1、- 1 -第 6 节 向心力一、 向心力1向心力(1)定义：做匀速圆周运动的物体受到指向圆心的合力。(2)方向：始终指向圆心，与线速度方向垂直。(3)公式：Fn m 或 Fn m 2r。v2r(4)效果力向心力是根据力的作用效果来命名的，凡是产生向心加速度的力，不管属于哪种性质，都是向心力。2实验验证(1)装置：细线下面悬挂一个钢球，用手带动钢球使它在某个水平面内做匀速圆周运动，组成一个圆锥摆，如图所示。1做匀速圆周运动的物体受到了指向圆心的合力，这个合力叫向心力，它是产生向心加速度的原因。2向心力的大小为 Fnm m 2r，向心力的方向始v2r终指向圆心，与线速度方向垂直。3向心力可能等于合
2、外力，也可能等于合外力的一个分力，向心力是根据效果命名的力。4可把一般的曲线运动分成许多小段，每一小段按圆周运动处理。- 2 -(2)求向心力：可用 Fn m 计算钢球所受的向心力。v2r可计算重力和细线拉力的合力。(3)结论：代入数据后比较计算出的向心力 Fn和钢球所受合力 F 的大小，即可得出结论：钢球需要的向心力等于钢球所受外力的合力。二、 变速圆周运动和一般的曲线运动1变速圆周运动变速圆周运动所受合外力一般不等于向心力，合外力一般产生两个方面的效果：(1)合外力 F 跟圆周相切的分力 Ft，此分力产生切向加速度 at，描述线速度大小变化的快慢。(2)合外力 F 指向圆心的分力 Fn，此
3、分力产生向心加速度 an，向心加速度只改变速度的方向。2一般曲线运动的处理方法一般曲线运动，可以把曲线分割成许多很短的小段，每一小段可看作一小段圆弧。圆弧弯曲程度不同，表明它们具有不同的半径。这样，质点沿一般曲线运动时，可以采用圆周运动的分析方法进行处理。1自主思考判一判(1)向心力既可以改变速度的大小，也可以改变速度的方向。()(2)物体做圆周运动的速度越大，向心力一定越大。()(3)向心力和重力、弹力一样，是性质力。()(4)圆周运动中指向圆心的合力等于向心力。()(5)圆周运动中，合外力等于向心力。()(6)向心力产生向心加速度。()2合作探究议一议(1)如图所示，物体在圆筒壁上随筒壁一
4、起绕竖直转轴匀速转动，试问：物体受几个力作用？向心力由什么力提供？- 3 -提示：物体受三个力，分别为重力、弹力和摩擦力。物体做匀速圆周运动，向心力等于以上三个力的合力，由于重力与摩擦力抵消，实际上向心力仅由弹力提供。(2)荡秋千是小朋友很喜欢的游戏，当秋千由上向下荡下时，此时小朋友做的是匀速圆周运动还是变速圆周运动？绳子拉力与重力的合力指向悬挂点吗？提示：秋千荡下时，速度越来越大，做的是变速圆周运动。由于秋千做变速圆周运动，合外力既有指向圆心的分力，又有沿切向的分力，所以合力不指向悬挂点。(3)列车匀速驶入如图所示的圆弧弯道时，列车所受的合力是否为零？若不为零方向怎样？提示：列车匀速驶入圆弧
5、弯道时做匀速圆周运动，由合外力提供向心力，则列车所受的合力指向圆心，即指向轨道内侧。对向心力的理解1向心力的大小Fn man m m 2r mv 。v2r对于匀速圆周运动，向心力大小始终不变，但对非匀速圆周运动(如用一根绳拴住小球绕固定圆心在竖直平面内做的圆周运动)，其向心力大小随速率 v 的变化而变化，公式表述的只是瞬时值。2向心力的方向- 4 -无论是否为匀速圆周运动，其向心力总是沿着半径指向圆心，方向时刻改变，故向心力是变力。3向心力的作用效果由于向心力始终指向圆心，其方向与物体运动方向始终垂直，故向心力不改变线速度的大小，只改变线速度的方向。1下列关于向心力的说法中，正确的是( )A做
6、匀速圆周运动的质点会产生一个向心力B做匀速圆周运动的质点所受各力中包括一个向心力C做匀速圆周运动的质点所受各力的合力提供向心力D做匀速圆周运动的质点所受的向心力大小是恒定不变的解析：选 C 向心力是质点做圆周运动所需要的力，不是做圆周运动的质点产生的力，故 A 错误；质点做匀速圆周运动需要的向心力并不是质点实际受到的力，而是其他力的合力提供向心力，故 B 错误、C 正确；向心力是效果力，不能说成质点受到的力，故 D 错误。2一圆盘可绕通过圆盘中心 O 且垂直于盘面的竖直轴转动。在圆盘上放置一小木块 A，它随圆盘一起做加速圆周运动(如图所示)，则关于木块 A 的受力，下列说法正确的是( )A木块
7、 A 受重力、支持力和向心力B木块 A 受重力、支持力和静摩擦力，摩擦力的方向指向圆心C木块 A 受重力、支持力和静摩擦力，摩擦力的方向与木块运动方向相反D木块 A 受重力、支持力和静摩擦力，摩擦力沿半径方向的分力提供向心力解析：选 D 木块随圆盘做加速圆周运动，摩擦力沿半径方向的分力提供向心力，摩擦力沿切线方向的分力改变速度的大小。所以两个分力合成后的合力不沿半径方向，不指向圆心，只有 D 项正确。3. 多选如图所示，用长为 L 的细线拴住一个质量为 M 的小球，使小球在水平面内做匀速圆周运动，细线与竖直方向的夹角为 ，关于小球的受力情况，下列说法中正确的是( )A小球受到重力、线的拉力和向
8、心力三个力B向心力是线对小球的拉力和小球所受重力的合力C向心力的大小等于细线对小球拉力的水平分量- 5 -D向心力的大小等于 Mgtan 解析：选 BCD 对于匀速圆周运动，向心力是物体实际受到的所有力的指向圆心的合力，受力分析时不能再说物体又受到向心力，故 A 错误，B 正确。再根据力的合成求出合力大小，故 C、D 正确。匀速圆周运动的特点及解题方法1质点做匀速圆周运动的条件合力的大小不变，方向始终与速度方向垂直且指向圆心。匀速圆周运动是仅速度的方向变化而速度大小不变的运动，所以只存在向心加速度，因此向心力就是做匀速圆周运动的物体所受的合力。2匀速圆周运动的三个特点(1)线速度大小不变、方向
9、时刻改变。(2)角速度、周期、频率都恒定不变。(3)向心加速度和向心力的大小都恒定不变，但方向时刻改变。3分析匀速圆周运动的步骤(1)明确研究对象，对研究对象进行受力分析，画出受力示意图。(2)将物体所受外力通过力的正交分解，分解到沿切线方向和沿半径方向。(3)列方程：沿半径方向满足 F 合 1 mr 2 m ，沿切线方向 F 合 20。v2r 4 2mrT2(4)解方程求出结果。4几种常见的匀速圆周运动实例图形 受力分析 力的分解方法 满足的方程及向心加速度Error!或 mgtan m 2lsin an gtan Error!或 mgtan mr 2an gtan Error!或 mgta
10、n mr 2an gtan - 6 -Error!an 2r典例 图 566 甲为游乐园中“空中飞椅”的游戏设施，它的基本装置是将绳子上端固定在转盘的边缘上，绳子的下端连接座椅，人坐在座椅上随转盘旋转而在空中飞旋。若将人和座椅看成一个质点，则可简化为如图乙所示的物理模型，其中 P 为处于水平面内的转盘，可绕竖直转轴 OO转动，设绳长 l10 m，质点的质量 m60 kg，转盘静止时质点与转轴之间的距离 d4.0 m，转盘逐渐加速转动，经过一段时间后质点与转盘一起做匀速圆周运动，此时绳与竖直方向的夹角 37，不计空气阻力及绳重，且绳不可伸长，sin 370.6, cos 370.8， g10 m
11、/s 2，求质点与转盘一起做匀速圆周运动时：图 566(1)绳子拉力的大小；(2)转盘角速度的大小。思路点拨 (1)质点在水平面内做匀速圆周运动，在竖直方向上合力为零。(2)质点到竖直轴 OO间的距离为小球圆周运动的半径。解析 (1)如图所示，对人和座椅进行受力分析，图中 F 为绳子的拉力，在竖直方向：Fcos 37 mg0解得 F 750 N。mgcos 37(2)人和座椅在水平面内做匀速圆周运动，重力和绳子拉力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律有 mgtan 37 m 2RR d lsin 37- 7 -联立解得 rad/s。gtan 37d lsin 37 32答案 (1)750 N (
12、2) rad/s32匀速圆周运动解题策略在解决匀速圆周运动的过程中，要注意以下几个方面：(1)知道物体做圆周运动轨道所在的平面，明确圆心和半径是解题的一个关键环节。(2)分析清楚向心力的来源，明确向心力是由什么力提供的。(3)根据线速度、角速度的特点，选择合适的公式列式求解。1未来的星际航行中，宇航员长期处于零重力状态，为缓解这种状态带来的不适，有人设想在未来的航天器上加装一段圆柱形“旋转舱” ，如图所示。当旋转舱绕其轴线匀速旋转时，宇航员站在旋转舱内圆柱形侧壁上，可以受到与他站在地球表面时相同大小的支持力。为达到上述目的，下列说法正确的是( )A旋转舱的半径越大，转动的角速度就应越大B旋转舱
13、的半径越大，转动的角速度就应越小C宇航员质量越大，旋转舱的角速度就应越大D宇航员质量越大，旋转舱的角速度就应越小解析：选 B 旋转舱对宇航员的支持力提供宇航员做圆周运动的向心力，即 mg m 2r，解得 ，即旋转舱的半径越大，角速度越小，而且与宇航员的质量无关，选项 B 正确。gr2多选如图所示，质量相等的 A、 B 两物体紧贴在匀速转动的 圆筒的竖直内壁上，随圆筒一起做匀速圆周运动，则下列关系中正确的 有( )A线速度 vAvBB运动周期 TATBC它们受到的摩擦力 fAfBD筒壁对它们的弹力 NANB解析：选 AD 因为两物体做匀速圆周运动的角速度相等，又 rArB, 所以vA rA vB
14、 rB ，选项 A 正确；因为 相等，所以周期 T 相等，选项 B 错误；因竖直方向- 8 -物体受力平衡，有 f mg，故 fA fB，选项 C 错误；筒壁对物体的弹力提供向心力，所以NA mrA 2NB mrB 2，选项 D 正确。3.如图所示，一轴竖直的锥形漏斗，内壁光滑，内壁上有两个质量不相同的小球 A、 B各自在不同的水平面内做匀速圆周运动，已知 mANB解析：选 C 设漏斗内壁母线与水平方向的夹角为 。以任意一个小球为研究对象，分析受力情况：受重力 mg 和漏斗内壁的支持力 N，它们的合力提供向心力，如图所示，则根据牛顿第二定律得： mgtan m ，得到 vv2r， 一定，则 v
15、 与 成正比， A 球做圆周运动的半径大于 B 球做圆grtan r周运动的半径，所以 vA vB，故 A 错误；角速度 ，则角速度 与 成反比，vr gtan r r所以角速度 A B，故 B 错误；向心加速度 a gtan ，与半径 r 无关，Fnm mgtan m故 aA aB，故 C 正确；漏斗内壁对小球的支持力 N ， 相同， mA mB，则 NA NB，mgcos 故 D 错误。变速圆周运动和一般曲线运动问题典例 一根长为 0.8 m 的绳子，当受到 7.84 N 的拉力时被拉断。若在此绳的一端拴一个质量为 0.4 kg 的物体，使物体以绳子的另一端为圆心在竖直面内做圆周运动，当物
16、体运动到最低点时绳子恰好断裂。求物体运动至最低点时的角速度和线速度大小。审题指导 - 9 -(1)物体运动到最低点时是绳子的拉力和物体重力的合力提供向心力。(2)绳子恰好断裂时，绳子的拉力大小为 7.84 N。解析 当物体运动到最低点时，物体受重力 mg、绳子拉力 FT，根据牛顿第二定律得FT mg ma m 2r，又由牛顿第三定律可知，绳子受到的拉力和绳子拉物体的力大小相等，绳子被拉断时受到的拉力为 FT7.84 N，故 FT7.84 N。所以，绳子被拉断时物体的角速度为 rad/sFT mgmr 7.84 0.49.80.40.83.5 rad/s，物体的线速度为 v r 3.50.8 m
17、/s2.8 m/s。答案 3.5 rad/s 2.8 m/s(1)物体做非匀速圆周运动时，在任何位置均是沿半径指向圆心的合力提供向心力。(2)物体做一般曲线运动时，在每段小圆弧处仍可按圆周运动规律进行处理。1. 多选)如图所示，一小球用细绳悬挂于 O 点，将其拉离竖直位置一个角度后释放，则小球以 O 点为圆心做圆周运动，运动中小球所需的向心力是( )A绳的拉力B重力和绳拉力的合力C重力和绳拉力的合力沿绳方向的分力D绳的拉力和重力沿绳方向分力的合力解析：选 CD 如图所示，对小球进行受力分析，它受重力和绳子 拉力的作用，向心力是指向圆心方向的合力。因此，可以说是小球所受 合力沿绳方向的分力，也可
18、以说是各力沿绳方向的分力的合力，选C、D。2如图所示，质量为 m 的物体，沿半径为 r 的圆轨道自 A 点滑下， A 与圆心 O 等高，滑- 10 -至 B 点( B 点在 O 点正下方)时的速度为 v。已知物体与轨道间的动摩擦因数为 ，求物体在B 点所受的摩擦力。解析：物体由 A 滑到 B 的过程中，受到重力、轨道弹力及摩擦力的作 用，做圆周运动。物体在 B 点的受力情况如图所示，其中轨道弹力 FN与重力G mg 的合力提供物体做圆周运动的向心力，由牛顿第二定律得 FN mg mv2r，得 FN mg ，则滑动摩擦力为 Ff F N m 。mv2r (g v2r)答案： m (gv2r)1关
19、于做匀速圆周运动物体的向心力，下列说法正确的是( )A向心力是一种性质力B向心力与速度方向不一定始终垂直C向心力只能改变线速度的方向D向心力只改变线速度的大小解析：选 C 物体做匀速圆周运动需要一个指向圆心的合外力，向心力是根据力的作用效果命名的，故 A 错误；由于向心力指向圆心，与线速度方向始终垂直，所以它的效果只是改变线速度方向，不会改变线速度大小，故 B、D 错误，C 正确。2一只小狗拉雪橇沿位于水平面的圆弧形道路匀速行驶，如图所示画出了雪橇受到牵引力 F 和摩擦力 Ff可能方向的示意图，其中表示正确的图是( )解析：选 D 因小狗拉雪橇使其在水平面内做匀速圆周运动，所以雪橇所受的力的合
20、力应指向圆心，故 A 错误，B 错误；又因雪橇所受的摩擦力 Ff应与相对运动方向相反，即沿圆弧的切线方向，所以 D 正确，C 错误。3.如图所示，一小球套在光滑轻杆上，绕着竖直轴 OO匀速转动，下列关于小球受力的说法中正确的是( )- 11 -A小球受到离心力、重力和弹力B小球受到重力和弹力C小球受到重力、弹力、向心力D小球受到重力、弹力、下滑力解析：选 B 小球做圆周运动，受到重力和弹力作用，两个力的合力充当做圆周运动的向心力，故 B 正确。4.如图所示，在匀速转动的圆筒内壁上，有一物体随圆筒一起转动而未滑动。当圆筒的角速度增大以后，物体仍然随圆筒一起匀速转动而未滑动，则下列说法正确的是(
21、)A物体所受弹力增大，摩擦力也增大了B物体所受弹力增大，摩擦力减小了C物体所受弹力和摩擦力都减小了D物体所受弹力增大，摩擦力不变解析：选 D 物体随圆筒一起匀速转动时，受到三个力的作用：重力 G、 筒壁对它的弹力 FN和筒壁对它的摩擦力 F1(如图所示)。其中 G 和 F1是一对平衡 力，筒壁对它的弹力 FN提供它做匀速圆周运动的向心力。当圆筒匀速转动时，不管 其角速度多大，只要物体随圆筒一起匀速转动而未滑动，则物体所受的摩擦力 F1大小等于其重力。而根据向心力公式 FN m 2r 可知，当角速度 变大时， FN也变大，故 D 正确。5如图所示，在光滑杆上穿着两个小球 m1、 m2，且 m12
22、 m2，用细线把两球连起来，当杆匀速转动时，两小球刚好能与杆保持无相对滑动，此时两小球到转轴的距离 r1与 r2之比为( )A11 B1 2C21 D12解析：选 D 两个小球绕共同的圆心做圆周运动，它们之间的拉力互为向心力，角速度相同。设两球所需的向心力大小为 Fn，角速度为 ，则：- 12 -对球 m1 Fn m1 2r1，对球 m2 Fn m2 2r2，由上述两式得 r1 r2126.如图所示，物体 A、 B 随水平圆盘绕轴匀速转动，物体 B 在水平方向所受的作用力有( )A圆盘对 B 及 A 对 B 的摩擦力，两力都指向圆心B圆盘对 B 的摩擦力指向圆心， A 对 B 的摩擦力背离圆心
23、C圆盘对 B 及 A 对 B 的摩擦力和向心力D圆盘对 B 的摩擦力和向心力解析：选 B 以 A 为研究对象， B 对 A 的静摩擦力指向圆心，提供 A 做圆周运动的向心力，根据牛顿第三定律， A 对 B 有背离圆心的静摩擦力；以整体为研究对象，圆盘对 B 一定施加沿半径向里的静摩擦力，B 项正确。7.如图所示，一轨道由 圆弧和水平部分组成，且连接处光滑。质量为 m 的滑块与轨道14间的动摩擦因数为 。在滑块从 A 滑到 B 的过程中，受到的摩擦力的最大值为 Ff，则( )A Ff mg B Ffmg D无法确定 Ff的值解析：选 C 当滑块刚要滑到水平轨道部分时，滑块对轨道的压力大于 mg，
24、故此时的滑动摩擦力 Ffmg ，C 正确。8.多选有一种杂技表演叫“飞车走壁” ，由杂技演员驾驶摩托车沿圆台形表演台的侧壁高速行驶，做匀速圆周运动。如图所示，图中虚线表示摩托车的行驶轨迹，轨迹离地面的高度为 h，下列说法中正确的是( )A h 越高，摩托车对侧壁的压力将越大B h 越高，摩托车做圆周运动的线速度将越大C h 越高，摩托车做圆周运动的周期将越大D h 越高，摩托车做圆周运动的向心力将越大解析：选 BC 摩托车做匀速圆周运动，提供圆周运动的向心力是重力- 13 -mg 和支持力 F 的合力，受力分析如图所示。侧壁对摩托车的支持力 F 不变，则摩托mgcos 车对侧壁的压力不变，故
25、A 错误；向心力 Fn mgtan ， m 和 不变，向心力大小不变，故D 错误；根据 Fn m ， h 越高， r 越大， Fn不变，则 v 越大，故 B 正确；根据v2rFn mr ， h 越高， r 越大， Fn不变，则 T 越大，故 C 正确。4 2T29.摆式列车是集电脑、自动控制等高新技术于一体的新型高速列车，如图所示。当列车转弯时，在电脑控制下，车厢会自动倾斜，抵消离心力的作用。行走在直线上时，车厢又恢复原状，就像玩具“不倒翁”一样。假设有一超高速列车在水平面内行驶，以 100 m/s 的速度拐弯，拐弯半径为 500 m，则质量为 50 kg 的乘客，在拐弯过程中所受到的火车给他
26、的作用力为( g 取 10 m/s2)( )A500 N B500 N5 2C1 000 N D0 解析：选 A 根据牛顿第二定律得： F 合 m 50 N1 000 N，根据平行四边v2R 10 000500形定则知火车给乘客的作用力： N N500 N，故 A 正确， mg 2 F2合 5002 1 0002 5B、C、D 错误。10.如图所示，一倾斜的匀质圆盘绕垂直于盘面的固定对称轴以恒定的角速度 转动，盘面上离转轴距离 2.5 m 处有一小物体与圆盘始终保持相对静止，物体与盘面间的动摩擦因数为 。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，盘面与水平面间的夹角为 30， g 取 10 m/s2。32
27、则 的最大值为( )A. rad/s B. rad/s5 3C1.0 rad/s D0.5 rad/s解析：选 C 当物体在圆盘上转到最低点，所受的静摩擦力沿斜面向上达到最大时，角速度最大，由牛顿第二定律得： mg cos mgsin m 2r, 代入数据解得： 1.0 rad/s，选项 C 正确，A、B、D 错误。- 14 -11.利用如图所示的方法测定细线的抗拉强度。在长为 L 的细线下端悬挂一个质量不计的小盒，小盒的左侧开一孔，一个金属小球从斜轨道上释放后，水平进入小盒内，与小盒一起向右摆动。现逐渐增大金属小球在轨道上释放时的高度，直至摆动时细线恰好被拉断，并测得此时金属小球与盒一起做平
28、抛运动的竖直位移 h 和水平位移 x，若小球质量为 m，试求：(1)金属小球做平抛运动的初速度为多少？(2)该细线的抗拉断张力为多大？解析：(1)细线被拉断后，由平抛知识得 h gt2， x v0t，12则小球做平抛运动的初速度 v0 x 。g2h(2)拉断瞬间由牛顿第二定律可得FT mg ，mv20L则细线的抗拉断张力 FT mg 。(1x22hL)答案：(1) x (2) mgg2h (1 x22hL)12.在一根长为 L 的不计质量的细杆中点和末端各连一质量为 m 的小球 B 和 C，如图所示，杆可以在竖直平面内绕固定点 A 转动，将杆拉到某位置放开，末端 C 球摆到最低位置时，杆BC 受到的拉力刚好等于 C 球重力的 2 倍。重力加速度为 g。求：(1)C 球通过最低点时的线速度大小；(2)杆 AB 段此时受到的拉力大小。解析：(1) C 球通过最低点时， Fn TBC mg即：2 mg mg mv2CL得 C 球通过最低点时的线速度大小为： vC 。gL(2)以最低点 B 球为研究对象， B 球做圆周运动的向心力 Fn TAB mg2 mg- 15 -即 TAB3 mg mv2B12L且 vB vC12得杆 AB 段此时受到的拉力大小为： TAB3.5 mg。答案：(1) (2)3.5 mggL
