1、- 1 -莆田一中 2018-2019 学年高三理数 10 月考试题第卷一、选择题（本大题共 12 小题，共 60 分）1.若集合 0， ， ，集合 ，则集合 （ ）A. 0， ， B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先根据 集合中的元素求出 集合，再求交集.【详解】 , ,选 .【点睛】本题主要考查集合的运算，属简单题.2.设复数 满足 ，则 的共轭复数为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先根据公式化简复数 ，再利用共轭复数的概念求解.【详解】 ，则 共轭复数为 .选 .【点睛】本题主要考查复数的运算及共轭复数的概念.3.在下列四个命题中：命题“ ，总有 ”的否
2、定是“ ，使得 ”；把函数 的图象向右平移 得到 的图象；甲、乙两套设备生产的同类型产品共 4800 件，采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为80 的样本进行质量检测 若样本中有 50 件产品由甲设备生产，则乙设备生产的产品总数为1800 件；- 2 -“ ”是“直线 与圆 相切”的必要不充分条件 错误的个数是（ ）A. 0 B. 1 C. 2 D. 3【答案】C【解析】【分析】中全称命题的否定将全称量词改为存在量词并否定结论；利用函数图象平移规律判断.根据分成抽样方法计算即可.判断由条件可以得出结论，则错误.【详解】四个命题中正确，错误.中命题的否定应为： ，使得 ”.中函数平移得 ，结论成
3、立.中乙设备生产产品数位，结论正确 .中圆心到直线的距离 ，若 ，则 ，直线与圆相切，故满足充分性.故结论不正确.选 .【点睛】函数图象左右平移要注意解析式中只对 做加减；注意充分必要条件与必要不充分条件的区别：若条件推导结论则具有充分性，结论推导条件则具有必要性.全称命题和特称命题的否定：命题 命题的否定4.函数 的最小正周期为 ，若其图象向左平移 个单位后得到的函数为奇函数，则函数 的图象（ ）A. 关于点 对称 B. 关于点 对称C. 关于直线 对称 D. 关于直线 对称【答案】C【解析】【分析】- 3 -由函数的最小正周期得 ，由函数图像平移后为奇函数可得 ，得到函数的解析式,结合正弦
4、函数的性质求函数的对称中心和对称轴.【详解】函数 的最小正周期为 ，则 .其图象向左平移 个单位可得 ,平移后函数是奇函数，则有 ,又 ，则 .函数的解析式为 ,令 ,解得 ,则函数的对称中心为 . 选项错误.令 ，解得函数的对称轴为 .当 时， .选 C.【点睛】本题考查三角函数的图象和性质，根据函数解析式求函数的对称轴和对称中心时利用了整体代换的思想，解题中注意把握.求解过程中不要忽略了三角函数的周期性.5.设函数 ，则使得 成立的 的取值范围是A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】可判断 是偶函数，且在 单调递增，则 可转化为 ，利用函数的单调性求解 即可【详解】 ，则 ,-
5、 4 -故 为偶函数.当 时， 为增函数.则 可变为 ，所以 .则 ,化简得 ，解得 ，故选 B.【点睛】利用函数的奇偶性和单调性将复杂的具体函数运算转化为抽象函数比较大小是本题解题思路中的一个亮点.偶函数比较大小时注意 的应用.6.已知函数 的部分图象如图所示，则（ ）A. ， B. ，C. ， D. ，【答案】A【解析】【分析】先根据函数图象得到周期求出 ，然后带特殊点求值即可.【详解】由图可知函数的周期为 ，则 .则 ,将 代入解析式中得 ,则 或者 ，解得 或者 .因为 ，则 .选 .【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质.解题中注意给定三角函数值求角的问题中，除最大最小值其它情况在
6、一个周期内均有两个角与之对应.7.在 中，内角 所对边的长分别为 ，且满足 ，若 ，则 的最大值为（ ）A. B. 3 C. D. 9- 5 -【答案】A【解析】【分析】将 化简可得 ,再利用余弦定理结合基本不等求解 的最大值.【详解】 ，则 ，所以 ， , .又有 ，将式子化简得 ，则 ，所以 .选 .【点睛】本题主要考查了正余弦定理在解三角形中的应用以及基本不等式在求最值问题中的应用.在利用正弦定理做边角转化中要注意三角形内角和这个隐含的已知条件.8.已知等比数列 中， ， ， 为方程 的两根，则 （ ）A. 32 B. 64 C. 256 D. 【答案】B【解析】【分析】由根与系数的关系
7、可得 ，再利用等比中项的性质求 .【详解】 ， 为方程 的两根,则 ，数列 是等比数列，则 ，又 ，所以 .选 .【点睛】本题主要考查等比数列的性质的应用.9.袋子中装有形状和大小完全相同的五个小球，每个小球上分别标有“1” “2”“3”“4”“6”这五个数，现从中随机选取三个小球，则所选的三个小球上的数恰好能构成一个等差数列的概率是（ ）A. B. C. D. 【答案】A- 6 -【解析】【分析】找出五个数中成等差数列的数组数，求出基本事件个数，求比值即可.【详解】 “1”“2”“3”“4”“6”这五个数中成等差数列的数有“1,2,3” ， “2,3,4”，“2,4,6”三组，从五个数中随机
8、选取三个小球有 ，故所求概率为 .【点睛】本题考查主要考查古典概型的应用.10.已知函数 的图象关于点 对称，且当 时， 成立 其中是 的导函数 ，若 ， ， ，则 的大小关系是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据函数图象平移解析式的变换情况可知 的图象关于原点对称，根据 构造函数 ，可得 的奇偶性和单调性，再利用函数的单调性比较大小.【详解】已知函数 的图象关于点 对称,则 的图象关于原点对称， 是奇函数.令 ,则 是偶函数.当 时， 成立，则 在 上是减函数.又有 是偶函数，则 且在 上是增函数.由 ，可得 ，所以 ，选 .【点睛】抽象函数常常利用函数的单调性来比较
9、大小，根据 构造函数是本题解题的关键 .11.已知椭圆 与双曲线 有相同的焦点 ，点 是两曲线的一个公共点，且 ， ， 分别是两曲线 ， 的离心率，则的最小值是（ ）A. 4 B. 6 C. 8 D. 16- 7 -【答案】C【解析】【分析】由题意设焦距为 ，椭圆长轴长 ，双曲线实轴长为 ，取椭圆与双曲线在一象限的交点为，由已知条件结合椭圆双曲线的定义推出 ，由此得出 的最小值.【详解】由题意设焦距为 ，椭圆长轴长 ，双曲线实轴长为 ，取椭圆与双曲线在一象限的交点为 ，由椭圆和双曲线定义分别有， ， ，得 ，将代入得则 ，故 最小值为 8.【点睛】本题是圆锥曲线综合题，解题中注意椭圆与双曲线的
10、交点 的位置处理，由于椭圆和双曲线都具有很好的对称性，因此解题中可适当选择 的位置求解即可.12.已知函数 的图象与直线 相切，当函数 恰有一个零点时，实数 的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】设切点为 ，由题设可得 ，则由题设 ，即 ，与联立可得 ，则 。所以当 时，函数 单调递增；当 时， ，函数单调递减；故函数 在 处取最小值，故当 时，函数恰有一个零点，应选答案 A。- 8 -点睛：求解本题时，先借助导数的几何意义，依据斜率的关系推出 ，进而判断导数的值的正负，求出函数的极值点 ，从而借助导数与函数的单调性之间的关系确定函数在处取得最小值，使得问题获解。第卷（共
11、 90 分）二、填空题（本大题共 4 小题，共 20 分）13.在 的展开式中含 项的系数是_ （用数字作答）【答案】15 【解析】含 项的系数 .点睛:求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第 r1 项，再由特定项的特点求出 r 值即可.(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第 r1 项，由特定项得出 r 值，最后求出其参数.14.若两个正实数 满足 ，且不等式 有解，则实数 的取值范围是_ .【答案】【解析】试题分析：因为不等式 有解，所以 ，因为 ，且，所以 ，当且仅当 ，即时，等号是成立的，所以 ，所以 ，即
12、，解得或 .考点：不等式的有解问题和基本不等式的求最值.【方法点晴】本题主要考查了基本不等式在最值中的应用，不等式的有解问题，在应用基本不等式求解最值时，呀注意“一正、二定、三相等”的判断，运用基本不等式解题的关键是寻找和为定值或是积为定值，难点在于如何合理正确的构造出定值，对于不等式的有解问题一般选用参数分离法，转化为函数的最值或借助数形结合法求解，属于中档试题.15.已知在平面直角坐标系 中，抛物线 的焦点为 ， ，点 在抛物线上，则- 9 -的最小值为_.【答案】【解析】【分析】过 作 垂直抛物线的准线，垂足为 ，则 与抛物线的交点为 时， 的值最小.【详解】抛物线 的焦点为 在抛物线内
13、部，抛物线的准线方程为 .过 作 垂直抛物线的准线，垂足为 ，则 与抛物线的交点为 时， 的值最小.根据抛物线的几何性质有 ,此时 .【点睛】本题主要考查抛物线的定义及几何性质，体现了数形结合的思想.16.已知函数 在区间 内是增函数，函数 其中 为自然对数的底数 ，当 时，函数 的最大值 与最小值 的差为 ，则实数 _.【答案】【解析】【分析】根据函数 在区间内 是增函数,得 在区间 恒成立，进而求得参数取值范围；通过讨论对 取绝对值求最值，进而求得参数值.【详解】函数 在区间内 是增函数,则 在区间 恒成立，即 在 恒成立，所以 .， ，（1）当 时， ，- 10 -当 时， ，则 ，解得
14、 .(2) 当 时, , ,(舍)，故【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性及最值，通过对参数取值范围的讨论确定函数的最大最小值是本题解题的关键.三、解答题（本大题共 6 小题，共 70.0 分）17.设数列 的前 项和为 ，且 ，数列 满足 ，点 在上， （1）求数列 ， 的通项公式；（2）设 ，求数列 的前 项和 【答案】 （1） ；（2） .【解析】【分析】（1）利用 与 的递推关系可以 的通项公式； 点代入直线方程得 ，可知数列是等差数列，用公式求解即可.(2)用错位相减法求数列的和.【详解】 由 可得 ，两式相减得 ， 又 ，所以 故 是首项为 1，公比为 3 的等比数列所以
15、- 11 -由点 在直线 上，所以 则数列 是首项为 1，公差为 2 的等差数列则因为 ，所以 则 ，两式相减得： 所以 【点睛】用递推关系 求通项公式时注意 的取值范围，所求结果要注意检验的情况；由一个等差数列和一个等比数列的积组成的数列求和，常用错位相减法求解.18.如图，在以 ， ， ， ， ， 为顶点的五面体中，面 为正方形， ，且二面角 与二面角 都是 .（1）证明：平面 平面 ；（2）求二面角 的余弦值.【答案】 （1）见解析；（2） .【解析】试题分析：（）证明 平面 ，结合 平面 ，可得平面 平面 （）建立空间坐标系，利用向量求解.- 12 -试题解析：（）由已知可得 ， ，所
16、以 平面 又 平面 ，故平面 平面 （）过 作 ，垂足为 ，由（）知 平面 以 为坐标原点， 的方向为 轴正方向， 为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系由（）知 为二面角 的平面角，故 ，则 ， ，可得， ， ， 由已知， ，所以 平面 又平面 平面 ，故 ， 由 ，可得 平面 ，所以 为二面角 的平面角，从而可得 所以 ， ， ， 设 是平面 的法向量，则，即 ，所以可取 设 是平面 的法向量，则 ，同理可取 则 故二面角 E BC A 的余弦值为 【考点】垂直问题的证明及空间向量的应用【名师点睛】立体几何解答题第一问通常考查线面位置关系的证明,空间中线面位置关系的证明主要包括线线、线面、
17、面面三者的平行与垂直关系,其中推理论证的关键是结合空间想象能力进行推理,注意防止步骤不完整或考虑不全致推理片面,该类题目难度不大,以中档题为主.第二问一般考查角度问题,多用空间向量法解决.视频- 13 -19.某职称晋级评定机构对参加某次专业技术考试的 100 人的成绩进行了统计，绘制了频率分布直方图 如图所示 ，规定 80 分及以上者晋级成功，否则晋级失败晋级成功 晋级失败 合计男 16女 50合计（1）求图中 的值；（2）根据已知条件完成下面 列联表，并判断能否有 的把握认为“晋级成功”与性别有关？（3）将频率视为概率，从本次考试的所有人员中，随机抽取 4 人进行约谈，记这 4 人中晋级失
18、败的人数为 ，求 的分布列与数学期望 （参考公式： ，其中- 14 -【答案】 （1） ；（2）有；（3）3.【解析】试题分析：()由频率分布直方图各小长方形面积总和为 ，即可求得 ；()由频率分布直方图知，晋级成功的频率为 ，得到晋级成功的人数为 （人） ，得到 的列联表，根据公式求解 的值，即可得到结论；（）由频率分布直方图知晋级失败的频率为 ，得到故 可视为服从二项分布，利用二项分布的概率公式，求得概率，列出分布列，从而计算期望值试题解析：()由频率分布直方图各小长方形面积总和为 1，可知，故 .()由频率分布直方图知，晋级成功的频率为 ，故晋级成功的人数为 （人） ，故填表如下晋级成功
19、 晋级失败 合计男 16 34 50女 9 41 50合计 25 75 100假设“晋级成功”与性别无关，根据上表数据代入公式可得 ，所以有超过 85%的把握认为“晋级成功”与性别有关（）由频率分布直方图知晋级失败的频率为 ，将频率视为概率，则从本次考试的所有人员中，随机抽取 1 人进行约谈，这人晋级失败的概率为 ，故 可视为服从二项分布，即 ， ， 故 ， ，- 15 -， ，故 的分布列为0 1 2 3 4或（ .20.已知椭圆 的离心率为 ，左、右焦点分别是 、 以 为圆心、以 3为半径的圆与以 为圆心、以 1 为半径的圆相交，交点在椭圆 上（1）求椭圆 的方程；（2）直线 与椭圆 交于
20、 两点，点 是椭圆 的右顶点 直线 与直线 分别与 轴交于点 ，试问以线段 为直径的圆是否过 轴上的定点？若是，求出定点坐标；若不是，说明理由【答案】 （1） ；（2） .【解析】【分析】(1)由椭圆的定义可得 ，根据椭圆的离心率求得 ,进而求的 .(2)设 ，联立直线方程与椭圆方程可得 两点坐标的关系，根据 两点坐标可将直线 与直线 分别表示出来，进而可求其与 轴交于点 ，以线段 PQ 为直径的圆过x 轴上的定点 ，则等价于 恒成立，带点求解即可 .【详解】 （1）由题意知 ，则 又 ， ，可得 ，椭圆 的方程为 - 16 -（2）以线段 PQ 为直径的圆过 x 轴上的定点由 得 设 ， ，
21、则有 ， 又 点 M 是椭圆 的右顶点， 点 由题意可知直线 AM 的方程为 ，故点 直线 BM 的方程为 ，故点 若以线段 PQ 为直径的圆过 x 轴上的定点 ，则等价于 恒成立又 ， ， 恒成立又 ，解得 故以线段 PQ 为直径的圆过 x 轴上的定点 【点睛】本题考查圆锥曲线中求曲线方程，直线与曲线的关系以及定点问题，综合性较强.- 17 -设而不求是基本方法，解题处理关键地方在于将圆过定点问题转化为 恒成立问题求解.21.已知函数 .（1）当 时，求 的单调区间；（2）若 有两个零点，求实数 的取值范围.【答案】 （1） 在 时为减函数；在 时为增函数；（2） .【解析】【分析】（1）直
22、接求导，导函数大于 0 求得增区间，导函数小于 0 求得减区间.(2)令 则 ， 在 上有两个零点等价于在 上有两个零点.通过讨论 的情况结合导数求参数范围【详解】 （1） 的定义域为 ，当 时， ， 在 时为减函数；在 时为增函数.（2）记 ，则 在 上单增，且 . . 在 上有两个零点等价于 在 上有两个零点.在 时， 在 上递增，且 ，故 无零点；在 时， 在 上单增，又 ， ，故 在 上只有一个零点；在 时，由 可知 在 时有唯一的一个极小值. .若 ， ， 无零点；若 ， ， 只有一个零点；若 时， ，而 ，由于 在 时为减函数，可知时， .从而 ， 在 和 上各有一个零点 .综上讨
23、论可知： 时 有两个零点，即所求 的取值范围是 .- 18 -【点睛】本题主要考查函数的单调性，根据函数零点个数求参数的取值范围，考查分类讨论思想，以及逻辑推理能力和数学运算的能力.本题的易错点是对实数 分类不准确.请在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. 22.在直角坐标系中，曲线 的参数方程为 （ 为参数） ，直线 的参数方程为（ 为参数）.以原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点 的极坐标为.（1）求点 的直角坐标，并求曲线 的普通方程；（2）设直线 与曲线 的两个交点为 ，求 的值.【答案】(1) 线 的普通方程为 ;(2)6.【解析】试题分析：（
24、1）本问考查极坐标与直角坐标的互化，以及参数方程化普通方程，根据公式，易得 P 点的直角坐标，消去参数 可得曲线 C 的普通方程为 ；（2）本问考查直线参数方程标准形式下 t 的几何意义，将直线 l 的参数方程代入曲线 C 的普通方程，得到关于 t 的一元二次方程，根据几何意义有 ，于是可以求出 的值.试题解析：(1)由极值互化公式知：点 的横坐标 ，点 的纵坐标 ，所以 ，消去参数 的曲线 的普通方程为： .(2)点 在直线 上，将直线的参数方程代入曲线 的普通方程得：，设其两个根为 ， ，所以： ， ，由参数 的几何意义知： .23.2018佛山质检已知函数 ， （1）若 ，求 的取值范围；（2）若 ，对 ，都有不等式 恒成立，求 的取值范围- 19 -【答案】 （1） ；（2） 【解析】试题分析：(1)由题意得到关于实 a 的不等式，然后零点分段求解不等式组可得 的取值范围是 .(2)原问题等价于 ，由二次函数的性质可知 ，由绝对值不等式的性质可得 ，据此求解关于实数 a 的不等式可得 的取值范围是 .试题解析：（1） ，若 ，则 ，得 ，即 时恒成立，若 ，则 ，得 ，即 ，若 ，则 ，得 ，即不等式无解，综上所述， 的取值范围是 .（2）由题意知，要使得不等式恒成立，只需 ，当 时， ，因为 ，所以当 时， ，即 ，解得 ，结合 ，所以 的取值范围是 .
