1、考试要求 1.理解绝对值的几何意义，并了解下列不等式成立的几何意义及取等号的条件：|ab|a|b|(a，bR)；|ab|ac|cb|(a，bR)；2.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|axb|c；|axb|c；|xc|xb|a.,第4节 绝对值不等式,知 识 梳 理,1.绝对值不等式的解法 (1)含绝对值的不等式|x|a的解集,(a，a),(2)|axb|c (c0)和|axb|c (c0)型不等式的解法 |axb|c_； |axb|c_； (3)|xa|xb|c(c0)和|xa|xb|c(c0)型不等式的解法 利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想； 利用“零点分段
2、法”求解，体现了分类讨论的思想； 通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想.,caxbc,axbc或axbc,2.含有绝对值的不等式的性质(1)如果a，b是实数，则|ab|_，当且仅当_时，等号成立；(2)|a|b|ab|a|b|；(3)如果a，b，c是实数，那么|ac|_，当且仅当_时，等号成立.,|a|b|,ab0,|ab|bc|,(ab)(bc)0,常用结论与易错提醒 1.绝对值不等式的三种常用解法：零点分段法，数形结合法，构造函数法. 2.不等式恒成立问题、存在性问题都可以转化为最值问题解决. 3.可以利用绝对值三角不等式定理|a|b|ab|a|b|求函数最值，要注意其
3、中等号成立的条件.,基 础 自 测,1.思考辨析(在括号内打“”或“”)(1)若|x|c的解集为R，则c0.( )(2)不等式|x1|x2|2的解集为.( )(3)对|ab|a|b|当且仅当ab0时等号成立.( )(4)对|a|b|ab|当且仅当|a|b|时等号成立.( )(5)对|ab|a|b|当且仅当ab0时等号成立.( )解析 (1)当c0时，x0；(3)当a0b时，等号也成立；(4)当|a|b|时，等号也成立.答案 (1) (2) (3) (4) (5),2.已知xR，yR，则“|x|2且|y|2”是“|xy|xy|4”的( )A.充分非必要条件 B.必要非充分条件C.充分必要条件 D
4、.既不充分也不必要条件,答案 C,3.若函数f(x)|x1|2xa|的最小值为3，则实数a的值为( )A.5或8 B.1或5C.1或4 D.4或8 解析 分类讨论：,a8. 答案 D,4.不等式|x1|x5|2的解集为_. 解析 当x1时，原不等式可化为1x(5x)2， 42，不等式恒成立，x1. 当1x5时，原不等式可化为x1(5x)2， x4，1x4， 当x5时，原不等式可化为x1(x5)2，该不等式不成立. 综上，原不等式的解集为(，4). 答案 (，4),解析 设y|2x1|x2|,当x2时，y3x15；,6.设函数f(x)|xa|3x，其中a0. (1)当a1时，则不等式f(x)3x
5、2的解集为_. (2)若不等式f(x)0的解集为x|x1，则a的值为_. 解析 (1)当a1时，f(x)3x2可化为|x1|2. 由此可得x3或x1. 故当a1时，不等式f(x)3x2的解集为x|x3或x1.,(2)由f(x)0得|xa|3x0.,考点一 含绝对值不等式的解法,【例1】 (一题多解)解不等式|x1|x2|5.解 法一 如图，设数轴上与2，1对应的点分别是A，B，则不等式的解就是数轴上到A，B两点的距离之和不小于5的点所对应的实数.显然，区间2，1不是不等式的解集.把A向左移动一个单位到点A1，此时A1AA1B145.把点B向右移动一个单位到点B1，此时B1AB1B5，故原不等式
6、的解集为(，32，).,法三 将原不等式转化为|x1|x2|50. 令f(x)|x1|x2|5，则,由图象可知，当x(，32，)时，y0， 原不等式的解集为(，32，).,规律方法 形如|xa|xb|c(或c)型的不等式主要有三种解法：(1)分段讨论法，利用绝对值号内式子对应方程的根，将数轴分为(，a，(a，b，(b，)(此处设ab)三个部分，在每个部分上去掉绝对值号分别列出对应的不等式求解，然后取各个不等式解集的并集；(2)几何法，利用|xa|xb|c(c0)的几何意义：数轴上到点x1a和x2b的距离之和大于c的全体；(3)图象法：作出函数y1|xa|xb|和y2c的图象，结合图象求解.,【
7、训练1】 已知函数f(x)|x1|x2|，则：(1)不等式f(x)1的解集为_；(2)若不等式f(x)x2xm的解集非空，则m的取值范围为_.,当x2时，f(x)31恒成立. 故f(x)1的解集为1，).,(2)不等式f(x)x2xm等价于f(x)x2xm，得m|x1|x2|x2x有解.,考点二 利用绝对值不等式求最值(或范围) 【例2】 (1)对任意x，yR，求|x1|x|y1|y1|的最小值；(2)对于实数x，y，若|x1|1，|y2|1，求|x2y1|的最大值.解 (1)x，yR，|x1|x|(x1)x|1，|y1|y1|(y1)(y1)|2，|x1|x|y1|y1|123.|x1|x|
8、y1|y1|的最小值为3.(2)|x2y1|(x1)2(y1)|x1|2(y2)2|12|y2|25，即|x2y1|的最大值为5.,规律方法 求含绝对值的函数最值时，常用的方法有三种：(1)利用绝对值的几何意义；(2)利用绝对值三角不等式，即|a|b|ab|a|b|；(3)利用零点分区间法.,解 (1)|2 018x|2 019x|2 018x2 019x|1， 关于x的不等式|2 018x|2 019x|d有解时，d1.,又sin y的最大值为1，,有|a2|1，解得a1，3.,考点三 含绝对值的不等式的应用 【例3】 (2018全国卷)设函数f(x)5|xa|x2|.(1)当a1时，求不等
9、式f(x)0的解集；(2)若f(x)1，求a的取值范围.,可得f(x)0的解集为x|2x3.,(2)f(x)1等价于|xa|x2|4. 而|xa|x2|a2|，且当x2时等号成立. 故f(x)1等价于|a2|4. 由|a2|4可得a6或a2. 所以a的取值范围是(，62，).,规律方法 (1)解决与绝对值有关的综合问题的关键是去掉绝对值，化为分段函数来解决.(2)数形结合是解决与绝对值有关的综合问题的常用方法.,【训练3】 (2018全国卷)设函数f(x)|2x1|x1|.(1)画出yf(x)的图象；(2)当x0，)时，f(x)axb，求ab的最小值.,yf(x)的图象如图所示.,(2)由(1)知，yf(x)的图象与y轴交点的纵坐标为2，且各部分所在直线斜率的最大值为3，故当且仅当a3且b2时，f(x)axb在0，)成立，因此ab的最小值为5.,
