行检验，从而做出正确的判断，这种方法叫做特殊法. 若结果为定值，则可采用此法. 特殊法是“小题小做”的重要策略，排除法解答选择题是高中数学一种常见的解题思路和方法，这种方法即可以提高做题速度和效率，又能提高准确性，这种方法主要适合下列题型:(1)求值问题（可将选项逐个验证） ；（2）求范围问题（可在选项中取特殊值，逐一排除） ；（3）图象问题（可以用函数性质及特殊点排除） ；（4）解方程、求解析式、
4、求通项、求前项和公式问题等等.n36.已知向量 的夹角为 ，则 （ ）a,b 60，|a|=2，|a2b|=2 |b|=A. B. C. D. 4 2 2 1【答案】D【解析】由 ，得 ，即 ，则|a2b|=2 (a2b)2=|a|24ab+4|b|2=2 |a|24|a|b|cos60+4|b|2=2，解得 （舍去）或 ，故选 D.2|b|2|b|6=0 |b|=32 |b|=17.已知 为等比数列， 是它的前 项和. 若 ，且 与 2 的等差中项为 ，则an Sn n a2a3=2a1 a4 a754= ( )S5A. 31 B. 32 C. 33 D. 34【答案】A【解析】【分析】设等
5、比数列a n的公比为 q，由已知可得 q 和 a1，代入等比数列的求和公式即可【详解】设等比数列a n的公比为 q，则可得 a1qa1q2=2a1，因为 即 a1q3= =2，a10 a4又 a4与 2a7的等差中项为 ，所以 a4+2a7= ，即 2+22q3= ，54 52 52解得 q= ，可得 a1=16，故 S5= =3112 16（1-125）1-12故选：A【点睛】本题考查等比数列的通项公式和求和公式的应用，也利用等差数列的性质，属基础题8.若实数 满足不等式组 ，则 的最大值是( )x,y x+y1xy1x0 2x+yA. 1B. 0C. 1D. 2【答案】D4【解析】【分析】
6、作出不等式组对应的平面区域，由 ，得 ，平移直线 ，利用目z=2x+y y=2x+z y=2x+z标函数的几何意义，即可求解。【详解】作出不等式组对应的平面区域，如图所示，由 ，得 ，z=2x+y y=2x+z平移直线 ，y=2x+z由图象可知当直线 过点 C 时，直线 的截距最大，此时最大，y=2x+z y=2x+z由 ，解得 ，即 ，x+y=1xy=1 x=1y=0 C(1,0)代入目标函数 ，得 ，z=2x+y z=21+0=2即目标函数 的最大值为 2。故选 D.z=2x+y【点睛】本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题解决此类问题的关键是正确画出不等式组表示的可行域，将目标函
7、数赋予几何意义；求目标函数的最值的一般步骤为：一画二移三求，其关键是准确作出可行域，理解目标函数的意义是解答的关键9.某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是 ，则正视图中的 的值是（ ）32 xA. B. C. D. 292 32 35【答案】C【解析】试题分析：根据题中所给的几何体的三视图，可知该几何体为底面是直角梯形的，且顶点在底面上的摄影为底面梯形的顶点的四棱锥，故 ，即 ，故选V=1312(1+2)2x=32 x=32C考点：根据三视图还原几何体10.已知函数 ，若将它的图象向右平移 个单位长度，得到函数 的图象，f(x)=2sin(2x+6) 6 g(x)则函数 图象的一条对称
8、轴方程为（ ）g(x)A. B. C. D. x=12 x=4 x=3 x=23【答案】C【解析】由题意知 ，令 ，g(x)=2sin(2(x6)+6)=2sin(2x6) 2x6=2+k,kZ解得 ，x=3+k2,kZ当 时， ，即函数 的图象的一条对称轴的方程为 .k=0 x=3 g(x) x=3本题选择 C 选项.11.双曲线 的右焦点为 ,过点 斜率为 的直线为,设直线与双曲C:x2a2-y2b2=1(a0,b0) F(c,0) F -ba线的渐近线的交点为 为坐标原点，若 的面积为 ,则双曲线 的离心率为( )A,O OAF 4ab CA. B. C. 2 D. 42 3【答案】D【
9、解析】过点 且斜率为 的直线方程为 ，F ba y=ba(xc)与双曲线的渐近线 联立， 得到 ，y=bax A(12c,bc2a)因为 的面积为 ，所以 ，所以 ，OAF 4ab12cbc2a=4ab c=4a所以双曲线的离心率为 ，故选 De=ca=412.设函数 ，若不等式 仅有 1 个正整数解，则实数的取值范围是( f(x)=x2lnxax2x f(x)0不等式 ，即 ，两边除以 ，则 ，f(x)b AB B=4514.设 a、 b、 cR ，若 a b c1，则 _.1a+1b+1c7【答案】9【解析】 a、 b、 cR ， a b c1，1a+1b+1c=(a b c)(1a+1b
10、+1c)=3+(ba+ab)+(ac+ca)+(cb+bc)3+2+2+2=9故答案为：9点睛：在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等.一正：关系式中，各项均为正数；二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；三相等：含变量的各项均相等，取得最值.15.聊斋志异中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术。得诀自诩无所阻，额上坟起终不悟。 ”在这里，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”： ，223= 223， ， ，则按照以上规律，若 具有“穿墙术” ，则338= 338 4 415= 44155 524= 5524 88n= 88n_n=【答案】63.【解析】
11、 ， ， ，223=2 2221= 223 338=3 3321= 338 4 415=4 4421= 44155 524=5 5521= 5524按照以上规律 ，可得 .88n= 88n n=821=63故答案为 .6316.在三棱锥 中, 平面 ， ， ， ， ，则三棱锥PABC PA ABC ABBC AB=3 BC=4 PA=5的外接球的表面积为_PABC【答案】 50【解析】【分析】以 为长宽高构建长方体，则长方体的外接球是三棱锥 的外接球，由此能AB,BC,PA PABC求出三棱锥 的外接球的表面积.PABC【详解】由题意，在三棱锥 中， 平面 ，PABC PA ABC,ABBC,
12、AB=3,BC=4,PA=5以 为长宽高构建长方体，则长方体的外接球是三棱锥 的外接球，AB,BC,PA PABC所以三棱锥 的外接球的半径为 ，PABC R=1232+42+52=5228所以三棱锥 的外接球的表面积为 .PABC S=4R2=4(522)2=50【点睛】本题主要考查了三棱锥的外接球的表面积的计算问题，其中解答中根据几何体的结构特征，以 为长宽高构建长方体，得到长方体的外接球是三棱锥 的外AB,BC,PA PABC接球是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与运算能力.三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17.已知 为等差
13、数列， 为 的前 项和，且 ， .an Sn an n a2=3 S5=25（1）求 及 ；an Sn（2）设 是首项为 ，公比为 的等比数列，求数列 的通项公式及其前 项和 .bnan 1 3 bn n Tn【答案】 （1） ；（2） .an=2n-1,Sn=n2 bn=(2n-1)3n-1,Tn=(n-1)3n+1【解析】【分析】（1）由题意，根据题意，列出方程组，求得 的值，即可求得数列的通项公式；a1,d（2）由（1）可得 ,利用乘公比错位相减法，即可求解数列的前 n 项和。bn=(2n-1)3n-1【详解】(1)由题意得，则 ，解得 ，a2=a1+dS5=5a1+542d a1=1,
14、d=2所以 , .an=1+2(n-1)=2n-1Sn=n2（2） ,bn=(2n-1)3n-1 ,Tn=1+33+532+(2n-1)3n-1,3Tn=3+332+(2n-3)3n-1+(2n-1)3n -2Tn=1+2(3+32+3n-1)-(2n-1)3n,=1+23(13n-1)13 -(2n-1)3n=(2-2n)3n-2 .Tn=(n-1)3n+1【点睛】本题主要考查等差的通项公式及求和公式、数列求和的“错位相减法” ，此类题目是数列问题中的常见题型，对考生计算能力要求较高，解答中确定通项公式是基础，准确计算求和是关键，易错点是在“错位”之后求和时，弄错等比数列的项数，能较好的考查
15、9考生的数形结合思想、逻辑思维能力及基本计算能力等.18.已知向量 ，记 m=( 3sinx4,1),n=(cosx4,cos2x4) f(x)=mn（1）若 ，求 的值；f(x)=1 cos(x+3)（2）在锐角 中，角 的对边分别是 ，且满足 ，求 的ABC A,B,C a,b,c (2ac)cosB=bcosC f(2A)取值范围【答案】 （I） f(x)=mn= 3sinx4cosx4+cos2x4= = 3 分32sinx2+12cosx2+12sin(x2+6)+12 = 6 分f(x)=1 sin(x2+6)=12 12（II） ，(2ac)cosB=bcosC由正弦定理得 (2
16、sinAsinC)cosB=sinBcosC 2sinAcosBsinCcosB=sinBcosC 8 分2sinAcosB=sin(B+C) ，且A+B+C= sin(B+C)=sinA sinA0 10 分cosB=12, 0b0)（）求椭圆 C 的方程；（） 是椭圆 C 的两个焦点，O 是以 F1F2为直径的圆，直线 l: y=kx+m 与O 相切，F1,F2并与椭圆 C 交于不同的两点 A、B，若 ，求 的值OAOB=32 k【答案】 （1） ， （2）x24+y23=1 22【解析】解:（）由题意椭圆的长轴 2=4，得 a=2， -1 分点 在椭圆上， -3 分 14+94b2=1，
17、b2=312椭圆的方程为 -5 分（）由直线 l 与圆 O 相切得 -6 分|m|1+k2=1,m2=1+k2设 ，A(x1,y1),B(x2,y2)由 消去 ，整理得 -7 分由题可知圆 O 在椭圆内，所以直线必与椭圆相交 -8 分0-9 分x1+x2=8km3+4k2x1x2=4m2123+4k2=y1y2=(kx1+m)(kx2+m) k2x1x2+km(x1+x2)+m2= = -10 分k24m2123+4k2+km(8km3+4k2)+m23m212k23+4k2-11 分x1x2+y1y2=4m2123+4k2+3m212k23+4k2=7m212k2123+4k2-12 分m2
18、=1+k2x1x2+y1y2=55k23+4k2-14 分OAOB=32,55k23+4k2=32, k2=12,k的 值 为 2221.已知函数 .f(x)=lnxx2ax（1）当 时，求曲线 在 处的切线方程；a=1 y=f(x) x=1（2）若 恒成立，求的取值范围.f(x)0【答案】 ； .)y=-2x )a-1【解析】【分析】将 代入，求导后运用其几何意义求出切线方程(1) a=1分离参量得 ，令 ，求导后算出最值(2) alnxx-x h(x)=lnxx-x【详解】 时，函数 ，可得 ，所以 ， 时，(1)a=1 f(x)=lnx-x2-x f(x)=1x-2x-1 f(1)=-2
19、 x=1f(1)=-2曲线 则 处的切线方程；y=f(x) x=1 y+2=-2(x-1)即： ；y=-2x13由条件可得 ，(2) lnx-x2-ax0(x0)则当 时， 恒成立，x0 alnxx-x令 ，则 ，h(x)=lnxx-x(x0) h(x)=1-x2-lnxx2令 ，k(x)=1-x2-lnx(x0)则当 时， ，所以 在 上为减函数x0 k(x)=-2x-1x0 (1,+) h(x)1详解：（1） ，f(x)-12 x+1-(2x+1)+11 x1综上所述， A=(-,-1)(1,+)（2）因为 f(x-2)+f(x-3)=|x-1|+|x-2|(x-1)-(x-2)|=1且 的解集不是空集，f(x-2)+f(x-3)1 (1,+)点睛：绝对值不等式的常见解法：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想16
