1、- 1 - 2 - 3 - 4 - 5 - 6 - 7 -绝密启用前 试卷类型：A2019 年茂名市高三级第一次综合测试文科数学参考答案及评分标准 2019.1一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 C C A D C B D B C A A B1【解析】 A 包含的整数有 1, 2， B=0, 1, 2， A B=1, 2答案：C2【解析】(1+i)( a+i) a 1+(a+1)i 为实数， a+1=0，得 a= 1答案：C3【解析】评价等级为 A 的人数是：50041%=205 人答案：A4【解析】设
2、双曲线的焦距为 2c，依题意 2a22b2=a2+b2，即 a2=3b2 ,又 b2=c2a2， a2=3(c2a2), 即 ，双曲线的离心率为 答案：D24335【解析】由可能 a ,也可能 a , A 错；B 中的直线 a, b 平行，也可能异面，B 错；C 正确；D 中的直线 a, b 也可能异面；D 错答案：C6【解析】如图，11()33BEAA答案：B 21233A7【解析】依题设得 ，所以 A, B, C 正确答案：D()cos)3fx8【解析】函数 y=loga(x+4)+2(a0 且 a1)的图像恒过 A(3, 2)，则32sin,cos,131以 sin2 =2sin cos
3、 = 答案：B.29【解析】设矩形模型的长和宽分别为 x, y，则 x0, y0，由题意可得 2(x+y)=8，所以x+y=4，所以矩形菜园的面积 S=xy ，当且仅当 x=y=2 时取等号，2()4所以当矩形菜园的长和宽都为 2cm 时，面积最大，为 4cm2答案：C10.【解析】显然 f(x)是奇函数，图像关于原点对称，排除 D；在区间(0, )上，2sin2x0，sin x0，即 f(x)0，排除 B 和 C；答案：A11【解析】如图，在长方体 ABCDA1B1C1D1中， DC AB，相交直线 D1B 与 AB 所成的角是异面直线 D1B 与 DC 所成的角.ED CBABCAB1C1
4、A1DD1- 8 -连接 AD1，由 AB平面 ADD1A1，得 AB AD1.在 Rt ABD1中， ABD1就是 D1B 与 DC 所成的角，即 ABD1=60 ，又 AB=2， AD1=ABtan60=2 3在 Rt ADD1中， D1D= ，设长方体外接球半径为 R，212则由长方体的对角线就是长方体外接球直径得 4R2=D1B2=AD2+DC2+D1D2=4+4+8=16，长方体外接球表面积是 4R 2=16 答案：A12解析： g(x)有两个零点,即方程 f(x)ax=0 有两个不等的实根 . 也就是函数 y=f(x)与 y=ax 有两个交点，如图，作出 y=f(x)的图象，而 y
5、=ax 是过原点的直线，当 a0 时，求出 y=ax 与 y=lnx 相切时的斜率 a= ，数形结合，1e当且仅当 0 a 时， y=ax 与 y=f(x)有两个交点.1e当 a0 时， y=ax 与 y=f(x)恒有两个交点.当 a=0 时， y=ax 与 y=f(x)只有一个交点.综上得 a 的取值范围是(, 0)(0, )答案：B.1e二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.130 144 15 166 213【解析】 f(x)是奇函数，所以 f(1)= f(1)， ，221()()a解得 a=0答案：014【解析】：作出不等式组所表示的可行域如图所示：当动直线 y=
6、 2x+z 过点 A(2,0)时， zmax=22+0=4 答案：415【解析】如图所示,设树干底部为 O，树尖着地处为 B，折断点为 A，则 AOB=75, ABO=45, 所以 OAB=60由正弦定理知,，所以 OA= (米)， (米)，10=sin45i7sin6OB106315263A (米)答案：25A5216【解析】如图，由题设，得圆心 C(3,1),半径r= ， 2,2直线 OA 的方程为 x+y=0，则 OAM 边 OA 上的高 h 就是点 M 到直线 OA 的距离，圆心 C(3, 1)到直线 OA 的距离为 ，可得圆 |31|2dO xA 1 y M1-2 32 Cy=axx
7、y11Oy= 2x+zxy22Oxy=0x+y=2AO BA75 神，举办“好心茂名杯”美术书法作品比赛，某赛区现收到50件参赛作品，为了解作品质量，现要从中抽取10件作品进行抽样统计，将这50件作品按150 编号，按各组内抽取的编号依次增加 5进行系统抽样.（）若第 5组抽出的号码为23，写出第一组被抽出作品的编号；（）若这10件作品的成绩如下：65,82,78,86，96,81,73,84，76,59，请绘制以上数据的茎叶图，并求该样本的中位数和方差；（）在（）的条件下，从这10件作品中随机抽取两件成绩在平均分以上（含平均分）的作品，求成绩为82分的作品被抽取到的概率【解析】（）由各组内抽
8、取的编号依次增加5 进行系统抽样，且第5 组抽出的号码为23，设+x5（5-1）=23，解得 3x，所以第1 组抽出的号码应该为3，抽出的10名职工的号码分别为3，8，13，18，23，28，33，38，43，48（）平均数为 1 78096824867386590 1x样本数据的中位数为： 7819.52方差为 2222221 108834685039.0S（）从这10名学生中随机抽取两名成绩在平均分以上（含平均分）的学生的基本事件有：（78，81） ，（78，82） ，（78，84） ，（78，86） ，（78，96） ，（81，82） ，（81，84） ，（81，86） ，（81，96）
9、 ，（82，84） ，（82，86） ，（82，96） ，（84，86） ，（84，96） ，（86，96） 共有15个；设事件 A为成绩为82分的学生被抽取到，则事件 A包含的基本事件有：（78，82） ，（81，82） ，（82，84） ，（82，86） ，（82，96） ，共 5个；故所求概率为 .153PA所以成绩为82分的学生被抽取到的概率为.131045D1- 9 -(x3)2+(y1)2=2 上的点 M 到直线 OA 的距离的最大值为 hmax=d+r=3 2,故 OAM 面积的最大值 答案：6max1232SOAh三、解答题：共 70 分. 解答过程应写出文字说明、证明过程或演
10、算步骤. 第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答，第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答.17解：()由 a1=1, 得 ， ，2nna1223a2135a，即 a2, a3, a4的值分别为 3 分34572 1,57()(法一)证明：由 得 ，5 分1nn12na ，又 a1=1, ， .6 分12na数列 是首项为 ，公差为 2 的等差数列.7 分()(法二)证明：由 a1=1, ，得 ，1nna14 分12nna6 分112nnnaa因此，数列 是首项 ，公差为 2 的等差数列7 分n1()由()得 ，2()na an的通项公式为 8 分1n cn=anan+1= ，9
11、 分()2(2)n Sn=c1+c2+c3+cn 10 分111)()5732n= 12 分().18()证明：依题意， AD BC， 由翻折的不变性得， AD DE， AD DS，2 分又 DS DE=D， DE、 DS 平面 SDE，3 分 AD平面 SDE， 4 分SAFED第18题图(2)OG- 10 - AD 平面 ADEF，平面 ADEF平面 SDE；.5 分()解法一：由已知得几何体 ADSEF 是四棱锥 SADEF，EF 为 ADC 的中位线， EF AD 且 EF= AD=3.6 分12由题设得四边形 ADEF 为直角梯形， AD=6， DE =3， S ADEF= (AD+
12、EF)DE= (6+3)3= .7 分12127在平面 SDE内，作 SO DE， O为垂足，由()知平面 ADEF平面 SDE，平面 ADEF平面 SDE=DE， SO 平面 SDE， SO平面 ADEF，即 SO是四棱锥 SADEF的高.8 分在 SDE 中，设 G 是 SD 的中点，连接 GE，依题设知 ES=DE=3， DS=4，故 EG DS， EG= 10 分25ES利用等面积得 SO= 11 分453DE四棱锥 SADEF 的体积为 1245271163SADEFAEFVSO分解法二：由已知得几何体 ADSEF 是四棱锥 SADEF，EF 为 ADC 的中位线， EF AD 且
13、EF= AD=3.6 分12由题设得四边形 ADEF 为直角梯形， AD=6， DE =3， S ADEF= (AD+EF)DE= (6+3)3= .7 分12127在平面 SDE内，作 SO DE， O为垂足，由()知 AD平面 SDE，SO 平面 SDE， SO AD，又 AD DE=D， AD、 DE 平面 ADEF， SO平面 ADEF，即 SO是四棱锥 SADEF的高.8 分在 SDE 中，依题设知 ES=DE=3， DS=4，由余弦定理得: ，又 DES(0, )221cos 9Esin DES= ，459故 10 分4511sin32229DESDES利用等面积得SAFED第18
14、题图(2)O- 11 - ，11 分125,DESO 453S四棱锥 SADEF 的体积为 12 分716532SADEFAEFV19解：()根据题意绘制茎叶图如下：()样本数据的中位数为： 3 分7819.52平均数为 ，7801(96+46+3786+9)0 1x方差为 6 分22222228348(5)0()=.1 0s()成绩在平均分以上(含平均分)的作品有：78，81，82，84，86，96 共 6 件；7 分从成绩在平均分以上(含平均分)的作品中随机抽取两件作品的基本事件有：(78, 81），(78, 82），(78, 84)，(78, 86)，(78, 96)，(81, 82)，
15、(81, 84)，(81, 86)，(81, 96)，(82, 84)，(82, 86)，(82, 96)，(84, 86)，(84, 96)，(86, 96)共有 15 个；9 分设事件 A 为成绩为 82 分的作品被抽取到，则事件 A 包含的基本事件有：(78, 82)，(81, 82)，(82, 84)，(82, 86)，(82, 96)共 5 个； 10 分 11 分51().3P因此，成绩为 82 分的作品被抽取到的概率为 12 分13596573688124696. . .2 分- 12 -20解：()依题意得 F(0, ), 设 P(x0, y0)，由 PF 的中点坐标为 ，得2
16、p 5(2,)0+x0=22 且 +y0=2 ， x0=4， y0=5 52p.2 分 P(x0, y0)在抛物线 x2=2py 上，16=2 p(5 )，即 p210p+16=0，解得 p=2 或 p=8(舍去) . . . 4 分抛物线 C 的方程为 x2=4y； . . . 5 分()(法一)依题意直线 l 的斜率存在，设直线 l： y=kx+2， M(x1, y1), N(x2, y2)，则Q(x1, y1)，. 6 分联立 消去 y 得 x24kx8=0，显然0，由韦达定理得 24,k， 124,8.kx.7 分 ， . . . 2121214QNykxx.8 分直线 QN 方程为
17、， . . . 211()yx.9 分即 212212 1121 ()() ,4444x xxyx10 分 x1x2 = 8, QN 方程为 , . 21yx.11 分即直线 QN 方程恒过定点(0, 2) . .12 分(法二)依题意知直线 QN 的斜率存在且不为 0，设直线 QN 方程为 y=kx+b， Q(x1, y1)， N(x2, y2)， 则 M(x1, y1) . . .6 分联立 消去 y 得 x24kx4b=0 Q， N 是抛物线 C 上不同两点，必有0, 24,ykxb，- 13 -由韦达定理得 . . 7 分124,.xkb M, A, N 三点共线, ， x1(y2 2
18、) x2(y1 2)12(,),(,)AMxyANxy=08 分 ，12210kkb ，即 化简得：12()0kxb(4)k,9 分0b k0， b= 2 . . .10 分直线 QN 方程为 y=kx 2, . . .11 分直线 QN 恒过定点(0,2) . . .12 分21解：() . . 122ee()xxxaf a.1 分由切线斜率 k= ，解得 a=2. . 21()ef.2 分 ，其定义域为(,0)(0,+) ， . 12e()xf 12()exf. .3 分令 0，解得 x1，故 f(x)在区间(1,+) 上单调递增；()fx. .4 分令 0，解得 x1，且 x0，故 f(
19、x)在区间( ,0) 和区间(0,1上单调递减；()f .5 分()由()知 g(x)= exlnx ，定义域为(0,+) 12从而 g(x)1 等价于 ， . . ln. .6 分设 h(x)=xlnx(x0)，则 ， .()l1hx1()ln0eh当 x(0, )时， 0，当 x( ,+) 时， 0. . 1e ()hx. .7 分- 14 -故 h(x)在区间(0, )上单调递减，在区间( ,+) 上单调递增，. 1e1e.8 分从而 h(x)在(0,+) 的最小值为 h( )= . .9 分设 m(x)= (x0)，则 ，2e1()exm当 x(0, 1)时， 0，当 x(1,+) 时
20、， 0. . ()mx.10 分故 m(x)在区间(0, 1)上单调递增，在区间(1,+) 上单调递减，从而 m(x)在(0,+) 的最大值为 m(1)= ，1e综上所述，在区间(0,+) 上恒有 h(x) m(x)成立，即 g(x)1.12 分22解：()设点 Q 的坐标为( x, y)， Q 为线段 OP 的中点，点 P 的坐标为(2 x, 2y).1 分由点 P 在椭圆上得 ，化简得点 Q 的轨迹的直角坐标方程为 22()10y 2153yx.2 分将 x= cos ， y= sin ，代入得 ，22cosin153化简可得点 Q 的轨迹的极坐标方程为 .5 分22(3sin)15()(
21、法一)把直线 l 参数方程 (t 为参数)代入得 ，化简得：1,23xy23415t7 分2103t . . . 1230,tt.8 分设 M、 N 两点对应的参数分别为 t1， t2，由直线参数方程 t 的几何意义得弦长 .1230|t10 分- 15 -(法二)由直线 l 参数方程 (t 为参数)知，直线 l 过极点，倾斜角为 ，1,23xy 3.6 分直线 l 的极坐标方程为 .7 分(R)3由 解得：22,(sin)15,和 .9 分1,302,30.弦长 .123|MN10 分(法三)由直线 l 参数方程 (t 为参数)知，直线 l 的普通方程为 ，1,23xy 3yx.6 分联立
22、解得 和 2315yx， ， 1062xy， 23061.xy，.8 分弦长 .221130|()()MNxy10 分23解：由已知 f(x)=|2x+1|xa|= (a0) 11,23,ax 1 分- 16 -()当 a=1 时， f (x)= 由 f(x)1，得12,3,x 或 或 即 x 3 或 x1 或1,2x 1,3,2，1x1.3 分 x3 或 x ，即不等式 f(x)1 的解集 x | x3 或 x 1 15 分()函数 f(x)的解析式知当 x 时， f(x)单调递减，当 x a 时， f(x)单调递1212增，当 x a 时，f(x)单调递增.当 x= 时， f(x)取得最小值 f(x)min= f( )= a 12 128 分由 a2，解得 a , 又 a0，32实数 的取值范围是(0, ).10分- 17 -
