1、- 1 -河南省许昌高级中学 2019 届高三数学复习诊断试题（二）文（考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分）一、选择题(本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1 （文）已知全集 ，集合 ，集合 ，则集合1,234,6U23A,1346B,( )UABIA B C D325,146,235,2已知 i 为虚数单位，实数 x， y 满足( x2 i)i y i，则| x yi|( )A1 B. C. D.2 3 53命题“ ， ”的否定是( )0x1lnxA ， B ，00001lnxC ， D ， x1lnxl4函数 f
2、(x) x2 xsin x 的大致图象可能是 ( )12A BC D5已知双曲线 C： 1( a0， b0)的一个焦点坐标为(4,0)，且双曲线的两条渐近线x2a2 y2b2互相垂直，则该双曲线的方程为( )A. 1 B. 1 C. 1 D. 1 或 1x28 y28 x216 y216 y28 x28 x28 y28 y28 x286已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )- 2 -A86 B66 C812 D6127定义在 R 上的偶函数 在0，)单调递增，且 f(2)1，则 f(x2)1 的取值()fx范围是( )A2,2 B(，22，) C(，04，) D0,48已知
3、为正项等比数列， 是它的前 项和，若 ，且 与 的等差中项为 ，nanS16a47a98则 的值是( )5SA29 B30 C31 D329 （文）已知实数 x， y 满足约束条件Error!，则 z 的取值范围为( )x 5yA. B. 23， 43 43， 23C. D. ,( ， 34 32， )10在平面直角坐标系 中，点 为椭圆 的下顶点， ， 在椭xOyP2:10yxCabMN圆上，若四边形 为平行四边形， 为直线 的倾斜角，若 ，则椭圆 的PMNON,64C离心率的取值范围为( )A B C D60,330,263,22,311已知菱形 ABCD 的边长为 2 ， BAD60，沿
4、对角线 BD 将菱形 ABCD 折起，使得二面3角 ABDC 的余弦值为 ，则该四面体 ABCD 外接球的体积为( )13A. B8 C. D362873 6 2053- 3 -12.已知定义域为 的奇函数 的导函数为 ，当 时，Ryfxyfx0，若 ， ， ，则 ， ， 的大小关系0fxf13af3bf1ln3cfabc正确的是( )A B C Dabcbcacbcab二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分把答案填在题中横线上)13已知函数 满足 ，则 _fxln21fxf14将函数 f(x)2sin(2 x )( 0)的图象向左平移 个单位长度，得到偶函数 g(x)的
5、 3图象，则 的最大值是_15设等差数列 的前 项和 ， ， ，若数列 的前 项和为 ，nanS4a51S1nam10则 _m16已知抛物线 C： y24 x 的焦点为 F，过点 F 且斜率为 1 的直线与抛物线 C 交于点 A， B，以线段 AB 为直径的圆 E 上存在点 P， Q，使得以 PQ 为直径的圆过点 D(2， t)，则实数 t 的取值范围为_三、解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17(本小题满分 12 分)在 ABC 中，角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c，满足 2acos C bcos C ccos B0.(1)求角 C 的大小；(2)若 a2，
6、 ABC 的面积为 ，求 c 的大小3218(本小题满分 12 分)如图，在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 为等腰梯形， AD BC， AB BC AD， E， F 分12别为线段 AD， PB 的中点(1)证明： PD平面 CEF；(2)若 PE平面 ABCD， PE AB2，求四面体 P DEF 的体积- 4 -19(本小题满分 12 分)如图，椭圆 E： 1( a b0 )的左、右焦点分别为 F1， F2， MF2 x 轴，直线 MF1x2a2 y2b2交 y 轴于 H 点， OH ， Q 为椭圆 E 上的动点， F1F2Q 的面积的最大值为 1.24(1)求椭圆 E 的方程；
7、(2)过点 S(4,0)作两条直线与椭圆 E 分别交于 A， B， C， D，且使 AD x 轴，如图，问四边形 ABCD 的两条对角线的交点是否为定点？若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由20(本小题满分 12 分)某人事部门对参加某次专业技术考试的 100 人的成绩进行了统计，绘制的频率分布直方图如图所示规定 80 分以上者晋级成功，否则晋级失败(满分为 100 分)(1)求图中 a 的值；(2)估计该次考试的平均分 (同一组中的数据用该组的区间中点值代表)；x (3)根据已知条件完成下面 22 列联表，并判断能否有 85%的把握认为“晋级成功”与性别有关晋级成功 晋级失败 合计男 1
8、6女 50合计- 5 -参考公式： K2 ，其中 n a b c dn ad bc 2 a b c d a c b dP(K2 k) 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025k 0.780 1.323 2.072 2.706 3.841 5.02421已知函数 f(x)ln x ax(aR)(1)若曲线 y f(x)与直线 x y1ln20 相切，求实数 a 的值；(2)若函数 f(x)有两个零点 x1， x2，证明 21lnx1 1lnx2【选考题】请考生在第 2223 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分22(本小题满分 10 分)选修 44：坐标系与参数方
9、程在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为Error!( t 为参数，0 )在以 O 为极点， x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C： 4cos .(1)当 时，求 C 与 l 的交点的极坐标； 4(2)直线 l 与曲线 C 交于 A， B 两点，且两点对应的参数 t1， t2互为相反数，求| AB|的值23(本小题满分 10 分)选修 45：不等式选讲已知 f(x)| mx3|2 x n|.(1)当 m2， n1 时，求不等式 f(x)2 的解集；(2)当 m1， n0 时， f(x)的图象与 x 轴围成的三角形面积大于 24，求 n 的取值范围- 6 - 7 -数学（文）答案1
10、 【答案】B【解析】因为 ， ，所以 ，因为 ，则1,2345,6U1346B,25UB,235A,ABI,2 【答案】D【解析】因为( x2 i)i y i，所以2 xi y i，所以Error!，则| x yi|12 i|.53 【答案】B【解析】由全称命题与存在性命题的关系，可得命题“ ， ”的否定是“0x1lnx， ”0x01lnx4 【答案】C由 f( x) f(x)， xR，得函数 f(x)是偶函数，其图象关于 y 轴对称又f 0，因此结合各选项知 C 正确.( 6) 12 ( 6)2 6 12 6 12 ( 6 1)5 【答案】A【解析】因为该双曲线的两条渐近线互相垂直，所以该双
11、曲线为等轴双曲线，即 a b，又双曲线 C： 1 的一个焦点坐标为(4,0)，所以 2a216，即 a2 b28，即该双曲线的方x2a2 y2b2程为 1.x28 y286 【答案】B【解析】由三视图可得该几何体是由圆柱的一半(沿轴截面截得，底面半径为 1，母线长为 3)和一个半径为 1 的半球组合而成(部分底面重合)，则该几何体的表面积为S223 2366.127 【答案】D【解析】由题意得 f(x2) f(2)，由于函数 f(x)是偶函数，所以 x2 到原点的距离小于等于2 到原点的距离，所以| x2|2|2，所以2 x22，解之得 0 x4。8 【答案】C【解析】设正项等比数列的公比为
12、，则 ， ， 与 的等差中项为 ，即q3416aq674a798有 ，即 ，解得 （负值舍去） ，则有479a3691q2- 8 - 5515 1623aqS9 【答案】C【解析】作出的可行域为三角形(图略)，把 z 改写为 ，所以 可看作点( x， y)x 5y 1z y 0x 5 1z和(5,0)之间的斜率，记为 k，则 k ，所以 z .23 43 3,2410 【答案】A【解析】因为 是平行四边形，因此 且 ，故 ，代入椭圆方程OPMNMNOP 2Nay可得 ，所以 因 ，所以 ，即 ，32Nbx3tankb,6431b31ab所以 ，即 ，解得 a22ac03c11 【答案】B【解析
13、】取 BD 中点 M，连接 AM， CM(图略)根据二面角的平面角的概念，可知 AMC 是二面角 ABDC 的平面角，根据图形的特征，结合余弦定理，可以求得 AM CM2 3，此332时满足 AC299233 24，从而求得 AC2 ， AB2 BC2 AD2 CD2 AC2，所(13) 6以 ABC， ADC 是共斜边的两个直角三角形，所以该四面体的外接球的球心落在 AC 中点，半径 R ，所以其体积为 V R3 6 8 .AC2 6 43 43 6 612 【答案】C【解析】定义域为 的奇函数 ，设 ，所以 为 上的偶函数，所yfxFxfFxR以 ，因为当 时， 所以当 时，Fxfxf00
14、f0，当 时， ，即 在 单调递增，在 单0fxfxx,0调递减 ， ，311ln3afFe3bfF，因为 ，lnlllFcf3llne所以 即 3lln3eacb二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分把答案填在题中横线上)- 9 -13 【答案】 52e1【解析】由题意函数 满足 ，令 ，则 fxln21fx5ex55lne2e1ff14 【答案】 6【解析】函数 f(x)2sin(2 x )( 0)的图象向左平移 个单位长度，得到 y2sin 32sin ，即 g(x)2sin ，又 g(x)为偶函数，所以2(x 3) (2x 23 ) (2x 23 ) k， kZ，
15、即 k， kZ.又因为 0，所以 的最大值为23 2 6. 615 【答案】10【解析】 为等差数列 的前 项和，设公差为 ， ， ，则 ，nSnad4a51S4531aS解得 ，则 由于 ，1d4n1nan则 ，解得 ，故答案为 10 1023mSm 10m16 【答案】1,3 【解析】由题意可得直线 AB 的方程为 x y1，与 y24 x 联立消去 x，可得 y24 y40，设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则 y1 y24， y1y24，设 E(xE， yE)，则yE 2， xE yE13，又| AB| x1 x22 y11 y2128，所以圆 E 是以y1 y22(3,2
16、)为圆心，4 为半径的圆，所以点 D 恒在圆 E 外圆 E 上存在点 P， Q，使得以 PQ 为直径的圆过点 D(2， t)，即圆 E 上存在点 P， Q，使得 DP DQ，设过 D 点的两直线分别切圆 E于 P， Q点，要满足题意，则 P DQ ，所以 ， 2 |EP |DE| 2243t22整理得 t24 t30，解得 2 t2 ，故实数 t 的取值范围为2 ，2 .7 7 7 717 【解析】(1)在 ABC 中，因为 2acos C bcos C ccos B0，所以由正弦定理可得：2sin Acos Csin Bcos Csin Ccos B0，所以 2sin Acos Csin(
17、B C)0，又 ABC 中，sin( B C)sin A0，所以 cos C .12因为 0 C，所以 C .23- 10 -(2)由 S absin C ， a2， C ，得 b1.12 32 23由余弦定理得 c241221 7，所以 c .(12) 718(1)证明：连接 BE， BD， BD 交 CE 于点 O，连接 OF.因为 E 为线段 AD 的中点， BC AD ED， AD BC，所以 BC ED.12所以四边形 BCDE 为平行四边形，所以 O 为 BD 的中点，又因为 F 是 BP 的中点，所以 OF PD.因为 OF平面 CEF， PD平面 CEF，所以 PD平面 CEF
18、.(2)因为 F 为线段 PB 的中点，所以 VP DEF VB DEF VP BDE VP ABCD，12 12 13因为 VP ABCD PE 2 2 .13 BC AD2 AB2 (BC2)2 13 2 42 3 3所以 VP DEF .3319 【解析】(1)设 F(c,0)，由题意可得 1，即 yM .c2a2 y2b2 b2a因为 OH 是 F1F2M 的中位线，且 OH ，24所以| MF2| ，即 ，整理得 a22 b4. 22 b2a 22又由题知，当 Q 在椭圆 E 的上顶点时， F1F2M 的面积最大，所以 2cb1，整理得 bc1，即 b2(a2 b2)1，12联立可得
19、 2b6 b41，变形得( b21)(2 b4 b21)0，解得 b21，进而 a22.所以椭圆 E 的方程为 y21.x22(2)设 A(x1， y1)， C(x2， y2)，则由对称性可知 D(x1， y1)， B(x2， y2)设直线 AC 与 x 轴交于点( t,0)，直线 AC 的方程为 x my t(m0)，联立Error!，消去 x，得( m22) y22 mty t220，- 11 -所以 y1 y2 ， y1y2 ， 2mtm2 2 t2 2m2 2由 A， B， S 三点共线 kAS kBS，即 ，y1x1 4 y2x2 4将 x1 my1 t， x2 my2 t 代入整理
20、得： y1(my2 t4) y2(my1 t4)0，即 2my1y2( t4)( y1 y2)0，从而 0，2m t2 2 2mt t 4m2 2化简得 2m(4t2)0，解得 t ，12于是直线 AC 的方程为 x my ， 12故直线 AC 过定点 .同理可得 BD 过定点 ，(12， 0) (12， 0)所以直线 AC 与 BD 的交点是定点，定点坐标为 .(12， 0)20 【解析】(1)由频率分布直方图中各小长方形面积总和为 1，得(2 a0.0200.0300.040)101，解得 a0.005.(2)由频率分布直方图知各小组的中点值依次是 55,65,75,85,95，对应的频率
21、分布为 0.05,0.30,0.40,0.20,0.05，则估计该次考试的平均分为 550.05650.3750.4850.2950.0574(分)x (3)由频率分布直方图知，晋级成功的频率为 0.20.050.25，故晋级成功的人数为 1000.2525，填写 22 列联表如下：晋级成功 晋级失败 合计男 16 34 50女 9 41 50合计 25 75 100K2 2.6132.072n ad bc 2 a b c d a c b d 100 1641 349 225755050，所以有 85%的把握认为“晋级成功”与性别有关21(文) 【解析】(1)由 f(x)ln x ax，得 f
22、( x) a.1x设切点的横坐标为 x0，依题意得：Error!解得Error!- 12 -故实数 a 的值为 1.(2)证明：不妨设 01，则 ln 0， 2ln t 2ln t.x2x1 x2x1 x2x1 x1x2 x2x1 1t设 g(t) t 2ln t，则当 t1 时， g( t) 0，1t t2 2t 1t2则函数 g(t)在(1，)上单调递增，所以 g(t)g(1)0.从而 0，即 2.x2x1 x1x2 2lnx2x1lnx2x1 1lnx1 1lnx2【选考题】请考生在第 2223 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分22 【解析】(1)依题意可知，直线 l 的
23、极坐标方程为 ( R)， 4当 0 时，联立Error!，解得交点 ，(22， 4)当 0 时，经检验(0,0)满足两方程，当 0 时，无交点；综上，曲线 C 与直线 l 的交点极坐标为(0,0)， .(22， 4)(2)把直线 l 的参数方程代入曲线 C，得 t22(sin cos )t20，可知 t1 t20， t1t22，所以| AB| t1 t2| 2 .11t223 【解析】(1)当 m2， n1 时， f(x)|2 x3|2 x1|.不等式 f(x)2 等价于3()(21)x或 或31(2)()x(3)()xx- 13 -解得 x 或 x0，即 x0.32 32所以不等式 f(x)2 的解集是(，0)(2)由题设可得， f(x)| x3|2 x n|Error!所以函数 f(x)的图象与 x 轴围成的三角形的三个顶点分别为 A ， B(3 n,0)，(3 n3 ， 0)C .(n2， 3 n2)所以三角形 ABC 的面积为 .12(3 n 3 n3 )(3 n2) 6 n 26由题设知， 24，解得 n6. 6 n 26
