1、1山东省济南市历城第二中学 2019 届高三数学 11 月月考试卷 文（含解析）一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知集合 ，则( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先解一元二次不等式，化简集合 A，进而判断集合间的关系,以及 .【详解】由 x2-2x0，得：x0 或 x2，集合 A=x|x0 或 x2，AB=x|-2x0 或 2x3，故 A 不正确AB=R，故 B 正确，且 ,故 C，D 选项不正确，故选 B【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法，考查了集合的交并集和集合之间的包含关系；此类题目
2、一般需要先化简集合，再判断集合间的关系，以及进行交、并集运算.2.函数 是定义在 上的奇函数，当 时， ，则A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用奇函数的性质求出 的值.f(-1)【详解】由题得 ，故答案为：Df(1)=f(1)=(12+1)=2【点睛】(1)本题主要考查奇函数的性质，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2)奇函数 f(-x)=-f(x).3.要得到函数 的图象，只需要将函数 的图象（ ）y=sin（ 4x3） y=sin4xA. 向左平移 个单位122B. 向右平移 个单位12C. 向左平移 个单位3D. 向右平移 个单位3【答案】B【解析】因
3、为函数 ，要得到函数 的图象，只需要将函数y=sin(4x3)=sin4(x12) y=sin(4x-3)的图象向右平移 个单位。y=sin4x12本题选择 B 选项.点睛：三角函数图象进行平移变换时注意提取 x 的系数，进行周期变换时，需要将 x 的系数变为原来的 倍，要特别注意相位变换、周期变换的顺序，顺序不同，其变换量也不同【此处有视频，请去附件查看】4.等差数列 的前 项的和等于前 项的和，若 ，则 （ ）an 9 4 a1=1,ak+a4=0 k=A. B. C. D. 3 7 10 4【答案】C【解析】【分析】由“等差数列a n前 9 项的和等于前 4 项的和”可求得公差，再由 a
4、k+a4=0 可求得结果【详解】等差数列a n前 9 项的和等于前 4 项的和，9+36d=4+6d，其中 d 为等差数列的公差，d= ，又a k+a4=0，161+（k1）d+1+3d=0，代入可解得 k=10，故选：C【点睛】本题考查等差数列的前 n 项和公式及其应用，涉及方程思想，属基础题5.若 满足 ，则 的最大值为( )x,yx+y10xy10x3y+30 z=x+2y3A. 8 B. 7 C. 2 D. 1【答案】B【解析】试题分析：作出题设约束条件可行域，如图 内部（含边界） ，作直线 ，把直ABC l:x+2y=0线向上平移，增加，当过点 时， 为最大值故选 BB(3,2) z
5、=3+22=7考点：简单的线性规划问题【此处有视频，请去附件查看】6.已知向量 ，若 ，则 ( )a=(1,2),b=(m,-1) a(a+b) ab=A. B. C. D. 52 -52 32 -32【答案】B【解析】【分析】由向量平行的坐标表示列式求解 m 的值，再求解 .ab【详解】 =(1+m, 1),由 得 ，解得 m= ，a+b a(a+b) 112(1+m)=0 12.故选 B.ab= 1(12)+2(1)=52【点睛】本题考查了向量平行的坐标表示,考查了向量的数量积的坐标表示，若则 ， .a=(x1,y1),b=(x2,y2), bx1y2x2y1=0 ab=x1x2+y1y2
6、7.定义 ，如 ，且当 时， 有解，则|a bc d|=ad-bc |1 23 4|=14-23=-2 x0,2 | 4x 32x+1 1|k实数 k 的取值范围是（ ）4A. B. C. D. (-,-5 (-,-9 (-,-8 (-,-2【答案】A【解析】【分析】依题意知，当 x 时，4 x-3 k 有解，构造函数 g（x）=（2 x） 2- ，利用一0,2 2x+1 62x元二次函数与指数函数的单调性，可知 g（x）的值域为-9,-5，进而判断 k 的取值范围.【详解】 令 g（x ）=（2 x） 2- =（2 x-3） 2-9，|4x 32x+1 1|k, 62x当 时，2 x ，则
7、g（x）的值域为-9,-5x0,2 1,4由 有解，则 k .|4x 32x+1 1|k 5故选：A【点睛】本题考查了新定义的理解和运用，考查了指数函数和二次函数的性质，考查了不等式有解问题，关键是将原问题转化为求函数的最值（值域）问题，再通过不等式有解，判断参数的取值范围.8.已知抛物线 的焦点为 ，准线为，过抛物线 上的点 作 于点 ，C:y2=2px(p0) F C A(4,y0) AA1l A1若 ，则 =( )A1AF=23 pA. 6 B. 12 C. 24 D. 48【答案】C【解析】【分析】结合已知条件和抛物线的简单性质，利用抛物线的定义，建立方程，求解即可.【详解】如下草图：
8、作 AB 垂直于 x 轴，垂足为 B，5 ， =30， A1AF=23 BAF |BF|=12|AF|根据抛物线的定义，可知 ,|AA1|=|AF|根据抛物线的简单性质， ，易知 ,|OC|=|OF|=p2 |OB|=4可得方程： ，解得 ，故选 C2(p2-4)=p2+4 p=24【点睛】本题考查了抛物线的方程、定义和简单性质，考查了转化思想、数形结合思想，利用抛物线的定义，可以得到抛物线的一个重要的几何性质：抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离.9.下列命题中，错误的是（ ）A. 在 中， 则ABC AB sinAsinBB. 在锐角 中，不等式 恒成立ABC sinAcosBC. 在
9、 中，若 ，则 必是等腰直角三角形ABC acosA=bcosB ABCD. 在 中，若 ， ，则 必是等边三角形ABC B=60 b2=ac ABC【答案】C【解析】【分析】根据三角函数的性质，正弦定理，余弦定理，结合三角形的内角关系，依次判断即可.【详解】A. 在ABC 中，由正弦定理可得 , sinAsinBab AB，因此asinA=bsinBAB 是 sinAsinB 的充要条件，故 A 正确； B.在锐角ABC 中，A，B ，且 ，则 ,所以(0，2) A+B2 2A2B0,故 B 正确；sinAsin(2B)=cosB6C在ABC 中，由 acosA=bcosB，利用正弦定理可得
10、：sin2A=sin2B，得到 2A=2B 或2A=2-2B，故 A=B 或 ，即 是等腰三角形或直角三角形，故 C 错误；A=2-B ABCD. 在ABC 中，若 B=60，b 2=ac，由余弦定理可得：b 2=a2+c2-2accosB，ac=a 2+c2-ac，即（a-c） 2=0，解得 a=c，又 B=60，ABC 必是等边三角形，故 D 正确；故选 C【点睛】本题考查了应用正弦定理和余弦定理判断三角形的形状，考查了三角函数的性质；判断三角形的形状时，主要有以下两种途径：利用正、余弦定理，把已知条件转化为边边关系，再分析，转化为内角的三角函数之间的关系，通过恒等变换得出内角关系，结合三
11、角形内角关系，再判断.10.定义函数 如下表，数列 满足 ， . 若 ，则f(x) an an+1=f(an) nN* a1=2（ ）a1+a2+a3+a2018=A. 7042 B. 7058 C. 7063 D. 7262【答案】C【解析】【分析】利用函数 f（x） ，可得数列a n是：2，5，1，3，4，6，是一个周期性变化的数列，求出一个周期内的和，进而求得答案.【详解】由题意，a 1=2，且对任意自然数均有 an+1=f（a n） ，a 2=f（a 1）=f（2）=5，即 a2=5，a3=f（a 2）=f（5）=1，即 a3=1，a4=f（a 3）=f（1）=3，即 a4=3，a5=
12、f（a 4）=f（3）=4，即 a5=4，a6=f（a 5）=f（4）=6，即 a6=6，a7=f（a 6）=f（6）=2，即 a7=2，可知数列a n：2，5，1，3，4，6，2，5，1是一个周期性变化的数列，周期为：67且 a1+a2+a3+a6=21故 a1+a2+a3+a2018=336（a 1+a2+a3+a6）+a 1+a2=7056+2+5=7063故选 C【点睛】本题考查了函数的表示法、考查了数列的周期性，解题的关键是根据函数值的对应关系，推导出数列a n是周期为 6 的周期数列.11.函数 是定义在 上的偶函数，且满足 ，当 时， ，若方程f(x) R f(x+2)=f(x)
13、 x0,1 f(x)=2x恰有三个不相等的实数根，则实数的取值范围是（ ）ax+a-f(x)=0(a0)A. B. C. D. (12， 1) 0， 2 (1， 2) 1， +)【答案】A【解析】由题意可得周期为 T=2，原方程可变形为 ，则为 y=f(x)与 y=a（x+1） （ ）f(x)=a(x+1) a0曲线交点恰有三个。由图可知斜率 k=a ,选 A.(12,1)【点睛】若直线求函数零点不好求时，常把函数变形为 ，这样就变为求 与 交点f(x)=g(x) y=f(x) y=g(x)个数问题。【此处有视频，请去附件查看】12.设函数 是奇函数 的导函数，当 时， ，则使得f(x) f(
14、x)(xR) x0 xlnxf(x)0 xA. B. C. D. (-2,0)(0,2) (-,-2)(2,+) (-2,0)(2,+) (-,-2)(0,2)【答案】D【解析】【分析】构造函数 根据 的符号判断函数单调性，结合函数单调性的特点，得当g(x)=lnxf(x), g(x)8时，f（x）0,再解不等式即可 .x0 x0 时， 0 xlnxf(x)0,x0 x0 x240f(x)0或 x240) f(lg2)+f(lg12)=【答案】 3【解析】【分析】根据对数的运算法则，三角函数的诱导公式计算即可.【详解】 ，lg12=lg(2)1=lg2f(lg2)+f(lg12)= ln e+
15、m2(lg2)2mlg2+sin(lg2)+1+ln e+m2(lg2)2+mlg2+sin(lg2)+1=lne+m2(lg2)2(mlg2)2+sin(lg2)sin(lg2)+2=lne+2=39【点睛】本题考查了函数求值，考查了对数的运算法则，三角函数的诱导公式，考查了运算能力，难度一般.15.已知圆 过 的直线,过直线上的点 引圆 的两条切线，若切线长的C:x2+(y3)2=4, A(1,0) P C最小值为 2，则直线的斜率 =_k【答案】17或 1【解析】【分析】切线长最小转化为圆心到直线的距离最小，利用点到直线的距离公式以及勾股定理得方程，解得 k 的值.【详解】已知圆 可知圆
16、心 C（0,3）半径为 2，C:x2+(y-3)2=4,如图，直线上的点 引圆 的两条切线，当 PC 为圆心到直线上的距离时，切线长最短，P C已知直线过 ，当斜率不存在时，易知不符合题意，A(-1,0)设直线方程为 y-0=k（x+1） ，即 y=k（x+1）由点到直线的距离公式以及勾股定理得 ，解得|k3|k2+1= 22+22=22 k=17或 k=-1【点睛】本题考查了直线和圆的位置关系，考查了点到直线的距离公式，考查了数学转化思想方法，解答本题的关键是将切线长最短转化为圆心到直线的距离最短，进行求解.16.给出下列四个命题： 中， 是 成立的充要条件； ABC AB sinAsinB
17、当 时，有 ；x0且 x1 lnx+1lnx2已知 是等差数列 的前 n 项和，若 ，则 ；Sn an S7S5 S9S3若函数 为 上的奇函数，则函数 的图象一定关于点 成中心对称其中y=f(x-32) R y=f(x) F(32,0)10所有正确命题的序号为_【答案】【解析】【分析】利用正弦定理可判断；举反例即可判断；利用等差数列等差中项计算可判断；根据奇函数的性质与函数图象平移可判断.【详解】在ABC 中，由正弦定理可得 , sinAsinBab AB，因此asinA=bsinBAB 是 sinAsinB 的充要条件，正确； 当 1x0 时，lnx0，所以不一定大于等于 2，不成立；等差
18、数列a n的前 n 项和，若 S7S 5，则 S7-S5=a6+a70，S 9-S3=a4+a5+a9=3（a 6+a7）0，因此 S9S 3，正确；若函数 为 R 上的奇函数，则其图象关于（0，0）中心对称，而函数 y=f（x）的y=f(x-32)图象是把 y=f（x- ）的图象向左平移 个单位得到的，故函数 y=f（x）的图象一定关于点32 32F（- ，0）成中心对称，不正确32综上只有正确【点睛】本题考查了命题的真假判断，考查了充分必要条件的判断，考查了正弦定理的应用，对数函数图象和性质，基本不等式，等差数列的性质，考查了函数的奇偶性和图象的平移， 考查了推理能力与计算能力，涉及知识点
19、多且全，是此类题目的特点.三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.记 为等差数列 的前 项和，已知 ， Sn an n a1=-7 S4=-16（）求 的通项公式；an（）求 ，并求 的最小值Sn Sn【答案】 （1） ， （2） ，最小值为16an=2n-9 Sn=n2-8n【解析】【分析】（）根据等差数列的求和公式，求得公差 d，即可表示出 的通项公式；an（）根据等差数列的求和公式得 Sn=n2-8n，根据二次函数的性质，可得 Sn的最小值.11【详解】 （I）设 的公差为 d，由题意得 由 得 d=2 an 4a1+6d=-16 a1=-7所以 的通项公式为
20、 an an=2n-9（II）由（I）得 所以当 n=4 时， 取得最小值，最小值为 16Sn=n2-8n=(n-4)2-16 Sn【点睛】本题考查了等差数列的通项公式，考查了等差数列的前 n 项的和公式，考查了等差数列前 n 项和的最值问题；求等差数列前 n 项和的最值有两种方法：函数法，邻项变号法.18. 中，内角 的对边分别为 ， 的面积为 ，若ABC A ， B ， C a ， b ， c ABC S 43 S=b2+c2-a2（1）求角 ；A（2）若 ， ，求角 a=2 b=23 C【答案】 （1） ， （2） 或A=6 C=2 6【解析】【分析】（1）利用三角形面积公式和余弦公式，
21、得 cosA= ，即 ，再根据三角形内角3sinA tanA=33的取值范围，求得角 A 的值；（2）根据正弦定理求得角 B 的值，再根据三角形的内角和，求得角 C 的值.【详解】(1) 中， ABC b2+c2-a2=43 S=4312bcsinA=2bc 3sinAcosA=b2+c2-a22bc = 3sinAtanA=330A 或 或asinA=bsinB sinB=bsinAa =23122 =32 00，则 ；令 g(x)|MN|14根据椭圆的定义可知,曲线 C 是以 M,N 为左、右焦点的椭圆(左长轴端点除外),即 ， 椭圆方程为 .2a=4,a=2,c=1,b2=3 x24+y
22、23=1(x-2)（2）过点 作圆 的两条切线，切点分别为 ，如下图：Q(1,1) M A,B，以 为圆心， 为半径的圆 与圆 公共|QA|=|QB|=2 Q |QA| Q:(x-1)2+(y-1)2=4 M:(x+1)2+y2=1弦所在直线 AB ，的 方 程 为 y=-2x-1联立曲线 与直线 可得 ， ，C:x24+y23=1(x-2) l:y=-2x-1 19x2+16x-8=0 0设交点 ，则 ，E(x1,y1),F(x2,y2) x1+x2=-1619所以中点的横坐标为 ，代入 得中点的纵坐标为 ，x1+x22 =-819 l:y=-2x-1 -319所求中点坐标为 (-819,-
23、319)【点睛】本题考查了定义法求轨迹方程，考查了相交圆的公共弦，考查了直线与椭圆相交所得弦的中点；涉及直线和圆锥曲线的相交弦的中点问题时，常采用一元二次方程根与系数的关系求解，这样使解题过程简化.22.已知函数 ， f(x)=lnx+x-ax2 aR（1）若 在 处取得极值，求的值；f(x) x=1（2）设 ，试讨论函数 的单调性；g(x)=f(x)+(a-3)x g(x)（3）当 时，若存在正实数 满足 ，求证： a=-2 x1,x2 f(x1)+f(x2)+3x1x2=0 x1+x21215【答案】 （1）1（2）见解析（3）见解析【解析】【分析】（1）求出函数 的导数 ，根据 求出 a
24、 的值，再进行检验；f(x) f(x) f(1)=0，（2）求出函数 g（x）的导数，通过讨论 a 的范围，判断函数的单调性；（3）结合已知条件与对数的运算性质，得 令 ，构2(x1+x2)2+(x1+x2)=x1x2-lnx1x2 t=x1x2造函数 ，然后利用导数判断函数单调性得 ，进而得(t)=t-lnt(t0) 2(x1+x2)2+(x1+x2)1证 x1+x212【详解】 （1）因为 ，所以 ，因为 在 处取得极值，所f(x)=lnx+x-ax2 f(x)=1x+1-2ax f(x) x=1以 ，解得 f(1)=1+1-2a=0 a=1验证：当 时， ，易得 在 处取得极大值 a=1
25、 f(x)=1x+1-2x=-(x-1)(2x+1)x (x0) f(x) x=1（2）因为 ，g(x)=f(x)+(a-3)x=lnx+x-ax2+(a-3)x=lnx-ax2+(a-2)x所以 g(x)=1x-2ax+(a-2)=-(ax+1)(2x-1)x (x0)若 ，则当 时， ，所以函数 在 上单调递增；a0 x(0,12) g(x)0 g(x) (0,12)当 时， ， 函数 在 上单调递减 x(12,+) g(x)0)当 时，易得函数 在 和 上单调递增，在 上单调递减； a0) (t)=1-1t=t-1t(t0)16当 时， ，所以函数 在 上单调递减；t(0,1) (t)0) (0,1)当 时， ，所以函数 在 上单调递增t(1,+) (t)0 (t)=t-lnt(t0) (1,+)所以函数 在 时，取得最小值，最小值为 所以(t)=t-lnt(t0) t=1 1，即 ，所以 或 因为 为正实数，所以 当 时， ，此时不存在 满足条件，所以 【点睛】本题考查了导数与函数极值的关系，考查了用导数研究函数的单调性，以及利用导数解决不等式的综合问题利用导数解决不等式的综合问题的一般步骤是：构造函数，利用导数判断 的单调区间和最值，再进行相应证明.
