1、- 1 -直线和圆的位置关系一课一练基础闯关题组一 切线的判定1.(2017闵行模拟)下列关于圆的切线的说法正确的是 ( )A.垂直于圆的半径的直线是圆的切线B.与圆只有一个公共点的射线是圆的切线C.经过半径的一端且垂直于半径的直线是圆的切线D.如果圆心到一条直线的距离等于半径长,那么这条直线是圆的切线【解析】选 D.A、经过半径的外端点且垂直于半径的直线是圆的切线,故原命题错误;B、与圆只有一个公共点的直线是圆的切线,故原命题错误;C、经过半径的外端点且垂直于半径的直线是圆的切线,故原命题错误;D、如果圆心到一条直线的距离等于半径长,那么这条直线是圆的切线,正确.2.如图,已知点 A 是O
2、上一点,半径 OC 的延长线与过点 A 的直线交于点 B,OC=BC,AC= OB.则12AB_(填“是”或“不是”)O 的切线. 【解题指南】连接 OA,根据已知若能证明OAB=90,则 AB 是O 的切线,否则不是.【解析】连接 OA,OC=BC,AC= OB,12AC=OA=OC,OAC=60,OCA=2CAB=60,CAB=30,OAB=60+30=90,OAAB,AB 是O 的切线.答案:是3.如图,A,B 是O 上的两点,AC 是过 A 点的一条直线,如果AOB=120,那么当CAB 的度数等于_度时,AC 才能成为O 的切线.- 2 -世纪金榜导学号 18574128【解析】AO
3、B 中,OA=OB,AOB=120,OAB=30,当CAB 的度数等于 60时,OAAC,AC 才能成为O 的切线.答案:60【变式训练】在ABO 中,OA=OB=2cm,O 的半径为 1cm,当AOB=_时,直线 AB 与O 相切.【解析】如图,连接 OC,O 与直线 AB 相切于点 C;OCAB;而 OA=2,OC=1,A=30;而 OA=OB,B=A=30,AOB=180-60=120.答案:1204.如图,A 是O 上一点,且 PA=12,PB=8,OB=5,则 PA 与O 的位置关系是_.【解析】连接 OA,PA=12,PB=8,OB=5,OP=PB+OB=13,OA=OB=5,PA
4、 2+OA2=OP2,PAO=90,即 OAPA,PA 是O 的切线,即 PA 与O 的位置关系是相切.答案:相切5.(2017沈阳中考)如图,在ABC 中,以 BC 为直径的O 交 AC 于点 E,过点 E 作EFAB 于点 F,延长 EF 交 CB 的延长线于点 G,且ABG=2C. 世纪金榜导学号- 3 -18574129(1)求证:EF 是O 的切线.(2)若 sinEGC= ,O 的半径是 3,求 AF 的长.35【解析】 (1)如图,连接 OE,则EOG=2C,ABG=2C,ABG=EOG,OEAB,EFAB,AFE=90,GEO=AFE=90,OEEG,又OE 是O 的半径,EF
5、 是O 的切线.(2)ABG=2C,ABG=C+A,A=C,BA=BC,又O 的半径为 3,OE=OB=OC=3,BA=BC=23=6,在 RtOEG 中,sinEGC= ,O即 = ,OG=5,GB=OG-OB=2,353又在 RtFGB 中,sinEGC= ,B即 = ,BF= .35B2 65AF=AB-BF=6- = .652456.(2017攀枝花中考)如图,在ABC 中,以 BC 为直径的O 交 AB 于点 D,AE 平分BAC 交 BC 于点 E,交 CD于点 F,且 CE=CF. 世纪金榜导学号 18574130(1)求证:直线 CA 是O 的切线.(2)若 BD= DC,求
6、的值.43 D- 4 -【解析】(1)CF=CE,CEF=CFE,即CEF=AFD.BC 是直径,DCAB,即ADC=90,DAF+AFD=90.AE 平分BAC,BAE=EAC,EAC+AEC=90,ACB=90,即 ACBC,AC 为O 的切线.(2)作 FGAC 于点 G.在 RtBCD 中,B+BCD=90,又BCD+ACD=90,ACD=B.AE 平分BAC,FG=DF,BD= DC, = ,43 D35在 RtCFG 和 RtBCD 中,sinGCF=sinB= = = , = = .FD35 DF35题组二 三角形的内切圆1.下列说法中不正确的是 ( )A.三角形只有一个外接圆B
7、.三角形只有一个内切圆C.三角形的内心到三个顶点的距离相等D.三角形的内心到这个三角形三边的距离相等【解析】选 C.A、三角形只有一个外接圆,此选项正确,不合题意;B、三角形只有一个内切圆,此选项正确,不合题意;C、三角形的内心到这个三角形三边的距离相等,错误,符合题意;- 5 -D、此选项正确,不合题意.2.九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有下列问题“今有勾八步,股十五步,问勾中容圆径几何?”其意思是:“今有直角三角形,勾(短直角边)长为 8 步,股(长直角边)长为 15 步,问该直角三角形能容纳的圆形(内切圆)直径是多少?” ( )世纪金榜导学号 18574131A.3 步
8、B.5 步 C.6 步 D.8 步【解题指南】连接圆心和三个顶点,则圆心和三个切点的连线是三个三角形的高,利用大三角形面积等于三个小三角形的面积之和求半径.【解析】选 C.设圆心为 O,圆的半径为 R,连接圆心和三角形的三个顶点,根据勾股定理得直角三角形的斜边为 =17 步,利用三角形的面积等于三个小三角形的面积之和,得到等量关系:82+152815= 8R+ 15R+ 17R,解得 R=3 步,所以直径为 6 步.12 12 12 123.已知 RtABC 的内切圆与斜边 BC 切于点 D,与直角边 AB,AC 分别切于点 E,F,则EDF 等于 ( )A.90 B.60 C.75 D.45
9、【解析】选 D.连接 OE,OF,O 切 AC 于 F,切 AB 于 E,切 BC 于 D,OFA=OEA=90,A=90,FOE=360-903=90,由圆周角定理得:EDF= FOE=45.124.(2017武汉中考)已知一个三角形的三边长分别为 5,7,8,则其内切圆的半径为 ( )世纪金榜导学号 18574132- 6 -A. B. C. D.232 32 3 3【解析】选 C.如图,AB=7,BC=5,AC=8,内切圆的半径为 r,切点为 G,E,F,作 ADBC 于点 D,设 BD=x,则CD=5-x.由勾股定理可知:AD 2=AB2-BD2=AC2-CD2,即 72-x2=82-
10、(5-x)2,解得 x=1,AD=4 ,3 BCAD= (AB+BC+AC)r,12 1254 = 20r,12 312r= .3【知识归纳】直角三角形内切圆的半径等于两直角边的和与斜边的差的一半.I 为ABC 的内心.如果ABC+ACB=100,那么BIC 等于 世纪金榜导学号 18574133( )A.80 B.100 C.130 D.160【解析】选 C.I 为ABC 的内心,IBC= ABC,ICB= ACB,12 12ABC+ACB=100,IBC+ICB=50,BIC=180-(IBC+ICB)=130.【母题变式】- 7 -变式一(变换条件)I 为ABC 的内心.(1)如果A=1
11、50,求IBC+ICB 的度数.(2)如果BIC=,求ABC+ACB 的度数.【解析】(1)A=150,ABC+ACB=180-A=180-150=30,I 为ABC 的内心,IBC= ABC,ICB= ACB,12 12ABC+ACB=30,IBC+ICB=15.(2)BIC=,IBC+BCI=180-BIC=180-,I 为ABC 的内心,IBC= ABC,ICB= ACB,12 12ABC+ACB=2(IBC+BCI)=2(180-)=360-2.变式二(变换结论)(2017石家庄模拟)如图,点 F 是ABC 的内心,A=50,则BFC=_.【解析】A=50,ABC+ACB=130,点 F 是ABC 的内心,BF,CF 分别是ABC,ACB 的平分线,FBC= ABC,FCB= ACB,12 12- 8 -BFC=180-(FBC+FCB)=180- (ABC+ACB)=115.12答案:115
