1、- 1 -第 4 节万有引力理论的成就一、计算天体的质量 称量地球的质量 计算太阳的质量方法 重力加速度法 环绕法忽略地球自转影响，重力等于万有引力万有引力提供向心力理论依据mg GMmR2G mrMmr2 4 2T2结果 M gR2G M 4 2r3GT2(1)R 为地球半径(2)g 为地球表面的重力加速度(1)r 为行星绕太阳做匀速圆周运动的半径(2)T 为行星绕太阳做匀速圆周运动的周期说明(3)这两种方法同样适用于计算其他天体的质量(4)求出天体的质量后，还可以进一步计算其密度二、 发现未知天体1若不考虑地球自转的影响，地面上物体所受重力等于地球对物体的引力，即 mgG ，可得地球质 M
2、mR2量 M ，该公式同样适用于其他天体。gR2G2根据万有引力提供行星做圆周运动的向心力，只要测得某行星绕太阳运行的轨道半径 r 和周期 T，就可得太阳的质量为 M 。42r3GT23英国剑桥大学的学生亚当斯和法国年轻的天文学家勒维耶预言了海王星的存在，1846 年 9 月 23 日晚，德国的伽勒发现了被预言的海王星。41705 年英国天文学家哈雷正确预言了哈雷彗星的回归。- 2 -应用万有引力定律可以计算天体的质量，还可以发现未知天体，海王星的发现和哈雷彗星的“按时回归”确立了万有引力定律的地位。1海王星的发现英国剑桥大学的学生亚当斯和法国年轻的天文学家勒维耶根据天王星的观测资料，利用万有
3、引力定律计算出天王星外“新”行星的轨道。1846 年 9 月 23 日，德国的伽勒在勒维耶预言的位置附近发现了这颗行星海王星。2其他天体的发现近 100 年来，人们在海王星的轨道之外又发现了冥王星、阋神星等几个较大的天体。1自主思考判一判(1)地球表面的物体，重力就是物体所受的万有引力。()(2)绕行星匀速转动的卫星，万有引力提供向心力。()(3)利用地球绕太阳转动，可求地球的质量。()(4)海王星、冥王星的发现表明了万有引力理论在太阳系内的正确性。()(5)科学家在观测双星系统时，同样可以用万有引力定律来分析。()2合作探究议一议(1)天体实际做什么运动？在处理问题时我们可以认为天体做什么运
4、动？提示：天体实际做椭圆轨道运动，而在处理相关问题时我们可以认为天体做匀速圆周运动。(2)若已知月球绕地球转动的周期 T 和半径 r，由此可以求出地球的质量吗？能否求出月球的质量呢？提示：能求出地球的质量。利用 G m 2r 求出的质量 M 为中心天体的质量。Mmr2 (2T) 4 2r3GT2做圆周运动的月球的质量 m 在等式中已消掉，所以根据月球的周期 T、公转半径 r，无法计算月球的质量。- 3 -天体质量和密度的计算1天体质量的计算(1)重力加速度法若已知天体(如地球)的半径 R 及其表面的重力加速度 g，根据在天体表面上物体的重力近似等于天体对物体的引力，得 mg G ，解得天体的质
5、量为 M ， g、 R 是天体自身的参MmR2 gR2G量，所以该方法俗称“自力更生法” 。(2)环绕法借助环绕中心天体做圆周运动的行星(或卫星)计算中心天体的质量，俗称“借助外援法”。常见的情况如下：万有引力提供向心力 中心天体的质量 说明G mMmr2 v2rMrv2GG mr 2Mmr2Mr3 2GG mrMmr2 4 2T2M4 2r3GT2r 为行星(或卫星)的轨道半径，v、 、 T 为行星(或卫星)的线速度、角速度和周期2天体密度的计算若天体的半径为 R，则天体的密度 ，将 M 代入上式可得 。M43 R3 4 2r3GT2 3 r3GT2R3特殊情况，当卫星环绕天体表面运动时，卫
6、星的轨道半径 r 可认为等于天体半径 R，则 。3GT2典例 利用引力常量 G 和下列某一组数据，不能计算出地球质量的是( )A地球的半径及重力加速度(不考虑地球自转)B人造卫星在地面附近绕地球做圆周运动的速度及周期C月球绕地球做圆周运动的周期及月球与地球间的距离D地球绕太阳做圆周运动的周期及地球与太阳间的距离解析 在地球表面附近，在不考虑地球自转的情况下，物体所受重力等于地球对物体的万有引力，有 mg，可得 M ，A 项能求出地球质量。根据万有引力提供卫星、月GMmR2 gR2G- 4 -球、地球做圆周运动的向心力，由 ， vT2 R，解得 M ；由 m 月GMmR2 mv2R v3T2 G
7、 GMm月r22r，解得 M ；由 M 2r 日 ，会消去两边的 M；故 B、C 项能求出地球质(2T月 ) 4 2r3GT2月 GM日 Mr2日 (2T日 )量，D 项不能求出地球质量。答案 D求解天体质量和密度时的两种常见错误(1)根据轨道半径 r 和运行周期 T，求得 M 是中心天体的质量，而不是行星(或4 2r3GT2卫星)的质量。(2)混淆或乱用天体半径与轨道半径，为了正确并清楚地运用，应一开始就养成良好的习惯，比如通常情况下天体半径用 R 表示，轨道半径用 r 表示，这样就可以避免如 误约分；只有卫星在天体表面做匀速圆周运动时，如近地卫星，轨道半径 r 才可以认3 r3GT2R3为
8、等于天体半径 R。1中子星是恒星演化过程的一种可能结果，它的密度很大。现有一可视为均匀球体的中子星，观测到它的自转周期为 T s，要维持该星体的稳定，不致因自转而瓦解的最小130密度 约是(引力常量 G6.6710 11 Nm2/kg2)( )A 1.2710 14 kg/m3B 1.2710 13 kg/m3C 1.2710 15 kg/m3D 1.2710 16 kg/m3解析：选 A 选赤道处质量为 m 的物体为研究对象，由万有引力提供向心力得： G mMmR2R，密度为： ，联立解得： ，代入数据解得： 1.2710 14 4 2T2 MV M43 R3 3GT2kg/m3，故 A 正
9、确，B、C、D 错误。2多选若宇航员在月球表面附近自高 h 处以初速度 v0水平抛出一个小球，测出小球的水平射程为 L。已知月球半径为 R，万有引力常量为 G。则下列说法正确的是( )A月球表面的重力加速度 g 月 2hv02L2- 5 -B月球的质量 m 月 2hR2v02GL2C月球的自转周期 T2 Rv0D月球的平均密度 3hv022 GL2解析：选 AB 根据平抛运动规律， L v0t， h g 月 t2，联立解得 g 月 ，选项 A12 2hv02L2正确；由 mg 月 G 解得 m 月 ，选项 B 正确；根据题目条件无法求出月球的自转mm月R2 2hR2v02GL2周期，选项 C
10、错误；月球的平均密度 ，选项 D 错误。m月43 R3 3hv022 GL2R天体运动的分析与计算1基本思路一般行星或卫星的运动可看作匀速圆周运动，所需要的向心力都由中心天体对它的万有引力提供，所以研究天体时可建立牛顿第二定律方程 G ma，式中 a 是向心加速度。Mmr22常用关系(1)G m mr 2 mr ，万有引力提供行星或卫星做圆周运动的向心力。Mmr2 v2r 4 2T2(2)mg G ，在天体表面上物体的重力等于它受到的引力，可得 gR2 GM，该公式称为MmR2黄金代换。典例 有的天文学家倾向于把太阳系外较小的天体叫做“矮行星” ，而另外一些人把它们叫做“小行星” ，谷神星就是
11、小行星之一。现有两个这样的天体，它们的质量分别为 m1和 m2，绕太阳运行的轨道半径分别是 r1和 r2，求：(1)它们与太阳间的万有引力之比。(2)它们的公转周期之比。解析 (1)设太阳质量为 M，由万有引力定律得，两天体与太阳间的万有引力之比 F1F2 。GMm1r12GMm2r22 m1r22m2r12- 6 -(2)两天体绕太阳的运动可看成匀速圆周运动，向心力由万有引力提供，则有 G mMmr22r，(2T)所以，天体绕太阳运动的周期 T2 ，r3GM则两天体绕太阳的公转周期之比 。T1T2 r13r23答案 (1) (2)m1r22m2r12 r13r23天体运动的加速度、线速度、角
12、速度和周期与轨道半径的关系 GMmr2 ma a GMr2 a 1r2mv2r v GMr v 1rmr 2 GMr3 1r3mr4 2T2 T 4 2r3GM T r3越 高越 慢1由于某种原因，人造地球卫星的轨道半径减小了，那么，卫星的( )A速率变小，周期变小 B速率变小，周期变大C速率变大，周期变大 D速率变大，周期变小解析：选 D 人造卫星绕地球做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力，设卫星的质量为 m、轨道半径为 r、地球质量为 M，有 G m m r 得： v ， T2 ，所Mmr2 v2r 4 2T2 GMr r3GM以当轨道半径减小时，其速率变大，周期变小，故 D 正确。2.
13、如图所示，若两颗人造卫星 a 和 b 均绕地球做匀速圆周运动， a、 b 到地心 O 的距离分别为 r1、 r2，线速度大小分别为 v1、 v2，则( )A. B. v1v2 r2r1 v1v2 r1r2- 7 -C. 2 D. 2v1v2 (r2r1) v1v2 (r1r2)解析：选 A 对人造卫星，根据万有引力提供向心力 m ，可得 v 。 所以GMmr2 v2r GMr对于 a、 b 两颗人造卫星有 ，故选项 A 正确。v1v2 r2r13如图所示， A 是静止在赤道上随地球自转的物体， B、 C 是同在赤道平面内的两颗人造卫星， B 位于离地高度等于地球半径的圆形轨道上， C 是地球同
14、步卫星。则下列说法正确的是( )A物体 A 随地球自转的角速度大于卫星 B 的角速度B卫星 B 的线速度小于卫星 C 的线速度C物体 A 随地球自转的向心加速度小于卫星 C 的向心加速度D物体 A 随地球自转的周期大于卫星 C 的周期解析：选 C C 为地球同步卫星，即角速度和地球自转角速度相同，运行周期与地球自转周期相同，轨道半径大于卫星 B 的轨道半径，根据公式 G m 2r 可得 ，即Mmr2 GMr3 A CrB，故 mAmB，故选项 D 正确。2两个星球组成双星，它们在相互之间的万有引力作用下，绕连线上某点做周期相同的匀速圆周运动，现测得两星中心距离为 R，其运动周期为 T，求两星的
15、总质量。解析：设两星球质量分别为 m1和 m2，做圆周运动的半径分别为 r1和 R r1，则由万有引力提供向心力得r1 G 4 2m1T2 m1m2R2(R r1) G 4 2m2T2 m1m2R2由可得 m1r1 m2(R r1)则 m2r1 m1 m2R由得 ，所以 m1 m2 。m2r1 4 2R2GT2 m1 m2R 4 2R3GT2答案：4 2R3GT21多选下面说法中正确的是( )A海王星是人们依据万有引力定律计算出轨道而发现的B天王星是人们依据万有引力定律计算出轨道而发现的C天王星的运动轨道偏离是根据万有引力定律计算出来的，其原因是由于天王星受到轨道外面其他行星的引力作用- 10
16、 -D冥王星是人们依据万有引力定律计算出轨道而发现的解析：选 ACD 人们通过望远镜发现了天王星，经过仔细的观测发现，天王星的运行轨道与根据万有引力定律计算出来的轨道总有一些偏差，于是认为天王星轨道外面还有一颗未发现的行星，它对天王星的吸引使其轨道产生了偏差。英国的亚当斯和法国的勒维耶根据天王星的观测资料，独立地利用万有引力定律计算出这颗新行星的轨道，后来用类似的方法发现了冥王星。故 A、C、D 正确，B 错误。2已知金星和地球的半径分别为 R1、 R2，金星和地球表面的重力加速度分别为 g1、 g2，则金星与地球的质量之比为( )A. B.g1R21g2R2 g1R2g2R21C. D.g2
17、R21g1R2 g2R2g1R21解析：选 A 根据星球表面物体重力等于万有引力，即 mg G ，得 M ，所以有MmR2 gR2G ，故 A 正确，B、C、D 错误。M金M地 g1R21g2R23人造地球卫星以地心为圆心，做匀速圆周运动，下列说法正确的是( )A半径越大，速度越小，周期越小B半径越大，速度越小，周期越大C所有卫星的速度均是相同的，与半径无关D所有卫星的角速度均是相同的，与半径无关解析：选 B 本题考查对万有引力定律的应用问题，由 F m (R h)GMm R h 2 4 2T2，可知半径越大，速度越小，周期越大；卫星的线速度、角速度与半径有关。mv2R h4假设火星和地球都是
18、均匀球体，火星的质量 M 火 和地球的质量 M 地 之比 p，火星M火M地的半径 R 火 和地球的半径 R 地 之比 q，那么火星表面处的重力加速度 g 火 和地球表面处的R火R地重力加速度 g 地 之比等于( )A. B pq2pq2C. D pqpq解析：选 A 根据 G mg 解得 g ；所以 ， 故 A 正确。MmR2 GMR2 g火g地 M火M地 R2地R2火 pq25过去几千年来，人类对行星的认识与研究仅限于太阳系内，行星“51 peg b”的发现拉开了研究太阳系外行星的序幕。 “51 peg b”绕其中心恒星做匀速圆周运动，周期约为- 11 -4 天，轨道半径约为地球绕太阳运动半
19、径的 。该中心恒星与太阳的质量比约为( )120A. B1110C5 D10解析：选 B 行星绕中心恒星做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，由牛顿第二定律得 G m r，则 3 2 3 21，选项 B 正确。Mmr2 4 2T2 M1M2 (r1r2) (T2T1) (120) (3654)6.如图所示是美国的“卡西尼”号探测器经过长达 7 年的“艰苦”旅行，进入绕土星飞行的轨道。若“卡西尼”号探测器在半径为 R 的土星上空离土星表面高 h 的圆形轨道上绕土星飞行，环绕 n 周飞行时间为 t，已知万有引力常量为 G，则下列关于土星质量 M 和平均密度 的表达式正确的是( )A M ， 4 2n
20、2 R h 3Gt2 3 n2 R h 3Gt2R3B M ， 4 2 R h 2Gt2 3 R h 2Gt2R3C M ， 4 2t2 R h 3Gn2 3 t2 R h 3Gn2R3D M ， 4 2 R h 3Gt2 3 R h 3Gt2R3解析：选 A 根据万有引力提供向心力有 G m (R h)，又卫星的周期为Mm R h 2 4 2T2T ，得土星的质量： M ，由密度的定义式为 ，土星的体积为tn 4 2n2 R h 3Gt2 MVV R3，得土星的密度 ，故 A 正确。43 3 n2 R h 3Gt2R37若将地球同步卫星和月球绕地球的运动均视为匀速圆周运动，下列相关说法正确的
21、是( )A月球的周期比同步卫星的周期小B月球的角速度比同步卫星的角速度大C月球的线速度比同步卫星的线速度大D月球的向心加速度比同步卫星的向心加速度小- 12 -解析：选 D 地球同步卫星的轨道半径小于月球的轨道半径，卫星绕地球做圆周运动的向心力由万有引力提供，由 G m m 2r ma mr 2；可得周期： T ，可知Mmr2 v2r (2T) 4 2r3GM半径越大，则周期越大，则月球的周期比同步卫星的周期大，故选项 A 错误；角速度 ，故 月 同 ，故 B 错误；线速度 v ， v 月 v 同 ，故 C 错误； a ，故 a 月 a 同 ，GMr3 GMr GMr2故 D 正确。8假设地球
22、可视为质量均匀分布的球体。已知地球表面重力加速度在两极的大小为g0，在赤道的大小为 g；地球自转的周期为 T，引力常量为 G。地球的密度为( )A. B.3 g0 gGT2g0 3 g0GT2 g0 gC. D.3GT2 3 g0GT2g解析：选 B 由万有引力定律可知： G mg0，在地球的赤道上： G mg m 2R，MmR2 MmR2 (2T)地球的质量： M R3 ，联立三式可得： ，B 正确。43 3 g0GT2 g0 g9多选如图所示，甲、乙、丙是位于同一直线上的离其他恒星较远的三颗恒星，甲、丙围绕乙在半径为 R 的圆轨道上运行，若三颗星质量均为 M，万有引力常量为 G，则( )A
23、甲星所受合外力为5GM24R2B乙星所受合外力为GM2R2C甲星和丙星的线速度相同D甲星和丙星的角速度相同解析：选 AD 甲星所受合外力为乙、丙对甲星的万有引力的合力： F 甲 ，A 正确；由对称性可知，甲、丙对乙星的万有引力等大反向，乙星GM2R2 GM2 2R 2 5GM24R2所受合外力为 0，B 错误；由甲、乙、丙位于同一直线上可知，甲星和丙星的角速度相同，由 v R 可知，甲星和丙星的线速度大小相同，但方向相反，故 C 错误，D 正确。10一卫星绕某一行星表面附近做匀速圆周运动，其线速度大小为 v。假设宇航员在该行星表面上用弹簧测力计测量一质量为 m 的物体重力，物体静止时，弹簧测力
24、计的示数为- 13 -N。已知引力常量为 G，则这颗行星的质量为( )A. B.mv2GN mv4GNC. D.Nv2Gm Nv4Gm解析：选 B 根据 G mg，所以 g ，根据万有引力提供向心力得： G m mg，Gm Nm MmR2 v2R解得： M ，故 B 正确。mv4GN11质量分别为 m1和 m2的两个星球，绕同一圆心做匀速圆周运动，它们之间的距离恒为 l，不考虑其他星体的影响，两颗星球的轨道半径和周期各是多少？解析：设 m1的轨道半径为 R1， m2的轨道半径为 R2，由于它们间的距离恒定，因此双星在空间的绕向一定相同，所以角速度和周期也都相同。对 m1： G m1R1 2m1
25、m2l2 (2T)对 m2： G m2R2 2m1m2l2 (2T)由可得 R1R2 m2m1又由于 R1 R2 l由得 R1 ， R2 ，将其代入或式可得 T2 。m2lm1 m2 m1lm1 m2 l3G m1 m2答案： 2m2lm1 m2 m1lm1 m2 l3G m1 m212宇航员来到某星球表面做了如下实验：将一小钢球以 v0的初速度竖直向上抛出，测得小钢球上升离抛出点的最大高度为 h(h 远小于星球半径)，该星球为密度均匀的球体，引力常量为 G，求：(1)该星球表面的重力加速度；(2)若该星球的半径为 R，忽略星球的自转，求该星球的密度。解析：(1)根据速度位移公式得：0 v 2 gh20得 g 。v202h(2)根据 G mg 及 M R3MmR2 43联立解得星球密度 。3v208 GRh答案：(1) (2)v202h 3v208 GRh- 14 -
