1、1第 4讲 万有引力定律及应用一、开普勒三定律的内容、公式定律 内容 图示或公式开普勒第一定律(轨道定律)所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上开普勒第二定律(面积定律)对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等开普勒第三定律(周期定律)所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等 k， k是一个与行星无关a3T2的常量自测 1 关于行星运动的规律，下列说法符合史实的是( )A开普勒在牛顿运动定律的基础上，导出了行星运动的规律B开普勒在天文观测数据的基础上，总结出了行星运动的规律C开普勒总结出了行星运动的规律，找出了行星按照这些规律运
2、动的原因D开普勒总结出了行星运动的规律，发现了万有引力定律答案 B解析 开普勒在天文观测数据的基础上总结出了行星运动的规律，但没有找出行星运动按照这些规律运动的原因，而牛顿发现了万有引力定律二、万有引力定律1内容自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和 m2的乘积成正比，与它们之间距离 r的二次方成反比(万有引力定律是由牛顿提出的)2表达式F G ， G为引力常量， G6.6710 11 Nm2/kg2，由卡文迪许利用扭秤实验测出m1m2r23适用条件(1)公式适用于质点间的相互作用，当两个物体间的距离远大于物体本身的大小时，物体可2视为质点(2)
3、质量分布均匀的球体可视为质点， r是两球心间的距离4天体运动问题分析(1)将天体或卫星的运动看成匀速圆周运动，其所需向心力由万有引力提供(2)基本公式：G maError!Mmr2自测 2 (2018锦屏中学模拟)我国发射的“天宫一号”和“神舟八号”在对接前， “天宫一号”的运行轨道高度为 350km， “神舟八号”的运行轨道高度为 343km.它们的运行轨道均视为圆周，则( )A “天宫一号”比“神舟八号”速度大B “天宫一号”比“神舟八号”周期长C “天宫一号”比“神舟八号”角速度大D “天宫一号”比“神舟八号”加速度大答案 B解析 航天器在围绕地球做匀速圆周运动的过程中由万有引力提供向心
4、力，根据万有引力定律和匀速圆周运动知识得 G m mr 2 mr 2 ma，解得Mmr2 v2r (2T)v ， T ， ， a ，而“天宫一号”的轨道半径比“神舟八号”的轨GMr 4 2r3GM GMr3 GMr2道半径大，可知选项 B正确三、宇宙速度1第一宇宙速度(1)第一宇宙速度又叫最大环绕速度，其数值为 7.9km/s.(2)第一宇宙速度是人造卫星在地面附近环绕地球做匀速圆周运动时具有的速度(3)第一宇宙速度是人造卫星的最小发射速度，也是人造卫星的最大环绕速度(4)第一宇宙速度的计算方法由 G m 得 v ；由 mg m 得 v .MmR2 v2R GMR v2R gR2第二宇宙速度使
5、物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度，其数值为 11.2km/s.3第三宇宙速度使物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度，其数值为 16.7km/s.3命题点一 开普勒三定律的理解和应用1行星绕太阳的运动通常按椭圆轨道处理2开普勒行星运动定律也适用于其他天体，例如月球、卫星绕地球的运动3开普勒第三定律 k中， k值只与中心天体有关，不同的中心天体 k值不同但该定律a3T2只能用在同一中心天体的两星体之间例 1 (2018盐城市期中)如图 1所示，某卫星绕行星沿椭圆轨道运行，其轨道的半长轴为 r，周期为 T，图中 S1、 S2两部分阴影面积大小相等则( )图 1A行星可以不在椭圆的焦点上B卫星从 a到
6、 b的速率逐渐增大C卫星从 a到 b的运行时间大于从 c到 d的运行时间D椭圆轨道半长轴的三次方与周期的二次方的比值只与卫星的质量有关答案 B解析 根据开普勒第一定律知，卫星绕行星做椭圆运动，行星处于椭圆的一个焦点上，故 A错误卫星从 a到 b的过程中，万有引力做正功，根据动能定理知，速率增大，故 B正确根据开普勒第二定律知， S1、 S2两部分阴影面积大小相等，则卫星从 a到 b的运行时间等于从 c到 d的运行时间，故 C错误根据开普勒第三定律知，椭圆轨道半长轴的三次方与周期的二次方的比值是定值，只与中心天体有关，与卫星的质量无关，故 D错误命题点二 万有引力与重力的关系忽略地球自转影响，在
7、地球表面附近，物体所受重力近似等于地球对它的吸引力，即 mg G.可得：MmR21地球表面重力加速度 gGMR2距地面高 h处重力加速度 g .GMR h2有 ，即 g与到地心距离的平方成反比gg R2R h22地球质量 M .gR2G3恒等式： GM gR2.以上各式对自转可忽略的其他星球同样适用4例 2 (2018无锡市期中)据报道，最近在太阳系外发现了首颗“宜居”行星，其质量约为地球质量的 6.4倍已知一个在地球表面质量为 50kg的人在这个行星表面的重量约为800N，地球表面处的重力加速度为 10m/s2.求：(1)该行星的半径与地球的半径之比约为多少？(2)若在该行星上距行星表面 2
8、m高处，以 10m/s的水平初速度抛出一只小球(不计任何阻力)，则小球的水平射程是多大？答案 (1)2 (2)5m解析 (1)在该行星表面处，G 人 mg 行 ，得 g 行 16 m/s 2.在忽略自转的情况下，由万有引力等于物体所受的重力得 mgGMmR2有 R2GMg故 4，所以 2.R行 2R地 2 M行 g地M地 g行 R行R地(2)由平抛运动的规律，有竖直方向 h g 行 t2，水平方向 x vt，故 x v ，12 2hg行代入数据解得： x5 m.变式 1 (2018淮安市、宿迁市等期中)宇航员王亚平在“天宫一号”飞船内太空授课时，指令长聂海胜悬浮在太空舱内“太空打坐”的情景如图
9、 2.若聂海胜的质量为 m，飞船距离地球表面的高度为 h，地球质量为 M，半径为 R，引力常量为 G，地球表面的重力加速度为 g，则聂海胜在太空舱内受到的重力大小为( )图 2A0 B mgC. D.GMmh2 GMmR h2答案 D解析 飞船在距地面高度为 h处，由万有引力等于重力得： G mg ，故 D正确，GMmR h2A、B、C 错误命题点三 中心天体环绕天体模型5环绕天体做匀速圆周运动所需向心力由中心天体对它的万有引力提供(如图 3)，图 3即： G m r Mmr2 4 2T2或 G m m 2r man等Mmr2 v2r1由式可得中心天体质量： M4 2r3GT2中心天体密度：
10、(r为环绕天体的轨道半径， R为中心天体的自身半径)M43 R3 3 r3GT2R3当 r R时， .3GT22环绕天体运行各参量分析(1)环绕天体的线速度：由 G m ，得 v ，即特定的轨道对应特定的速率Mmr2 v2r GMr(2)环绕天体的角速度：由 G mr 2，得 .Mmr2 GMr3(3)环绕天体的向心加速度：由 G man，得 an .Mmr2 GMr2(4)环绕天体的运行周期：由 G m r，得 T .Mmr2 4 2T2 4 2r3GM由于上述结论中引力常量 G、中心天体质量 M为常量，从而可以总结出：距离中心天体越远，轨道半径越大，周期越长，线速度、角速度、向心加速度越小
11、准确地说： T ； v ； ； a .r31r 1r3 1r2例 3 (2018南京市、盐城市一模)科学家发现太阳系外某一恒星有一行星，并测得它围绕该恒星运行一周所用的时间为 1200年，它与该恒星的距离为地球到太阳距离的 100倍假定该行星绕恒星运行的轨道和地球绕太阳运行的轨道都是圆周，仅利用以上两个数据可以求出的量是(引力常量 G已知)( )A恒星与太阳质量之比B恒星与太阳密度之比C行星与地球质量之比D行星与地球表面的重力加速度之比6答案 A解析 根据万有引力提供向心力可得： G m( )2r，解得： M ，由题意可知，行Mmr2 2T 4 2r3GT2星与恒星的距离为地球到太阳距离的 1
12、00倍(即知道轨道半径之比)，行星围绕该恒星的周期为 1 200年，地球绕太阳的周期为 1年(即知道周期之比)，而 G是常数，所以利用上式可求出恒星与太阳的质量之比，故 A正确；由 A分析可求出恒星与太阳的质量之比，但由于不知恒星与太阳的半径之比，所以不能求出恒星与太阳的密度之比，故 B错误；根据万有引力提供向心力可得： G m( )2r，解得的 M是中心天体的质量，所以不能求出行星与地球的Mmr2 2T质量之比，故 C错误；根据公式 m0g 可知， g ，由于不知行星与地球的半径之比，Gm0mR2 GmR2所以不能求出行星与地球表面的重力加速度之比，故 D错误变式 2 (2019射阳二中 5
13、月模拟)近年来，人类发射了多枚火星探测器对火星进行科学探究，为将来人类登上火星、开发和利用火星资源奠定了坚实的基础如果火星探测器环绕火星做“近地”匀速圆周运动，并测得该探测器运动的周期为 T，则火星的平均密度 的表达式为( k是一个常数)( )A kT1 B kTC kT2 D kT2答案 D解析 火星探测器绕火星做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力可得： G m r(rMmr2 4 2T2为轨道半径即火星的半径)，得火星的质量 M ，则火星的平均密度 ，联立4 2r3GT2 M43 r3解得火星的平均密度 kT2 (k为某个常量)，D 正确3GT2 kT2变式 3 (多选)(2018徐州市
14、期中)地球和火星围绕太阳的公转均可以看做匀速圆周运动地球的轨道半径为 r1，周期为 T1，运行速度为 v1，角速度为 1，加速度为 a1，火星的轨道半径为 r2，周期为 T2 kT1，运行速度为 v2，角速度为 2，加速度为 a2.下列关系正确的有( )A. k B. 1 2 r1r2 13k2C. D. v1v2 13k a1a2 k答案 AB解析 根据 G mr 得： T ，则 k，解得： ，因为Mmr2 4 2T2 4 2r3GM T2T1 r23r13 r1r2 13k27 ，则有： k，故 A、B 正确根据 G m 得： v ，则有：2T 1 2 T2T1 Mmr2 v2r GMr
15、，故 C错误根据 G ma，得： a ，则有： ，故 D错误v1v2 r2r1 3k Mmr2 GMr2 a1a2 r22r12 3k4拓展点 卫星运行分析1卫星的轨道(如图 4)图 4(1)赤道轨道：卫星的轨道在赤道平面内，同步卫星就是其中的一种(2)极地轨道：卫星的轨道过南、北两极，即在垂直于赤道的平面内，如极地气象卫星(3)其他轨道：除以上两种轨道外的卫星轨道所有卫星的轨道平面一定通过地球的球心2近地卫星贴着地球表面绕地球运行的卫星，轨道半径 R R 地特点：(1)向心力 G mg m .MmR2 v2R(2)线速度 v 7.9km/s 是绕地球做匀速圆周运动的卫星的最大运行速度GMR
16、gR(3)向心加速度 a g.(4)周期 T 2 84min 为卫星运行最小周期4 2R3GM Rg3地球同步卫星相对于地面静止且与地球自转具有相同周期的卫星叫地球同步卫星同步卫星有以下“七个一定”的特点：(1)轨道平面一定：轨道平面与赤道平面共面(2)周期一定：与地球自转周期相同，即 T24h.(3)角速度一定：与地球自转的角速度相同(4)高度一定：由 m (R h)得地球同步卫星离地面的高度GMmR h2 4 2T28h R3.610 7m.3GMT24 2(5)速率一定： v 3.110 3m/s.GMR h(6)向心加速度一定：由 G man得 an gh0.23m/s 2，即同步卫星
17、的向心加MmR h2 GMR h2速度等于轨道处的重力加速度(7)绕行方向一定：运行方向与地球自转方向一致例 4 (2018江苏单科1)我国高分系列卫星的高分辨对地观察能力不断提高.2018 年 5月9日发射的“高分五号”轨道高度约为 705km，之前已运行的“高分四号”轨道高度约为36000km，它们都绕地球做圆周运动与“高分四号”相比，下列物理量中“高分五号”较小的是( )A周期 B角速度C线速度 D向心加速度答案 A解析 设地球质量为 M，高分系列卫星质量为 m，高分系列卫星做匀速圆周运动时，根据万有引力提供向心力有 G m m 2r m 2r ma，得 v ， ， TMmr2 v2r
18、(2T) GMr GMr32 ， a ，因为“高分四号”的轨道半径比“高分五号”的轨道半径大，所以选项r3GM GMr2A正确，B、C、D 错误变式 4 (多选)(2018苏锡常镇二模)2017 年 6月，我国发射了宇宙探测卫星“慧眼” 卫星携带的硬 X射线调制望远镜(HardXrayModulationTelescope，简称 HXMT)在离地 550公里的轨道上观察遥远天体发出的 X射线，为宇宙起源研究提供了新的证据则“慧眼”的( )A角速度小于地球自转角速度B线速度小于第一宇宙速度C周期大于同步卫星的周期D向心加速度小于地面的重力加速度答案 BD变式 5 (多选)(2018扬州市一模)2
19、017 年 9月 25日，微信启动页面采用“风云四号”卫星成像图 “风云四号”是我国新一代静止轨道气象卫星，则其在圆轨道上运行时( )A可定位在赤道上空任意高度B线速度介于第一宇宙速度和第二宇宙速度之间C角速度与地球自转角速度相等9D向心加速度比月球绕地球运行的向心加速度大答案 CD解析 同步卫星只能在赤道上空，且高度保持不变，A 错误；第一宇宙速度为人造地球卫星的最大运行速度，同步卫星的轨道半径大，则其速度小于第一宇宙速度，B 错误；同步卫星的周期等于地球的自转周期，所以同步卫星绕地球运行的角速度与地球自转角速度相等，C正确；同步卫星与月球都是万有引力提供向心力，由 G ma可得： a ，同
20、步卫星的轨Mmr2 GMr2道半径比月球小，故同步卫星绕地球运行的向心加速度比月球绕地球运行的向心加速度大，D正确.1(多选)(2018常熟市期中)关于自由落体运动的加速度 g，下列说法正确的是( )A同一地点轻重不同的物体的 g值一样大B北京地面的 g值比上海地面的 g值略大C g值在赤道处大于在南北两极处D g值在地面任何地方都一样答案 AB解析 不管物体轻重如何，在同一地点， g值相等，故 A正确；随着纬度的升高，重力加速度增大，则北京地面的 g值比上海地面的 g值略大，赤道处的重力加速度小于两极处重力加速度，故 B正确，C、D 错误2(2018泰州中学开学考)因“光纤之父”高锟的杰出贡
21、献，早在 1996年中国科学院紫金山天文台就将一颗于 1981年 12月 3日发现的国际编号为“3463”的小行星命名为“高锟星”假设“高锟星”为均匀的球体，其质量为地球质量的 倍，半径为地球半径的 倍，则“高1k 1q锟星”表面的重力加速度是地球表面的重力加速度的( )A. 倍 B. 倍qk kqC. 倍 D. 倍q2k k2q答案 C3(多选)(2018南通市等七市三模) 某卫星绕地球做圆周运动周期等于地球自转周期，其轨道平面与赤道平面成 55角，则该卫星( )A离地面高度与地球同步卫星相同B在轨运行速度等于第一宇宙速度C加速度大于近地卫星的加速度10D每天两次经过赤道上同一点的正上方答案
22、 AD4(多选)(2018海安中学月考)一行星绕恒星做圆周运动由天文观测可得，其运行周期为 T，速度为 v.引力常量为 G，则( )A恒星的质量为v3T2 GB行星的质量为4 2v3GT2C行星运动的轨道半径为vT2D行星运动的加速度为2 vT答案 ACD解析 由 T 可得，轨道半径 r ，所以 C正确；由 G m ，将 r代入可得恒星2 rv vT2 Mmr2 v2r质量 M ，所以 A正确；由 a 可得，行星加速度 a ，所以 D正确；在万有引v3T2 G v2r 2 vT力提供向心力的表达式中，行星质量无法求出，所以 B错误1.(2018徐州市期中)牛顿在思考万有引力定律时就曾想，把物体
23、从高山上水平抛出，速度一次比一次大，落点一次比一次远如果速度足够大，物体就不再落回地面，它将绕地球运动，成为人造地球卫星如图 1所示是牛顿设想的一颗卫星，它沿椭圆轨道运动下列说法正确的是( )图 1A地球的球心与椭圆的中心重合B卫星在近地点的速率小于在远地点的速率C卫星在远地点的加速度小于在近地点的加速度D卫星与椭圆中心的连线在相等的时间内扫过相等的面积答案 C解析 根据开普勒第一定律可知，地球的球心应与椭圆的一个焦点重合，故 A错误；卫星在11近地点时的速率要大于在远地点的速率，故 B错误；根据万有引力提供向心力 G man可Mmr2知，卫星在远地点的加速度一定小于在近地点的加速度，故 C正
24、确；根据开普勒第二定律可知，卫星与地球中心的连线在相等的时间内扫过相等的面积，而不是与椭圆中心的连线，故D错误2(2018无锡市高三期末)如图 2所示，2017 年 9月 25日至 9月 28日期间，微信启动新界面，其画面视角从人类起源的非洲(左)变为华夏大地中国(右)新照片由我国新一代静止轨道卫星(同步卫星)“风云四号”拍摄，见证着科学家 15年的辛苦和努力下列说法正确的是( )图 2A “风云四号”可能经过无锡正上空B “风云四号”的向心加速度大于月球的向心加速度C与“风云四号”同轨道的卫星运动的动能都相等D “风云四号”的运行速度大于 7.9km/s答案 B3(多选)(2018泰州中学等
25、综合评估)澳大利亚科学家宣布，在离地球约 14光年的红矮星wolf1061周围发现了三颗行星 b、 c、 d，它们的公转周期分别是 5天、18 天、67 天，公转轨道可视作圆，如图 3所示已知万有引力常量为 G.下列说法正确的是( )图 3A可求出 b、 c的公转半径之比B可求出 c、 d的向心加速度之比C若已知 c的公转半径，可求出红矮星的质量D若已知 c的公转半径，可求出红矮星的密度答案 ABC4(多选)(2018盐城市期中) 半径为 R的木星表面重力加速度为 g0，卫星绕木星公转的轨道半径为 r(r R)、周期为 T、角速度为 .已知引力常量为 G，为求木星的质量，需要的物理量是( )A
26、 g0， r B g0， R12C ， T D r， T答案 BD解析 根据木星表面万有引力等于重力得： G mg0，得木星的质量为： M ，故 A错MmR2 g0R2G误，B 正确周期 T ，知道周期和角速度无法求出木星的质量，故 C错误根据万有引2力提供向心力 G m r ，得木星的质量为： M ，故 D正确Mmr2 4 2T2 4 2r3GT25(2018徐州三中月考)据媒体报道， “嫦娥一号”卫星环月工作轨道为圆轨道，轨道高度200km，运行周期 127分钟若还知道引力常量和月球平均半径，仅利用以上条件不能求出的是( )A月球表面的重力加速度B月球对卫星的吸引力C卫星绕月球运行的速度D
27、卫星绕月球运行的加速度答案 B解析 绕月卫星“嫦娥一号”绕月球做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力，设卫星的质量为 m、月球质量为 M，有 G m( )2(R 月 h)MmR月 h2 2T月球表面重力加速度公式g 月 GMR月 2联立解得 g 月 4 2R月 h3R月 2T2即可求出月球表面的重力加速度；由于卫星的质量未知，故月球对卫星的吸引力无法求出；由 v 可以求出卫星绕月球运行的速度；2 R月 hT由 a( )2(R 月 h)可以求出卫星绕月球运行的加速度，故选 B.2T6(2018常熟市期中) A、 B两颗人造卫星绕地球做匀速圆周运动， A卫星的运行周期大于B卫星的运行周期，则( )
28、A A卫星距离地面的高度一定比 B卫星的小B A卫星的运行速率一定比 B卫星的大C A卫星的向心加速度一定比 B卫星的小D A卫星的向心力一定比 B卫星的大13答案 C解析 根据 G mr 得，运行周期 T ，由于 A的周期大于 B的周期，则 A的Mmr2 4 2T2 4 2r3GM轨道半径大于 B的轨道半径，则 A距离地面的高度大于 B距离地面的高度，故 A错误；根据G m ma得，线速度 v ，向心加速度 a ，由于 A的轨道半径大，则 A的线速Mmr2 v2r GMr GMr2度小于 B的线速度， A的向心加速度小于 B的向心加速度，故 B错误，C 正确；由于 A、 B的质量未知，则无法
29、比较向心力的大小，故 D错误7(2018锡山中学月考)已知地球和火星绕太阳公转的轨道半径分别为 R1和 R2(公转轨道近似为圆)，如果把行星与太阳连线扫过的面积与其所用时间的比值定义为扫过的面积速率，则地球和火星绕太阳公转过程中扫过的面积速率之比是( ) A. B. C. D.R1R2 R1R2 R2R1 R2R1答案 B解析 公转的轨道近似为圆，地球和火星的运动可以看做匀速圆周运动，根据开普勒第三定律知， k，运动的周期之比 ，在一个周期内扫过的面积之比为R3T2 T1T2 R13R23 ，面积速率为 ，可知面积速率之比为 ，故 B正确，A、C、D 错误S1S2 R12 R22 R12R22
30、 ST R1R28.(2018盐城中学 4月检测)如图 4所示，人造地球卫星 M、 N在同一平面内绕地心 O做匀速圆周运动，已知 M、 N连线与 M、 O连线间的夹角最大为 ，则 M、 N的运行速度大小之比等于( )图 4A. B.sin1sinC. D.tan1tan答案 A9(2018程桥高中月考)我国“北斗”卫星导航系统 BDS堪比美国全球定位系统 GPS.已知BDS导航系统某圆轨道卫星的运行周期约为 12小时，则此卫星与 GPS导航系统中某地球同14步卫星相比较( )A轨道半径小 B角速度小C线速度小 D向心加速度小答案 A解析 根据 G m m ma mr 2，Mmr2 4 2rT2
31、 v2r设该卫星周期为 T，同步卫星周期为 T 同 ，由题意有： T 同 T据 T2 ，有 r 同 r，故 A正确；据 得 同 ，所以 B错误；据 v 得r3GM GMr3 GMrv 同 v，故 C错误； a ，得 a 同 a，故 D错误GMr210(多选)(2018扬州中学 5月模拟) 美国天文学家 MichaelBrown推测：太阳系有第九个大行星，其质量约为地球质量的 10倍，直径约为地球直径的 4倍，到太阳的平均距离约为地球到太阳平均距离的 600倍，万有引力常量 G已知下列说法正确的有( )A该行星绕太阳运转的周期在 7080 年之间B由题中所给的条件可以估算出太阳的密度C该行星表面
32、的重力加速度小于地球表面的重力加速度D该行星的第一宇宙速度大于地球的第一宇宙速度答案 CD11(2018常熟市期中)一颗在赤道上空运行的人造卫星，其轨道半径为 r2 R(R为地球半径)，卫星的转动方向与地球自转方向相同已知地球自转的角速度为 0，地球表面处的重力加速度为 g.求：(1)该卫星所在处的重力加速度 g；(2)该卫星绕地球转动的角速度 .答案 (1) g (2) 14 g8R解析 (1)在地球表面处物体受到的重力等于万有引力 mg G ，在轨道半径为 r处，仍有MmR2万有引力等于重力 G m g，解得： g gGMmr2 Mm2R2 14(2)根据万有引力提供向心力 G GMmr2
33、 Mm2R2m 2(2R)，得 .g8R12(2018江苏省高考压轴卷) “玉兔号”月球车在月球表面接触的第一步实现了中国人15“奔月”的伟大梦想 “玉兔号”在月球表面做了一个自由落体实验，测得物体从静止自由下落 h高度的时间为 t，已知月球半径为 R，自转周期为 T，引力常量为 G.求：(1)月球表面重力加速度和月球的“第一宇宙速度” ；(2)月球质量；(3)月球同步卫星距离月球表面的高度答案 (1) (2) (3) R2ht2 2hRt2 2hR2Gt2 3hR2T22 2t2解析 (1)由自由落体运动规律有： h g0t2，所以有： g012 2ht2月球的“第一宇宙速度”为近月卫星做匀速圆周运动的运行速度，根据重力提供向心力得mg0 m ，v21R所以 v1 ；g0R2hRt2(2)在月球表面的物体受到的重力等于万有引力，则 mg0 G ，MmR2所以 M ；g0R2G 2hR2Gt2(3)月球同步卫星绕月球做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力得：G m (R H)，MmR H2 4 2T2解得 H R R.3GMT24 2 3hR2T22 2t2
