1、1内蒙古鄂尔多斯西部四校 2018 届高三下学期期中联考数学（文）试卷一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合 ， ，则集合 不可能是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】求出集合 ，由 可知 ，由此可得结论.【详解】 ，因为 ，所以 .因为 ，所以 都满足条件，显然 不满足条件.故选 D.【点睛】本题考查交集以及集合的包含关系，属基础题.2.设复数满足： （是虚数单位） ，则 （ ）A. B. C. D. (4+ 2)+2(12)i (42)+2(1+ 2)i【答案】C【解析】【分析】直接
2、利用复数的乘法运算计算即可.【详解】因为 ，所以z2+i=22i z=(22i)(2+i)=(4+ 2)+2(12)i故选 C.【点睛】本题考查复数的乘法运算，属基础题.3.已知实数 满足约束条件 ，则 的最大值为（ ）x,y x2,x2y+20,x+y+20, z=x3+y2A. B. -2 C. D. 4143 43【答案】C【解析】【分析】作出如图所示的可行域，平移直线 即可得到 的最大值.y=x3+z z=-x3+y【详解】 作出如图所示的可行域为三角形 （包括边界） ，ABC把 改写成 ，当且仅当动直线 过点 时，取得最大值为z=x3+y y=x3+z y=x3+z C(2,2) 4
3、3故选 C.【点睛】本题考查线性规划的简单应用，属基础题.4. 的内角 的对边分别为 ，已知 ， ， ，则 的值为（ ABC A,B,C a,b,c b=4 c=32 sinB=23 sinA）A. B. 10226 624C. D. 10226 6+24【答案】A【解析】【分析】根据题意，由正弦定理可得 ，因为 ，所以 ，则 或 ，分情况讨论利sinC=22 bb0) F1,F2 a=2 F2交于 两点，且 ， ，则椭圆 的离心率为（ ）C A,B |AF2|=54 |BF2|=52 CA. B. C. D. 66 12 22 32【答案】A【解析】【分析】根据题意在 中根据余弦定理可得 ，
4、在 中AF2F1 cosAF2F1=4c265c BF2F1，由cosBF2F1=4c2+410c，可得 ，求出 ，即可得到椭圆 的离心率.AF2F1+BF2F1=4c265c +4c2+410c =0 c=63 C【详解】根据题意在 中根据余弦定理可得AF2F1，cosAF2F1=(2c)2+|AF2|2(2a|AF2|)222c|AF2| =4c265c在 中 ，因为 ，所以BF2F1 cosBF2F1=(2c)2+|BF2|2(2a|BF2|)222c|BF2| =4c2+410c AF2F1+BF2F1=6，所以 ，所以椭圆 的离心率为 .4c265c +4c2+410c =0 c=6
5、3 C ca=66故选 A.【点睛】本题考查椭圆离心率的求法，解题的关键是利用余弦定理得到 ，cosAF2F1.cosBF2F110.对于三次函数 ，定义 是 的导函数 的导函f(x)=ax3+bx2+cx+d(a0) f(x) y=f(x) y=f(x)数，经过讨论发现命题：“一定存在实数 ，使得 成立”为真，p,q,r f(x)=a(x+p)3+q(x+p)+r请你根据这一结论判断下列命题：一定存在实数 ，使得 成立；一定存在实数 ，使得 成立；若x1 f(x)=0 x2=b3a f(x2)=0，则 ；若存在实数 ，且 满足： ，则函数x1+x2=2p f(x1)+f(x2)=2r x3,
6、x4 x30 a0并集即可.【详解】 关于 的不等式 在区间 上恒成立 关于 的不xa(x-1)2lnx 1 (1,2 x8等式 在区间 上恒成立.显然当 时，关于 的不等式 在区间a(x-1)2lnx (1,2 a0 xa(x-1)2lnx 1上恒成立.当 时，在同一坐标系内分别作出 ， 的图象，所以关于(1,2 a0 y=a(x-1)2 y=lnx的不等式 在区间 上恒成立 点的位置不低于 点的位置x a(x-1)2lnx (1,2 A B.综上，实数的取值范围为 .ln2a(2-1)20b0) A x+6y2=0圆 于另外一点 ，已知点 的纵坐标为 .C B B35（1）求椭圆 的方程；
7、C（2）若直线 与椭圆 交于 两点 分别在直线 的上、下方，y=k(x1)(k0) C P,Q (P,Q) x+6y2=0设四边形 的面积为 ，求 的取值范围.APBQ S1+6k21+6kS【答案】 （1） ；（2） .x24+y2=1 (65,9210)【解析】【分析】（1）由已知得 ，根据点 的纵坐标为 代入直线方程可得 的坐标为 ，a=2 B35 B (85,35)14将 点坐标代入椭圆 的方程，可求出 ，由此得到椭圆 的方程；B C b C（2）设 ， ，直线 的方程为 ，代入 得，P(x1,y1) Q(x2,y2) PQ y=k(x-1)x24+y2=1，利用韦达定理可得 ，则四边
8、形的面积为(1+4k2)x2-8k2x+4(k2-1)=0 x1-x2=43k2+11+4k2S=12|AB|(|x1+6y1-2|37 +|x2+6y2-2|37)=3(1+6k)10(x1-x2)故 ，由此可求 的取值范围.1+6k21+6kS=65(1+6k2)(3k2+1)1+4k2 =6598- 18(4k2+1)2 1+6k21+6kS【详解】解：（1）由已知得 ，根据点 的纵坐标为 代入直线方程可得 的坐标为 a=2 B35 B (85,35)，将 点坐标代入 得， ，解得 ，Bx2a2+y2b2=1 (-85)24 +(35)2b2=1 b=1所以椭圆 的方程为 .Cx24+y
9、2=1（2）设 ， ，直线 的方程为 ，P(x1,y1) Q(x2,y2) PQ y=k(x-1)代入 得， ，x24+y2=1 (1+4k2)x2-8k2x+4(k2-1)=0， ，x1+x2=8k21+4k2 x1x2=4(k2-1)1+4k2因为 ，所以 ，k0x1-x2= (x1+x2)2-4x1x2= ( 8k21+4k2)2-44(k2-1)1+4k2=43k2+11+4k2所以四边形的面积为 S=12|AB|(|x1+6y1-2|37 +|x2+6y2-2|37)=123375(x1+6y1-237-x2+6y2-237)，=310(x1-x2)+6(y1-y2)=310(x1-
10、x2)+6k(x1-x2)=3(1+6k)10(x1-x2)所以 ，1+6k21+6kS=65(1+6k2)(3k2+1)1+4k2 =6598- 18(4k2+1)2因为 ，所以 ，所以 的取值范围是 .k098- 18(4k2+1)2(1,324) 1+6k21+6kS (65,9210)【点睛】本题是一道直线与圆锥曲线的综合题，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题21.已知函数 .f(x)=(x2+2x)ex（1）求 的极小值和极大值；f(x)（2）设曲线 的切点横坐标为，切线斜率为 ，令 ，当切线在 轴上的截距y=f(x) k(t) g(t)=k(t)ett+2 y为正时，
11、求 的取值范围.g(t)15【答案】 （1） 的极小值为 ， 的极大值为 ；（2）f(x) f(2)=(222)e2 f(x) f( 2)=2+22e2.(,422【解析】【分析】（1） 的定义域为 ，令得 ， ，列表可求 的极小值和f(x)=(x2+2x)e-x R f(x)2-x2ex=0 x= 2 f(x)极大值.（2）由题可得曲线 的切线的斜率为 ，切线的方程为y=f(x) k(t)=f(t)=2-t2et，由切线在 轴上的截距为正可得 ，则 ， ，令y-t2+2tet =2-t2et(x-t) y t-1 g(t)=k(t)ett+1=2-t2t+2 t-1， ，可求 的取值范围.t
12、+2=u1 t=u-2 g(t)【详解】 （1） 的定义域为 ，令得 ， ，f(x)=(x2+2x)e-x R f(x)2-x2ex=0 x= 2x (-,- 2) - 2 (- 2, 2) 2 ( 2,+)f(x) - 0 + 0 -f(x) 单调减 极小值 单调增 极大值 单调减所以 的极小值为 ， 的极大值为 .f(x) f(- 2)=(2-22)e2 f(x) f( 2)=2+22e2（2）由题可得曲线 的切线的斜率为 ，y=f(x) k(t)=f(t)=2-t2et切线的方程为 ，y-t2+2tet =2-t2et(x-t)令 得， ，解得， ，x=0 y=t3+t2et 0 t-1
13、所以 ， ，g(t)=k(t)ett+1=2-t2t+2 t-1令 ， ，t+2=u1 t=u-2所以 ，其中 ，y=2-(u-2)2u =4-(u+2u) u1所以 ，当且仅当 时取等号，所以 的取值范围为 .22u+2u u= 2 g(t) (-,4-22【点睛】 】 本题考查利用导数求曲线的切线斜率，切线方程及利用导数研究函数的单调性、16极值等知识，考查等价转化、分类讨论等数学思想方法，考查运用能力，属难题请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修 4-4：坐标系与参数方程已知动点 都在曲线 （ 为参数， 是与 无关的正常数）上，对应参数分别P
14、,Q C:x=acosy=bsin a,b 为 与 ， 为 的中点. 2(02) MPQ（1）求 的轨迹的参数方程；M(x,y)（2）作一个伸压变换： ，求出动点 点的参数方程，并判断动点M(x,y) N(xa,yb) N(X,Y)的轨迹能否过点 .N(X,Y) (1,0)【答案】 （1） （ 为参数， ， 是与 无关的正常数） ；（2）x=a2(cos+cos2),y=b2(sin+sin2), 02 a,b 动点 点的参数方程为 ，不能过点 .N(X,Y)X=cos+cos22 ,Y=sin+sin22 , (1,0)【解析】【分析】（1）利用参数方程与中点坐标公式即可得出；（2）由已知得
15、，动点 点的参数方程为N(X,Y) X=cos+cos22 ,Y=sin+sin22 , 两等式平方后相加得， ，若动点 的轨迹过点 ，则4X2+4Y2=2+2cos N(X,Y) (1,0)，导出矛盾.4X2+4Y2=4【详解】解：（1）依题意得， ， ，因此P(acos,bsin) Q(acos2,bsin2)，M(a2cos+a2cos2,b2sin+a2sin2)的轨迹的参数方程为 （ 为参数， ， 是与 无关的正常数）M x=a2(cos+cos2),y=b2(sin+sin2), 02 a,b .（2）由已知得，动点 点的参数方程为N(X,Y) X=cos+cos22 ,Y=sin
16、+sin22 , 两等式平方后相加得， ，4X2+4Y2=2+2cos因为 ，所以 ，02 02+2cos417所以 ，04X2+4Y24若动点 的轨迹过点 ，则 ，矛盾，N(X,Y) (1,0) 4X2+4Y2=4所以动点 的轨迹不能过点 .N(X,Y) (1,0)【点睛】本题考查了参数方程与中点坐标公式、反证法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题23.选修 4-5：不等式选讲已知函数 .f(x)=12|x-2|+|2-x2|（1）求 的最小值 ；f(x) m（2）若 ，且 ，证明： .p,q,rR+ p+q+r=1p2+r2q +p2+q2r +q2+r2p 2【答案】 （1） ；（2）详见解析 .m=1【解析】【分析】（1）利用绝对值三角不等式可求 的最小值 ；f(x) m（2）利用基本不等式证明【详解】解：（1）因为 ，当且仅当 ，即 时取等号，所以 的最小值 ；（2）证明：由已知得，因为 ，所以 ， ， ，所以 .（当且仅当 时“=”成立）.【点睛】本题考查绝对值三角不等式的应用，基本不等式的应用，属于中档题
