1、1西藏自治区拉萨中学 2019 届高三第五次月考数学（理）试题第 I 卷（选择题）一、单选题1.已知集合 ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由集合 ， ，知 ，由此可以求出结果.【详解】集合 ，故选 D.【点睛】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集的定义和二元一次方程组的性质的合理运用.2.复数 在复平面内对应的点位于z=(34i)iA. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【答案】D【解析】【分析】直接由复数的乘法运算化简，求出 z 对应点的坐标，则答案可求【详解】复数 .对应的点为 ，位于第四象限.故选 D.z=(34i)
2、i=43i (4,3)【点睛】本题考查复数代数形式的乘法运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题3.有下列四个命题：（1） “若 ，则 ， 互为倒数”的逆命题；xy=1 x y（2） “面积相等的三角形全等”的否命题；（3） “若 ，则 有实数解”的逆否命题；m1 x22x+m=02（4） “若 ，则 ”的逆否命题.AB=B AB其中真命题为（ ）A. （1） （2） B. （2） （3） C. （4） D. （1） （2） （3）【答案】D【解析】【分析】先根据逆命题、否命题、逆否命题定义得命题，再分别判断真假.【详解】 （1） “若 ，则 ， 互为倒数”的逆命题为“若 ， 互为倒
3、数，则 ”，为xy=1 x y x y xy=1真命题；（2） “面积相等的三角形全等”的否命题为“面积不相等的三角形不全等” ，为真命题；（3） “若 ，则 有实数解”的逆否命题为“若 无实数解，m1 x2-2x+m=0 x2-2x+m=0则 ”；因为 ，所以为真命题；m1 =44m1（4）因为“若 ，则 ”为假命题，所以其逆否命题为假命题.AB=B AB综上选 D.【点睛】本题考查命题四种形式以及真假判断，注意命题的否定与否命题区别.4.为了得到函数 的图像，只需把函数 的图像上所有点（ ）y=2sin(x5) y=2sinxA. 向左平行移动 个单位长度 B. 向右平行移动 个单位长度5
4、 5C. 向左平行移动 个单位长度 D. 向右平行移动 个单位长度25 25【答案】B【解析】【分析】由题意利用 y=Asin（x+）的图象变换规律，得出结论【详解】将函数 y=2sinx，xR 的图象上的所有点，向右平行移动 个单位长度，5可得函数 y2sin(x )，xR 的图象，5故选 B【点睛】本题主要考查 y=Asin（x+）的图象变换规律，属于基础题5.某校进行了一次创新作文大赛，共有 100 名同学参赛，经过评判，这 100 名参赛者的得分都在 之间，其得分的频率分布直方图如图，则下列结论错误的是40,903A. 得分在 之间的共有 40 人40,60)B. 从这 100 名参赛
5、者中随机选取 1 人，其得分在 的概率为60,80) 0.5C. 这 100 名参赛者得分的中位数为 65D. 估计得分的众数为 55【答案】C【解析】【分析】根据频率分布直方图，利用最高的小矩形对应的底边中点估计众数；根据频率和为 1，计算 a 的值；计算得分在60，80）内的频率，用频率估计概率即可【详解】根据频率和为 1，计算（a+0.035+0.030+0.020+0.010）10=1，解得 a=0.005，得分在 的频率是 0.40，估计得分在 的有 1000.40=40 人，A 正确；40,60) 40,60)得分在 的频率为 0.5，用频率估计概率，60,80)知这 100 名男
6、生中随机抽取一人，得分在 的概率为 ，B 正确60,80)12根据频率分布直方图知，最高的小矩形对应的底边中点为 ，估计众数为50+602 =5555，D 正确；故选 C.【点睛】本题考查了频率分布直方图，频率、频数与众数的计算问题6.已知等差数列 的公差为 2，前 项和为 ，且 ，则 的值为an n Sn S10=100 a7A. 11 B. 12 C. 13 D. 14【答案】C【解析】【分析】利用等差数列通项公式及前 n 项和公式，即可得到结果.【详解】等差数列 的公差为 2，且 ，an S10=1004 S10=10a1+1092 2=100 a1=1 .a7=1+(7-1)2=13故
7、选：C【点睛】本题考查了等差数列的通项公式及前 n 项和公式，考查计算能力，属于基础题.7.中心在原点，对称轴为坐标轴的双曲线 的两条渐近线与圆 都相切，则双C (x2)2+y2=1曲线 的离心率是（ ）CA. 2 或 B. 2 或 C. 或 D. 或233 3 3 62 233 62【答案】A【解析】【分析】根据题意，由圆的切线求得双曲线的渐近线的方程，再分焦点在 x、y 轴上两种情况讨论，进而求得双曲线的离心率【详解】设双曲线 C 的渐近线方程为 y=kx，是圆的切线得： ，|2k|k2+1 1，k=33得双曲线的一条渐近线的方程为 焦点在 x、y 轴上两种情况讨论：y=33当焦点在 x
8、轴上时有： ba 33，e=ca 32+33 =233；当焦点在 y 轴上时有： ab 33，e=ca 32+33 =2；求得双曲线的离心率 2 或 233故选：A【点睛】本小题主要考查直线与圆的位置关系、双曲线的简单性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想解题的关键是：由圆的切线求得直线 的方程，再由双曲线中渐近线的方程的关系建立等式，从而解出双曲线的离心率的值此题易忽视两解得出错误答案8.函数 的图象大致为（ ）f(x)=ln|x|+x2x5A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由题意结合函数的解析式排除错误选项即可确定函数的图像.【详解】当 时， ，则 ，x0 f(
9、x)=lnx+x2x f(x)=2x2x+1x由于 恒成立，故 ，函数 在区间 上单调递增，据此排除选项2x2x+10 f(x)0 f(x) (0,+)D；当 时， ，则 ，x0 f(x)=ln(x)+x2x f(x)=2x2x+1x由于 恒成立，故 ，函数 在区间 上单调递减，据此排除选项2x2x+10 f(x)6 f(1)=2 f(x)31x2A. B. x|x1 x|12 x|23-1x2 (x)g(1),x06当 时， ,x0 g(x)=2xf(x)+x2f(x)6x=x(2f(x)+xf(x)6)0而 ,g(x)=x2f(x)3x2=g(x)所以 g 等价于 g ， ， 选 A.(x
10、)g(1) (|x|)g(1) |x|1 x1，【点睛】利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造. 构造辅助函数常根据导数法则进行：如 构造 ，f(x)0) D AB沿直线 翻折，若在翻折过程中存在某个位置，使得 ，则 的取值范围是（ BCD CD CBAD x）A. B. C. D. (22,2) 3,23 (0,2) (0, 3【答案】D【解析】8【分析】由已知条件推导出， ，BC=x，取 BC 中点 E，翻折前 ，AD=CD=BD=x2+12 DE=12AC=12翻折后 ，从而求出 翻折后，当B 1CD 与ACD 在一个AE= 114x2，AD=x2
11、+12 0 x 3平面上，A=60，BC=ACtan60，此时 ，由此能求出 x 的取值范围为x=1 3 3（0， 3【详解】由题意得， ，BC=x，取 BC 中点 E，AD=CD=BD=x2+12翻折前，在图 1 中，连接 DE，CD，则 ，DE=12AC=12翻折后，在图 2 中，此时 CBADBCDE，BCAD，BC平面 ADE，BCAE，DEBC，又 BCAE，E 为 BC 中点，AB=AC=1， ，AE= 114x2，AD=x2+12在ADE 中： ， ， x0；x2+12 +12 114x2 x2+12 14.已知函数 ，则 _f(x)= 2x2,x0f(x2)+1,x0 f(20
12、19)=【答案】 1010【解析】【分析】当 时， ，可得x0 f(x)=f(x-2)+1,，由此可求 .f(2019)=f(2017)+1=f(2015)+2=.=f(1)+1009=f(1)+1010, f(2019)【详解】当 时， ，x0 f(x)=f(x-2)+1,则 f(2019)=f(2017)+1=f(2015)+2=.=f(1)+1009=f(1)+1010,而 f(1)=2(1)2=0,故 f(2019)=1010,即答案为 2010【点睛】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用15.已知数列 ，若数列 的前 项和 ，则 的值为_.an 3
13、n1an n Tn=156n15 a510【答案】16【解析】【分析】利用前 n 项和公式可得第五项的值.【详解】数列 的前 项和 ，3n-1an n Tn=156n-15 =35-1a5=T5-T4=(1565-15)-(1564-15)=15(65-64) 64 ，a5=6434=24=16故答案为：16【点睛】本题考查由前 n 项和公式求项值，考查计算能力，解题关键是理解前 n 项和与项的关系.16.已知正三棱柱 的高为 ，点 为棱 的中点，则四棱锥ABCA1B1C1 6,AB=4 D BB1的表面积是_CA1ABD【答案】 239+43+36【解析】【分析】由题意逐一求解四棱锥各个面的
14、面积，然后求解其表面积即可.【详解】由题意结合棱锥的性质可得：， ，SABD1A=12(3+6)4=18SABC=1244sin60=43, ,SACA1=1246=12SBCD=1243=6由勾股定理可得： ， ， ,A1D= 32+42=5 CD= 32+42=5 A1C= 42+62= 52故 是等腰三角形，其底边 上的高 ，A1CD A1C h= CD2(12A1C)2= 12其面积 ，SA1CD=12A1Ch=12 52 12=239据此可得其表面积为： .S=18+43+12+6+239=239+43+36【点睛】本题主要考查椎体的空间结构特征，椎体的表面积计算方法等知识，意在考查
15、学生的转化能力和计算求解能力.三、解答题1117.公差不为零的等差数列 的前 n 项和为 ,若 ,且 成等比数列.an Sn S3=9 a1,a2,a5（1）求数列 的通项公式；an（2）设 是首项为 1,公比为 2 的等比数列,求数列 的通项公式及其前 n 项和为 。bnan bn Tn【答案】 （1） ；（2 ） .an=2n1 2n1+n2【解析】【分析】（1）利用等差数列的前 项和公式可得 ，根据等比数列可得 ，列出关于 和n a2=3 a22= a1a5 a1的方程，解出即可得 的通项公式；（2）先求出 的通项公式，根据分组求和法求其d an bn前 项和.n【详解】 （1）由 ，得
16、 S3=9 a1+a2+a3=9a2=3又 成等比数列， ，a1 ,a2 ,a5 a22= a1a5即 ，a22= (a2-d) (a2+3d)d2-2d=0解得 或 （舍去） ， ，故 d=2 d=0 a1=a2-d=1 an=2n-1（2）由题意 ，所以 ， bn-an=2n-1 bn=2n-1+an=2n-1+2n-1所以 Tn=(1+2+22+2n-1)+1+3+5+(2n-1)=1-2n1-2+n2n2 =2n-1+n2【点睛】本题主要考查了等差数列，等比数列的概念，以及数列的求和，属于高考中常考知识点，难度不大；常见的数列求和的方法有公式法即等差等比数列求和公式，分组求和类似于 ，
17、其中 和 分别为特殊数列，裂项相消法类似于 ，错位相cn=an+bn an bn an=1n(n+1)减法类似于 ，其中 为等差数列， 为等比数列等.cn=anbn an bn18. 的内角 所对的边分别为 ,且满足 .ABC A,B,C a,b,ccosCcosA+2c+3b2a =0()求 的值；cosA()若 外接圆半径为 ,求 的面积.ABC 3,b+c=26 ABC12【答案】 （1） （2）cosA=23 5【解析】【分析】（1）由 及正弦定理得cosCcosA+2c+3b2a =0 2sinAcosC+2cosAsinC+3cosAsinB=0从而 ,利用诱导公式结合 ,可求出
18、的值；（）由2sin(A+C)+3cosAsinB=0 sinB0 cosA正弦定理得 ，再由余弦定理及 ，配方化简可得 ，由三角a=2RsinA=25 b+c=26 bc=6形面积公式可得结果.【详解】 （）由 及正弦定理得cosCcosA+2c+3b2a =02sinAcosC+2cosAsinC+3cosAsinB=0从而 即2sin(A+C)+3cosAsinB=0 2sinB+3cosAsinB=0又 中 , . ABC sinB0 cosA=-23（） 外接圆半径为 3, ,由正弦定理得 ABC sinA=53 a=2RsinA=25再由余弦定理 ,及a2=b2+c2-2bccos
19、A=(b+c)2-2(1+cosA)bc b+c=26得 bc=6 的面积 .ABC S=12bcsinA=12653= 5【点睛】以三角形为载体，三角恒等变换为手段，正弦定理、余弦定理为工具，对三角函数及解三角形进行考查是近几年高考考查的一类热点问题，一般难度不大，但综合性较强.解答这类问题，两角和与差的正余弦公式、诱导公式以及二倍角公式，一定要熟练掌握并灵活应用，特别是二倍角公式的各种变化形式要熟记于心.19.如图所示，四棱锥 中， 底面 ， ， ，S-ABCD SA ABCD ABC=900 SA=2，AB= 3， ， ， 为 的中点.BC=1 AD=23 ACD=600 E CD13（
20、1）求证： 平面 ；BC/ SAE（2）求直线 与平面 所成角的正弦值.SD SBC【答案】 （1）见解析； （2） .217【解析】【分析】（1）在 中，由余弦定理可解得：ACD CD=4所以 ，所以 是直角三角形，AC2+AD2=CD2 ACD又 为等边三角形，所以 ，所以 ，即可证明 平面可 证 ACE CAE=600=BCA BC/AE BC/；SAE（2）：由（1）可知 ，以点 为原点，以 , ， 所在直线分别为 轴， 轴，BAE=900 A ABAE AS x y轴建立空间直角坐标系，利用空间向量可求直线 与平面 所成角的正弦值.SD SBC【详解】 （1）证明：因为 ， ， ，A
21、B= 3 BC=1 ABC=900所以 ， ，AC=2 BCA=600在 中， ， ， ，ACD AD=23 AC=2 ACD=600由余弦定理可得： AD2=AC2+CD2-2ACCDcosACD解得： CD=4所以 ，所以 是直角三角形，AC2+AD2=CD2 ACD又 为 的中点，所以E CD AE=12CD=CE又 ，所以 为等边三角形，ACD=600 ACE所以 ，所以 ，CAE=600=BCA BC/AE又 平面 ， 平面 ，AE SAE BC SAE所以 平面 .BC/ SAE（2）解：由（1）可知 ，以点 为原点，以 , ， 所在直线分别为 轴，BAE=900 A ABAE A
22、S x轴，轴建立空间直角坐标系，则 ， ， ， .y S(0,0,2) B( 3,0,0) C( 3,1,0) D(- 3,3,0)所以 ， ， .SB=( 3,0,-2) SC=( 3,1,-2) SD=(- 3,3,-2)14设 为平面 的法向量，则 ，即n=(x,y,z) SBC nSB=0nSC=0 3x-2z=03x+y-2z=0 设 ，则 ， ，即平面 的一个法向量为 ，x=1 y=0 z=32 SBC n=(1,0, 32)所以cos=nSD|n|SD|= -237416=- 217所以直线 与平面 所成角的正弦值为 .SD SBC217【点睛】不妨考查线面平行的证明以及利用空间
23、向量求线面角，属中档题.20.已知椭圆 的中心在原点 ，直线 与坐标轴的交点是椭圆 的两个顶点.C O l:x+ 3y3=0 C（1）求椭圆 的方程；C（2）若 是椭圆 上的两点，且满足 ，求 的最小值.M,N C OMON=0 |MN|【答案】 （1） ； （2） .x23+y2=1 3【解析】【分析】（1）因为 与 轴交点为 ，与 轴交点为 ，l:x+ 3y- 3=0 x ( 3,0) y (0,1)又直线与坐标轴交点为椭圆 的顶点，即可求得 a,b,进而得到椭圆 的方程；C C（2）由题意知 M、N 是椭圆 上的两点，且 OMON，故设 M（r 1cos，r 1sin） ，x23+y2=
24、1N（-r 2sin，r 2cos） ，由题设条件能够推出|MN|的最小值为 3【详解】 （1）因为 与 轴交点为 ，与 轴交点为 ，l:x+ 3y- 3=0 x ( 3,0) y (0,1)又直线与坐标轴交点为椭圆 的顶点，C所以椭圆的顶点为 ， ，( 3,0) (0,1)故所求椭圆方程为x23+y2=1（2）由题意知 是椭圆 上的两点，且 ，故设 ，M,Nx23+y2=1 OMON M(r1cos,r1sin)，其中 ， ，N(-r2sin,r2cos) r1=|OM| r2=|ON|于是 ， ，r21(cos23 +sin2)=1 r22(sin23 +cos2)=1从而 .1r21+1
25、r22=13+1=43又 （当且仅当 时取等号）(r21+r22)(1r21+1r22)=2+r21r22+r22r214 r1=r215所以 ，即 ， .|MN|2434 |MN|23 |MN| 3故所求 的最小值为 .|MN| 3【点睛】本题考查直线的圆锥曲线的位置关系，解题时要认真审题，仔细解答21.已知函数 .f(x)=xlnx（1）求曲线 在点 处的切线方程；y=f(x) (1,f(1)（2）设 ，证明： .ba0 00 ln41+ba+balnba1+ba1由于 ，f(a)+f(b)-2f(a+b2)=alna+blnb-2a+b2lna+b2 =aln2aa+b+bln2aa+b
26、等价于 ，令 ，f(a)+f(b)-2f(a+b2)0 ln21+ba+baln2(ba)1+ba0 x=ba1设函数 F(x)=ln21+x+xln21+x(x1),F(x)=ln2-ln(1+x)+xln2x-xln(1+x)=ln2x1+x当 时， ，所以 ，x12x1+x1 F(x)0所以 在 上是单调递增函数，又 ，F(x) (1,+) F(1)=0所以 ，F(x)0(x1)所以 ，即F(ba)0 f(a)+f(b)-2f(a+b2)0等价于 ，f(a)+f(b)-2f(a+b2)1设函数 g(x)=ln41+x+xlnx1+x(x1),g(x)=ln4-ln(1+x)+xlnx-x
27、ln(1+x)=lnx1+x当 时， ，所以 ，x1 01)所以 ，即g(ba)0 f(a)+f(b)-2f(a+b2)(b-a)ln2综上可得： .0f(a)+f(b)-2f(a+b2)(b-a)ln2【点睛】利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1) 构造差函数 .根据差h(x)=f(x)-g(x)函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.（2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.在平面直角坐
28、标系 中，曲线 的参数方程为 （为参数） ，在以坐标原点为极点，xOy P x=t24y=t轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 的方程为 .x C 28cos+15=0（1）求曲线 的普通方程和曲线 的直角坐标方程；P C（2）点 为曲线 上的动点， 为曲线 上的动点，求 的最小值.M P N C |MN|【答案】 （1） ， ；（2） .y2=4x (x4)2+y2=1 |MC|minr=231【解析】【分析】（1）运用代入法可化简直线方程为普通方程，运用 x=cos，x 2+y2= 2可化极坐标方程为直角坐标方程；（2）由（1）知，圆 的圆心 ，半径C C(4,0) r=1由抛物线的参数方
29、程，设点 M(t24,t)则 可求最小值|MC|= (t24-4)2+(t-0)2=14(t2-8)2+19217【详解】 （1）将曲线 的参数方程消去参数，得 ，P y2=4x将 ， 代入曲线 的极坐标方程得 ，即 .2=x2+y2 x=cos C x2-8x+y2+15=0 (x-4)2+y2=1（2）由（1）知，圆 的圆心 ，半径C C(4,0) r=1由抛物线的参数方程，设点 M(t24,t)则 |MC|= (t24-4)2+(t-0)2= 116t4-t2+16=14(t2-8)2+192所以当 即 时， 取得最小值 ，t2=8 t=22 |MC|14192=23此时 的最小值为 .|MN| |MC|min-r=23-1【点睛】本题考查参数方程和极坐标方程与普通方程的互化，考查直线和圆的位置关系，考查两点的距离公式及运用，属于中档题23.已知函数 .f(x)=|2x-1|+|2x+1|（1）求函数 的最小值 ；f(x) m（2）若正实数 满足 ，求证： .a,b1a+1b= 3 1a2+2b2m【答案】 （1）2（2）见解析【解析】试题分析：（1）根据绝对值三角不等式得到最值；（2）由柯西不等式得到。解析：（1） 当且仅当 时，等式成立.（2） 则当且仅当 时取，等号成立.
