1、1山东省聊城市第一中学 2019届高三上学期期中考试数学（文）试题第卷（选择题 共 60分）一、选择题（本大题共 12小题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合 ，则 M的非空子集的个数是（ ）A. 15 B. 16 C. 7 D. 8【答案】C【解析】【分析】先把集合 M的所有元素求出，再求其非空子集.【详解】 ,所以 的非空子集为 共 7个，故选C.【点睛】本题主要考查集合的子集求解.可以采用列举法，也可以采用公式，集合 若有个元素，则 的子集个数为 个，非空子集的个数为 个.2.“p且 q是真命题”是“非 p为假命题”的( )A. 充分不必要条件 B. 必要不充
2、分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】试题分析：由 p且 q是真命题，则得 p和 q都是真命题，能得出“非 p为假命题” ；“非 p为假命题” ，得出 p为真命题，但是得不出“p 且 q是真命题” ，所以选 A考点：本题考查命题的真假判断，以及充分条件、必要条件、充要条件点评：解决本题的关键是掌握复合命题的真值表，记住充分条件、必要条件、充要条件的概念3. 如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为 （ ）A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 由增加的长度决定【答案】C2【解析】试题分析：不妨设 为直角三角形， ，则 ，设
3、三边增加的长度为ABC C=90 a2+b2=c2，则新三角形 的三边长度分别为 ，则m(m0) ABC a+m,b+m,c+m，而 ，所以cosC=(a+m)2+(b+m)2(c+m)22(a+m)(b+m) (a+m)2+(b+m)2(c+m)2=2(a+bc)m+m20，因此新三角形为锐角三角形.cosC0考点：余弦定理.【此处有视频，请去附件查看】4.函数 为 的导函数，令 则下列关系正确的是( )f(x)=sinx+2xf(3),f(x) f(x) a=12,b=log32,A. f(a)f(b) C. f(a)f(b) D. f(|a|)f(b),故选 B.b=log32log33
4、=12=a【点睛】本题主要考查导数的应用.利用导数判断函数单调性，结合单调性来比较函数值的大小.5.在封闭的正三棱柱 ABCA 1B1C1内有一个体积为 V的球若 AB6，AA 14，则 V的最大值是（ ）A. 16 B. C. 12 D. 323 43【答案】D【解析】【分析】3先利用正三棱柱的特征，确定球半径的最大值，再利用球的体积公式求解.【详解】正三角形 的边长为 6，其内切圆的半径为 ，所以在封闭的正三棱柱ABC r= 30,A. 2 B. 1 C. 2 D. 0【答案】D【解析】【分析】先根据函数解析式求解出周期，利用周期求值.【详解】 时， ， ，x0 f(x)=f(x1)f(x
5、2) f(x1)=f(x2)f(x3)4两式相加可得 ，所以周期为 6.f(x)=f(x3),f(2019)=f(3)=f(2)f(1)=f(0)=log21=0故选 D.【点睛】本题主要考查利用函数的周期求值.先利用周期把所求化到已知区间，再代入对应的解析式即可.8.九章算术涉及到中国古代算数中的一种几何体-阳马，它是底面为矩形，两个侧面与底面垂直的四棱锥，已知网格纸上小正方形的边长为 1，现有一体积为 4的阳马，则该阳马对应的三视图（用粗实线画出）可能为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据几何体是四棱锥，且四棱锥的一条侧棱与底面垂直及体积为 4，对选项逐一判断即可.
6、【详解】由三视图可知几何体是四棱锥，且四棱锥的一条侧棱与底面垂直，B、D 对应的几何体不符合阳马的特点，A对应的阳马体积不是 4，C 对应的阳马体积是 4，故选 C.【点睛】本题考查了由三视图还原几何体的问题，根据三视图判断几何体的结构特征是解答本题的关键，考查了空间想象能力与运算求解能力.9. 是数列 的前 项和,若 则 ( )A. B. C. D. 【答案】A5【解析】【分析】利用 求出递推公式，根据递推公式求解 .an+Sn=2n【详解】当 时， ；n=1 a1=1当 时， ，两式相减可得， .n2 an-1+Sn-1=2n-1 2an-an-1=2n-1所以 ,故选(2a2-a1)(2
7、a3-a2)(2a100-a99)= 2an-an-1=222299=21+2+99=24950A.【点睛】本题主要考查数列通项公式的求解. 题目条件给出的 的关系式，可以通过an,Sn转化为只含 的关系式.an= S1,n=1SnSn1,n2 an10.已知 则 （ ）sin(122)=33, sin(2+6)=A. B. C. D. 710 710 79 79【答案】C【解析】【分析】利用倍角公式，结合函数名的转换求解.【详解】 ,cos(6)=12sin2(122)=13,故选 C.sin(2+6)=cos2(2+6)=cos(32) =2cos2(6)1=79【点睛】本题主要考查三角函
8、数的给值求值问题，首先从角入手，寻求已知角和所求角的关系，再利用三角恒等变换公式求解.11.已知 F1，F 2是双曲线 （a0，b0）的左、右焦点，若点 F1关于双曲线渐近线x2a2y2b2=1的对称点 P满足OPF 2POF 2（O 为坐标原点） ，则双曲线的离心率为（ ）A. B. 2 C. D. 5 3 2【答案】B【解析】【分析】6先利用对称求出点 P的坐标，结合OPF 2POF 2可知 ，利用两点间距离公式可求|PF2|=c得离心率.【详解】设 是 关于渐近线 的对称点，则有 ；P(x0,y0) F1 y=bax y0x0+c=aby02=bax0c2解得 ；P(b2a2c,2abc
9、)因为OPF 2POF 2，所以 ， ；|PF2|=c (b2a2cc)2+(2abc)2=c2化简可得 ，故选 B.e=2【点睛】本题主要考查双曲线的性质.离心率的求解一般是寻求 之间的关系式.a,b,c12.若函数 在 上为增函数，则的取值范围为（ ）f(x)=52lnx+1axax1 (1,2)A. B. C. D. (,0)14,2 (,0)12,1 1,0)(0,14 1,0)12,1【答案】B【解析】【分析】利用 对 x 恒成立，令 x+1=t(10时， g(1)=a-52+1a0g(2)=4a-5+1a0 解得 .12a1当 a0 tan0 ，令 ，tan+tan=1-tanta
10、n2tantan tantan=m则 ， ，即 ，m2+2m-10 012， 结合图象知，不等式 的解集 ， f(x)0) 4=2p p=2即 的方程为 ;焦点坐标为 ,C1 x2=4y F2(0,1)所以椭圆中 ,其焦点也在 轴上设方程为 c=1 yy2a2+x2b2=1(ab0)由 得 , 又 解得y2a2+x2b2=1y=1 x=b2a |AB|=2b2a=3 a2=b2+1 a=2,b= 3椭圆方程为 ，y24+x23=1又 所以所求圆的方程为 ，|OF1|=1 x2+y2=114(2) 因为直线与圆 相切,所以圆心 O到直线的距离为 1,C3所以 ，SOMN=12|MN|1=|MN|
11、2当直线的斜率不存在时方程为 ,两种情况所得到的三角形 面积相等,x=1 OMN由 得 ,不妨设 , y24+x23=1x=1 y=263 M(1,263),N(1,-263) |MN|=463此时 ，SOMN=12|MN|1=263当直线的斜率存在时设为 ,直线方程为k y=kx+m所以圆心 O到直线的距离为 即 ，|m|1+k2=1, m2=k2+1由 得 y24+x23=1y=kx+m (4+3k2)x2+6kmx+3m2-12=0所以 =36k2m2-4(4+3k2)(3m2-12) =36k2(k2+1)-4(4+3k2)(3k2-9)恒大于 0，=48(2k2+3)设 则 M(xM
12、,yM),N(xN,yN) xM+xN=-6km3k2+4,xMxN=3m2-123k2+4所以 SOMN=|MN|2 =121+k2(xM+xN)2-4xMxN，=121+k2(-6km3k2+4)2-43m2-123k2+4 =121+k248(2k2+3)3k2+4 =231+k22k2+33k2+4令 则 , 3k2+4=t, k2=t-42,t400 f(x)=0 x=-lna.当 时， ，当 时， x-lna f(x)0综上：当 时,单调递减区间为 ，无增区间；a0 (-,+)当 时,增区间为 ，减区间为 ,a0 (-lna,+) (-,-lna)（2）因为 在 上只有一个零点 ,所以方程 上只有一个解.f(x)=0 (0,3) a=x-1ex在 (0,3)设函数 则 ,h(x)=x-1ex h(x)=2-xex当 时, , 当 时, ,00 2x3 h(x)0所以 在 上单调递增, 在 上单调递减h(x) (0,2) (2,3)故 ,又 , 所以的取值范围为 .（3）由（1）知当 时， 在 时取得极小值,的极小值为 16设函数 当 f(x)单调递减；当 f(x)单调递增；故 即 所以 .【点睛】本题主要考查导数的综合应用.函数单调性主要通过导数的符号来确定，零点问题和最值问题一般结合单调性来转化，巧妙构造新函数是常用方法.
