1、1第三章 变量之间的关系1.确定变量和常量常量和变量都是在一个变化过程中定义的,在某一问题中,保持不变的量叫做常量,可以取不同数值的量,叫做变量.【例】分析并指出下列关系中的变量与常量.(1)球的表面积 Scm2与球的半径 Rcm 的关系式是 S=4R 2.(2)以固定的速度 v0米/秒向上抛一个小球,小球的高度 h 米与小球运动的时间 t 秒之间的关系式是 h=v0t-4.9t2.(3)一物体自高处自由落下,这个物体运动的距离 hm 与它下落的时间 ts 的关系式是 h= gt2(其中 g 取129.8m/s2).(4)已知橙子每千克的售价是 1.8 元,则购买数量 W 千克与所付款 x 元
2、之间的关系式是 x=1.8W.【标准解答】(1)球的表面积 Scm2与球的半径 Rcm 的关系式是 S=4R 2,其中常量是 4,变量是 S,R.(2)以固定的速度 v0米/秒向上抛一个小球,小球的高度 h 米与小球运动的时间 t 秒之间的关系式是 h=v0t-4.9t2,常量是 v0,4.9,变量是 h,t.(3)一物体自高处自由落下,这个物体运动的距离 hm 与它下落的时间 ts 的关系式是 h= gt2(其中 g 取129.8m/s2)其中常量是 g,变量是 h,t.12(4)已知橙子每千克的售价是 1.8 元,则购买数量 W 千克与所付款 x 元之间的关系式是 x=1.8W,常量是 1
3、.8,变量是 x,W.1.在三角形面积公式 S= ah,a=2cm,则 ( )12A.S,a 是变量, ,h 是常量12B.S,h 是常量, 是常量122C.S,h 是变量, ,a 是常量12D.S,h 是变量, 是常量122.“早穿皮袄,午穿纱,围着火炉吃西瓜.”这句谚语反映了我国新疆地区一天中,随 变化而变化,其中自变量是 ,因变量是 .2.从图象中读取信息(1)明确横、纵轴的意义:横轴上的点表示的是自变量,纵轴上的点表示的是因变量.(2)部分信息需要根据图象中的数据进行计算获得所需的结论.【例】甲、乙两人在操场上赛跑,他们赛跑的路程 s(米)与时间 t(分钟)之间的函数关系如图所示,则下
4、列说法错误的是 ( )A.甲、乙两人进行 1000 米赛跑B.甲先慢后快,乙先快后慢C.比赛到 2 分钟时,甲、乙两人跑过的路程相等D.甲先到达终点【标准解答】选 C.从图象可以看出,甲、乙两人进行 1000 米赛跑,A 说法正确;甲先慢后快,乙先快后慢,B说法正确;比赛到 2 分钟时,甲跑了 500 米,乙跑了 600 米,甲、乙两人跑过的路程不相等,C 说法不正确;甲先到达终点,D 说法正确.1.小明家、公交车站、学校在一条笔直的公路旁(小明家、学校到这条公路的距离忽略不计),一天,小明从家出发去上学,沿这条公路步行到公交车站恰好乘上一辆公交车,公交车沿这条公路匀速行驶,小明下车时发现还有
5、 4 分钟上课,于是他沿这条公路跑步赶到学校(上、下车时间忽略不计),小明与家的距离 s(单位:米)与他所用时间 t(单位:分钟)之间的函数关系如图所示,已知小明从家出发 7 分钟时与家的距离为1200 米,从上公交车到他到达学校共用 10 分钟,下列说法:小明从家出发 5 分钟时乘上公交车;3公交车的速度为 400 米/分钟;小明下公交车后跑向学校的速度为 100 米/分钟;小明上课没有迟到.其中正确的个数是 ( )A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个2.如果两个变量 x,y 之间的函数关系如图所示,则函数值 y 的取值范围是 ( )A.-3y3 B.0y2C.1y3 D.0y33
6、.小亮家与姥姥家相距 24km.小亮 8:00 从家出发,骑自行车去姥姥家.妈妈 8:30 从家出发,乘车沿相同路线去姥姥家.在同一直角坐标系中,小亮和妈妈的行进路程 s(km)与北京时间 t(时)的函数图象如图所示.根据图象得到下列结论,其中错误的是 ( )A.小亮骑自行车的平均速度是 12km/hB.妈妈比小亮提前 0.5 小时到达姥姥家C.妈妈在距家 12km 处追上小亮D.9:30 妈妈追上小亮4.在 20 km 越野赛中,甲乙两选手的行程 y(单位:km)随时间 x(单位:h)变化的图象如图所示,根据图中提4供的信息,有下列说法:两人相遇前,甲的速度小于乙的速度;出发后 1 小时,两
7、人行程均为 10km;出发后 1.5 小时,甲的行程比乙多 3km;甲比乙先到达终点.其中正确的有 ( )A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个5.甲骑摩托车从 A 地去 B 地,乙开汽车从 B 地去 A 地,同时出发,匀速行驶,各自到达终点后停止,设甲、乙两人间距离为 s(单位:千米),甲行驶的时间为 t(单位:小时),s 与 t 之间的函数关系如图所示,有下列结论:出发 1 小时时,甲、乙在途中相遇;出发 1.5 小时时,乙比甲多行驶了 60 千米;出发 3 小时时,甲、乙同时到达终点;甲的速度是乙速度的一半.其中,正确结论的个数是 ( )A.4 个 B.3 个 C.2 个 D.1
8、 个6.放学后,小明骑车回家,他经过的路程 s(千米)与所用时间 t(分钟)的函数关系如图所示,则小明的骑车速度是 千米/分钟.3.用图象表示变量之间的关系用图象表示变量之间的关系应注意两点,弄清横轴、纵轴表示的实际意义和每段的折线表示的实际意义.5【例】如图,在矩形 ABCD 中,AB=2a,AD=a,矩形边上一动点 P 沿 ABCD 的路径移动,设点 P 经过的路径长为 x,PD2=y,则下列能大致反映 y 与 x 的函数关系的图象是 ( )【标准解答】选 C.(1)当 0x2a 时,y=x 2+a2,图象是开口向上,顶点坐标为(0,a 2)的抛物线对称轴右侧的一段.(2)当 2ax3a
9、时,y=4a 2+(3a-x)2=(x-3a)2+4a2,图象是开口向上,顶点坐标为(3a,4a 2)的抛物线对称轴左侧的一段.(3)当 3ax5a,点 P 在 CD 上,此时 PD=-x+5a,图象是一次函数的一段.1.小张的爷爷每天坚持体育锻炼,星期天爷爷从家里跑步到公园,打了一会儿太极拳,然后沿原路慢步走到家,下面能反映当天爷爷离家的距离 y(米)与时间 x(分钟)之间关系的大致图象是 ( )2.小明骑自行车上学,开始以正常速度匀速行驶,但行至途中自行车出了故障,只好停下来修车,车修好后,因怕耽误上课,加快了骑车速度.下面是小明离家后他到学校剩下的路程 s 关于时间 t 的函数图象,那么
10、符合小明行驶情况的图象大致是 ( )3.货车和小汽车同时从甲地出发,以各自的速度匀速向乙地行驶,小汽车到达乙地后,立即以相同的速度沿原路返回甲地.已知甲、乙两地相距 180 千米,货车的速度为 60 千米/小时,小汽车的速度为 90 千米/小时,则如图中能分别反映出货车、小汽车离乙地的距离 y(千米)与各自行驶时间 t(小时)之间的函数图象是 ( )64.如图所示的容器内装满水,打开排水管,容器内的水匀速流出,则容器内液面的高度 h 随时间 x 变化的函数图象最接近实际情况的是 ( )5.如图,挂在弹簧秤上的长方体铁块浸没在水中,提着弹簧秤匀速上移,直至铁块浮出水面停留在空中(不计空气的阻力)
11、,弹簧秤的读数 F(kg)与时间 t(s)的函数图象大致是 ( )7跟踪训练答案解析1.确定变量和常量【跟踪训练】1.【解析】选 C.由题意知 h 表示三角形的高,S 表示三角形的面积.它们的值不唯一,所以它们是变量.a=2和 是常量.122.【解析】 “早穿皮袄,午穿纱,围着火炉吃西瓜.”这句谚语反映了我国新疆地区一天中,温度随时间变化而变化,其中自变量是时间,因变量是温度.答案:温度 时间 时间 温度2.从图象中读取信息【跟踪训练】1.【解析】选 D.公交车的速度为(3200-1200)(12-7)=400 米/分钟,正确;小明从家出发乘上公交车的时间为7-(1200-400)400=5
12、分钟,正确;小明下公交车后跑向学校的速度为(3500-3200)3=100 米/分钟,正确;上公交车的时间为 12-5=7 分钟,跑步的时间为 10-7=3 分钟,因为 34,所以小明上课没有迟到,正确.故选 D.2.【解析】选 D.根据函数图象可得 y 的最大值为 3,最小值为 0,则 y 的取值范围为 0y3.3.【解析】选 D.小亮 8:00 出发,10:00 到姥姥家,用时 2 小时,则平均速度为 242=12km/h,故 A 正确;从图象上信息得出,妈妈 9:30 分到姥姥家,比小亮提前 0.5 小时到达姥姥家,故 B 正确;从图象上可以看出,妈妈在 9:00 追上小亮,此时小亮距离
13、家 12km,则 C 正确,D 错误.4.【解析】选 A.由图可得,两人在 1 小时时相遇,行程均为 10km,故正确;出发 0.5 小时之内,甲的速度大于乙的速度,出发 0.5 至 1 小时之间,乙的速度大于甲的速度,故错误;出发后 1.5 小时,乙的路程为 15 千米,甲的路程为 12 千米,乙的行程比甲多 3km,故错误;乙比甲先到达终点,故错误.正确的只有.5.【解析】选 B.由图象可得:出发 1 小时,甲、乙在途中相遇,故正确;甲骑摩托车的速度为:1203=40(千米/小时),设乙开汽车的速度为 a 千米/小时,8则 =1,12040+解得:a=80,乙开汽车的速度为 80 千米/小
14、时,甲的速度是乙速度的一半,故正确;出发 1.5 小时,乙比甲多行驶了:1.5(80-40)=60(千米),故正确;乙到达终点所用的时间为 1.5 小时,甲到达终点所用的时间为 3 小时,故错误;正确的有 3 个,故选 B.6.【解析】由函数图象得,小明的骑车速度是= (千米/分钟).21015答案:153.用图象表示变量之间的关系【跟踪训练】1.【解析】选 B.“爷爷从家里跑步到公园”,反映在图象上是一条斜线段,一端点是 O;爷爷在公园“打了一会儿太极拳”,说明这段时间 x(分钟)在增加,但爷爷离家的距离 y(米)没变,反映在图象上是一条水平线段;然后“沿原路慢步走到家”,说明最终的距离 y
15、(米)为 0,反映在图象上也是一条斜线段,其中一端点在 x 轴上,与第一条线段相比,线段的倾斜程度较为平缓.2.【解析】选 D.因为开始以正常速度匀速行驶停下修车加快速度匀驶,可得 s 先缓慢减小,再不变,再加速减小.3.【解析】选 C.根据题意知,小汽车 4 小时回到甲地,货车 3 小时到乙地,所以符合题意的图象为 C.4.【解析】选 A.圆柱的直径较长,圆柱的高较低,水流下降较慢;圆柱的直径变长,圆柱的高变低,水流下降变慢;圆柱的直径变短,圆柱的高变高,水流下降变快.故选 A.5.【解析】选 A.当铁块完全浸没在水中时,拉力不变,当铁块部分露出水面的过程中,拉力不断增大,当铁块完全露出水面后,拉力不变.9
