1、1河北衡水金卷 20182019 年度高三第三次联合质量测评数学（文科）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中。只有一项是符合题目要求的。1.已知复数 z 满足 ，则复数 z 在复平面内对应的点所在象限为A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【答案】D【解析】复数满足 ， ，则复数在复平面内对应的点 在第四象限，故选 D.2.已知全集 ，集合 为A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】化简集合 A、B，利用补集与交集运算即可得到结果.【详解】因为 ，所以 或.x4,B=x|x23x4 2B. x,1),sinx+cosx 2
2、C. x1,+),sinx+cosx 2D. x(,1),sinx+cosx 2【答案】C【解析】2【分析】根据全称命题的否定为特称命题即可得到结果.【详解】根据 的构成方法得， 为 .故选 C.p p x1,+),sinx+cosx 2【点睛】全称命题的一般形式是： ， ，其否定为 .存在性命题的一般xMp(x) xM,p(x)形式是 ， ，其否定为 .xMp(x) xM,p(x)4.朱世杰是历史上最伟大的数学家之一，他所著的四元玉鉴卷中“如像招数”五问中有如下问题：“今有官司差夫一千九百八十四人筑堤，只云初日差六十四人，次日转多八人，每人日支米三升” 其大意为“官府陆续派遣 1984 人前
3、往修筑堤坝，第一天派出 64 人，从第二天开始每天派出的人数比前一天多 8 人，修筑堤坝的每人每天分发大米 3 升” ，在该问题中的 1984 人全部派遣到位需要的天数为A. 14 B. 16 C. 18 D. 20【答案】B【解析】【分析】利用等差数列的通项公式及前 n 项和公式即可得到结果.【详解】根据题意设每天派出的人数组成数列 ，分析可得数列是首项 .公差为 8an a1=64的等差数列，设 1984 人全部派遣到位需要 n 天，则 .解na1+n(n1)2 8=64n+4n(n1)=1984得 n=16.故选 B.【点睛】本题考查等差数列的通项公式、前 n 项和公式的应用，考查推理能
4、力与计算能力，属于基础题.5.若线段 AB 的长为 3，在 AB 上任意取一点 C，则以 AC 为直径的圆的面积不超过 的概率34为A. B. C. D. 34 436 33 433【答案】B【解析】【分析】设 的长为 ，由以 AC 为直径的圆的面积不超过 ，可得 x 的范围，根据长度比即可得到AC x34结果.3【详解】设 的长为 ，因为以 为直径的圆的面积不超过 ，AC x AC34所以 ，解得 。x2434 0x43根据几何概率的计算公式得，以 AC 为直径的圆的面积不超过 的概率为 ，故选 D.34 43030=433【点睛】本题主要考查几何概型的概率的计算，根据圆的面积关系求出圆半径
5、的取值范围是解决本题的关键比较基础6.已知定义在 R 上的函数 满足：(1) (2)当 ，则有f(x) f(x+1)=2f(x), x0,2),f(x)=x2x+1A. B. f(32)0,b0) F1,F2 l:x+y=c一象限内与双曲线 E 的渐近线交于点 P，与 y 轴正半轴交于点 Q，且点 P 为 的中点，QF2的面积为 4，则双曲线 E 的方程为QF1F2A. B. C. D. x22y22=1 x22y2=1 x24y24=1 x24y23=1【答案】A【解析】【分析】由题意易知 为等腰直角三角形，又点 为 的中点，故 OP ，从而可得 ，结QOF2 P QF2 QF2ba=1合面
6、积即可得到双曲线 E 的方程.【详解】由题可知，双曲线 的渐近线方程为 ，E：x2a2-y2b2=1(a0,b0) y=bax由于直线 的斜率为 ，所以 （ 为坐标原点） ，l： x+y=c -1 OF2Q=45 O所以 为等腰直角三角形，QOF2因为点 为 的中点，所以 ，即双曲线 为等轴双曲线，P QF2ba=1a=b E因为 的面积为 ，QF1F2SQF1F2=122cc=c26所以 ，所以 ，cz=4c=2 a2=b2=2所以所求的双曲线方程为 .故选 Ax22-y22=1【点睛】本题考查了双曲线的简单几何性质，充分利用题目当中的平面几何性质推得渐近线互相垂直是解题的关键.10.在长方
7、体 与平面 所成的角为 ，则 的取值ABCDA1B1C1D1中 ， AA1=AD=22,A1B ABC1D1 区间为A. B. C. D. (0,6) (0,4) (4,3) (4,2)【答案】B【解析】【分析】设 ,由题意可知 平面 ，故 为直线 与平面 所成的角，AD1A1D=O A1O ABC1D1 A1BO A1B ABC1D1又 ，可得 的取值区间 .OBOA=A1O 【详解】设 .连接 .AD1A1D=O OB在长方体 中，因为 ，ABCD-A1B1C1D1 AA1=AD所以 平面 ，A1O ABC1D1所以 为直线 与平面 所成的角，A1BO A1B ABC1D1因为 ，OBOA
8、=A1O所以 的取值区间为 .故选 B. (0,4)【点睛】求直线和平面所成角的关键是作出这个平面的垂线进而斜线和射影所成角即为所求，有时当垂线较为难找时也可以借助于三棱锥的等体积法求得垂线长，进而用垂线长比上斜线长可求得所成角的正弦值，当空间关系较为复杂时也可以建立空间直角坐标系，利用向量求解.11.椭圆 与抛物线 相交于点 M，N，过点 的直线与抛物线C：x2a2+y2b2=1(ab0) E:y2=4x P(1,0)E 相切于 M，N 点，设椭圆的右顶点为 A，若四边形 PMAN 为平行四边形，则椭圆的离心率为A. B. C. D. 33 22 23 347【答案】B【解析】【分析】设过点
9、 的直线方程为 ，由直线与抛物线相切，可得 ，又四边形P(1,0) x=my1 m=1为平行四边形，所以 ，从而得到 a=3，结合交点 在椭圆上，得到 c 值，PMAN kPM=kAN (1,2)从而得到椭圆的离心率.【详解】设过点 的直线方程为 ，P(1,0) x=my1联立方程组 ，x=my1,y2=4xy24my+4=0因为直线与抛物线相切，所以 ，16m216=0m=1所以切线方程分别为 或 .x=y1 x=y1此时 ， 或 ， ，即切点 或 .x=1 y=2 x=1 y=2 M(1,2) N(1,2)又椭圆的右顶点 ，因为四边形 为平行四边形，所以 ，A(a,0) PMAN kPM=
10、kAN即得 .又交点 在椭圆上，201(1)=0(2)a1a=3 (1,2)所以 ，19+4b2=1b2=92所以 ，c2=a2b2=92c=322所以离心率为 .故选 B.c=ca=3223=22【点睛】求离心率的常用方法有以下两种：（1）求得 的值，直接代入公式 求解；a,c e=ca（2）列出关于 的齐次方程(或不等式)，然后根据 ，消去 后转化成关于的方a,b,c b2=a2-c2 b程(或不等式)求解12.已知函数 对 恒成立，且 为函数f(x)=sin(x+)(0+4所以数形结合易知两图象有 4 个交点（如图） ，所以方程 的解的个数为 4 个.故选 A.exg(x)+1=0,x(
11、-4,4)【点睛】函数零点的求解与判断(1)直接求零点：令 ，如果能求出解，则有几个解就有几个零点；f(x)=0(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间 上是连续不断的曲线，且 ，a,b f(a)f(b)0)即可得到所求圆的方程.【详解】椭圆 的右顶点为 ，上顶点为 ，x29+y24=1 A(3,0) B(0,2)所以过 三点的圆 的方程可设为 .A， B， C M xz+yz+Dx+Ey+F=0(Dz+Ez-4F0)所以 9+3D+F=0,4+2E+F=0,29+2D+5E+F=0 5+3D-2E=0,20-D+5E=0 D=-5,E=-5,F=6所以圆 的方程为 .M x2+y2-5
12、x-5y+6=0标准方程为 (x-52)2+(y-52)2=132【点睛】本题考查圆的一般方程的求法，考查了待定系数法，考查了计算能力，属于基础题.1116.定义在 R 上的函数 满足 ，又当 时， 成立，若f(x) f(x)+f(x)=cosx x0 f(x)12，则实数 t 的取值范围为_f(t)f(2t)+22cos(t+4)【答案】 4,+)【解析】【分析】由 构建新函数 ，借助其单调性解抽象不等式即可.f(-x)+f(x)=cosx f1(x)=f(x)12cosx【详解】由 ，令 ，则f(x)+f(x)=cosx f1(x)=f(x)12cosx，所以 为奇函数.因为当f1(x)+
13、f1(x)=f(x)12cosx(x)+f(x)12cosx=f(x)+f(x)cosx=0 f1(x)时， 成立，所以当 时， 成立，所以 在 上单调x0 f(x)12 x0 f1(x)=f(x)+12sinx0 f1(x) (,0递增，所以 在 R 上单调递增.因为 ，f1(x) f(t)f(2t)+22cos(t+4)即为 ，f(t)12costf(2t)12cos(2t)所以 ，所以 ，所以 .f1(t)f1(2t) t2t t4故答案为： 4,+)【点睛】本题考查了利用导数研究函数的性质，解题关键结合条件合理构造新函数，借助新函数的单调性解抽象不等式，属于难题.三、解答题：解答应写出
14、文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。17.已知正项等比数列 满足 an S2=6,S4=30(1)求数列 的通项公式；an(2)若 ，已知数列 的前 n 项和为 ，试证明： 恒成立bn=log2an 1bnbn+1 Tn Tn0)12的通项公式；（2） ，利用裂项相消法求和即可.an1bnbn+1= 1n(n+1)=1n- 1n+1【详解】 （1）设等比数列 的首项为 ，公比为 ，an a1 q(q0)由 S2=6,S4=30得 ，a1+a1q=6,a1q2+a1q2=24, 解得 ，a1=2,q=2(-
15、2舍 去 )所以数列 是以 为首项. 为公比的等比数列，其通项公式为an 2 2 an=2n（2）由（1）知， ，所以 ，an=2n bn=log2an=log22n=n所以1bnbn+1= 1n(n+1)=1n- 1n+1所以 .T=1b1b2+ 1b2b3+ 1b3b4+ 1bnbn+1，=(1-12)+(12-13)+(13-14)+(1n- 1n+1)，=1-1n+10) y2=4x y2-4my-4=0达定理表示 ，即可得到结果.kPA+kPB【详解】 （1）由题可知，动点 的轨迹为抛物线，其焦点在 轴上，且 .M xp2=1p=2所以动点 的轨迹方程为 .M y2=4x（2）过点
16、的直线方程可设为 ，F(1,0) x=my+1(m0)联立方程组 .x=my+1,y2=4x y2-4my-4=0,设 ，A(x1,y1),B(x2,y2)所以 y1+y2=4m,y1y2=-4所以 kPA=y1-tx1+1,kPB=y2-tx2+1而 kPA+kPB=y1-tx1+1+y2-tx2+1，=(y1-t)(x2+1)+(y2-t)(x1+1)(x1+1)(x2+1)，=(y1-t)(yzz4+1)+(y2-t)(yz14+1)(yz14+1)(yz24+1)，2y1y24(y1+y2)+(y1+y2)-(y224+y214)t-2t(y1y24)+y224+y224+1，=-(y
17、224+y214)t-2ty214+y224+2 =-t当 时， ，此时直线 关于 轴对称，t=o kPA+kPB=0 PA,PB x当 时， ，此时直线 不关于 轴对称。to kPA+kPB0 PA,PB x所以实数 t 的取值范围为 .(-,0)(0,+)【点睛】在圆锥曲线中研究范围，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值.在利用代数法解决最值与范围问题时，常从以下方面考虑：利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的关键是两个参数之间建立等量关系；利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求
18、出参数的取值范围；利用基本不等式求出参数的取值范围；利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围.1821.已知函数 f(x)=xexln(x+1)x(1)求曲线 在点 处的切线方程；y=f(x) (0,f(0)(2)证明：函数 在区间 内有且只有一个零点f(x) (0,1)【答案】 （1） ；（2）见解析y=x【解析】【分析】(1)求出 得到 ，从而得到切线方程；(2) 在区间 内必存f(x)=ex(x+1)- 1x+1-1 k=f(0) (0,1)在， 在 上单调递减，在 上单调递增，结合零点存在定理即可得到结果.f(x) (0,) (,1)【详解】 （1）当 时 .x=0 f(0)=0由 ，
19、f(x)=xex-In(x+1)-x得 .f(x)=ex(x+1)- 1x+1-1所以斜率 ，k=f(0)=ex(0+1)- 10+1-1=-1所以切线方程为 .y=-x（2）由题可知，函数的定义域为 ，(-1,+)由（1）知， f(x)=ex(x+1)- 1x+1-1.=ex(x+1)z-x-2x+1记 ，g(x)=ex(x+1)2-x-2所以 ，g(x)=ex(x2+4x+3)-1易知 时， ，x(0,+) g(x)0所以 在区间 上单调递增， g(x) (0,+)所以 .g(x)g(0)=-1又因为 ，g(1)=e1(1+1)2-1-2=4e-30所以在区间 内必存在.使 ， (0,1)
20、 g()=0所以当 时， ，即 ，x(0,) g(x)0 f(x)0所以 单调递增，f(x)所以当 时， 有极小值且为 .x= f(x) f()因为 ，f(0)=0e0-In(0+1)-0=0所以 f()0所以在区间 内必存在唯一零点，(,1)所以函数 在区间 内有且只有一个零点.f(x) (0,1)【点睛】 （1）函数零点个数（方程根的个数）的判断方法：结合零点存在性定理，利用函数的单调性、对称性确定函数零点个数；利用函数图像交点个数判断方程根的个数或函数零点个数（2）本题将方程实根个数的问题转化为两函数图象交点的问题解决，解题时注意换元法的应用，以便将复杂的问题转化为简单的问题处理。22.
21、在直角坐标系中，直线 l 的参数方程为 (t 为参数， )，以坐标原x=1+tcos,y=1+tsin 032 3,1【解析】【分析】(1) 求出函数 f（x）的分段函数的形式，通过讨论 x 的范围求出各个区间上的 x 的范围，取并集即可；(2) 等价于 ，求出-2+f(y)f(x)2+f(y) |f(x)-f(y)|2f(x)max-f(x)min2的最值即可.f(x)【详解】 （1）当 a=1 时， ，可得 的解集为（2）当 时，,因为 ， 所以 .所以 ，所以 .所以 a 的取值范围是-3，-1【点睛】含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用.
