1、17.5 数学归纳法最新考纲 考情考向分析会用数学归纳法证明一些简单的数学问题.以了解数学归纳法的原理为主，会用数学归纳法证明与数列有关或与不等式有关的等式或不等式在高考中以解答题形式出现，属高档题.数学归纳法一般地，证明一个与正整数 n 有关的命题，可按下列步骤进行：(1)(归纳奠基)证明当 n 取第一个值 n0(n0N *)时命题成立；(2)(归纳递推)假设 n k(k n0， kN *)时命题成立，证明当 n k1 时命题也成立只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从 n0开始的所有正整数 n 都成立概念方法微思考1用数学归纳法证题时，证明当 n 取第一个值 n0(n0N *)时命题成立因
2、为 n0N *，所以n01.这种说法对吗？提示 不对， n0也可能是 2,3,4，.如用数学归纳法证明多边形内角和定理( n2) 时，初始值 n03.2数学归纳法的第一个步骤可以省略吗？提示 不可以，数学归纳法的两个步骤相辅相成，缺一不可3有人说，数学归纳法是合情推理，这种说法对吗？提示 不对，数学归纳法是一种证明与自然数有关的命题的方法，它是演绎推理题组一 思考辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)所有与正整数有关的数学命题都必须用数学归纳法证明( )(2)用数学归纳法证明问题时，归纳假设可以不用( )(3)不论是等式还是不等式，用数学归纳法证明时，由 n k 到 n k
3、1 时，项数都增加了一项( )2(4)用数学归纳法证明等式“122 22 n2 2 n3 1” ，验证 n1 时，左边式子应为122 22 3.( )(5)用数学归纳法证明凸 n 边形的内角和公式时， n03.( )题组二 教材改编2P99B 组 T1在应用数学归纳法证明凸 n 边形的对角线为 n(n3)条时，第一步检验 n12等于( )A1B2C3D4答案 C解析 凸 n 边形边数最小时是三角形，故第一步检验 n3.3P96A 组 T2已知 an满足 an1 a nan1， nN *，且 a12，则2na2_， a3_， a4_，猜想 an_.答案 3 4 5 n1题组三 易错自纠4用数学归
4、纳法证明 1 a a2 an1 (a1， nN *)，在验证 n1 时，等1 an 21 a式左边的项是( )A1 B1 aC1 a a2 D1 a a2 a3答案 C解析 当 n1 时， n12，左边1 a1 a21 a a2.5对于不等式 Tn3 n.(1)解 因为 Sn2 an2，所以当 n2 时， an Sn Sn1 2 an2 an1 ，即 an2 an1 .又由S12 a12 a1，得 a12，所以数列 an是以 2 为首项，2 为公比的等比数列故 an22 n1 2 n.因为点 P(bn， bn1 )在直线 x y20 上，所以 bn bn1 20，即 bn1 bn2.又b11，
5、所以数列 bn是以 1 为首项，2 为公差的等差数列故 bn12( n1)2 n1.(2)证明 易知 Sn2 an22 n1 2， Tn n2，所以 2SnTn3 n，即2n2 n23 n4( n2， nN *)方法一 用数学归纳法证明如下当 n2 时，因为 2n2 16， n23 n414，所以不等式成立；假设当 n k(k2)时，不等式成立，即 2k2 k23 k4 成立，那么当 n k1 时，由 k2 得 k2 k0，所以 2k3 22 k2 2(k23 k4)2 k26 k8( k2 k)( k25 k8) k25 k8( k1)23( k1)4，所以 2(k1)2 (k1) 23(
6、k1)4，所以当 n k1 时，不等式成立综合可知，对任意的 n2， nN *，不等式 2SnTn3 n 成立故得证方法二 用二项式定理证明如下：因为 n2， nN *，所以 2n2 2 22n4(11) n4(C C C )4(C C C )0n 1n 2n 0n 1n 2n64 2 n22 n41 nnn 12 n23 n4( n2 n)n23 n4，所以 2n2 n23 n4，故得证题型三 归纳猜想证明例 2(2018浙江名校协作体考试)已知函数 f(x) .44x 15(1)求方程 f(x) x0 的实数解；(2)如果数列 an满足 a11， an1 f(an)(nN *)，是否存在实
7、数 c，使得 a2nf(a2k)f f(a2k1 ) f(1)，(14)从而 a2k1 a2k ，415 14 419因此 f 1 时，对 x(0， a1，有 ( x)0， (x)在(0， a1上单调递减， (a1)1 时，存在 x0，使 (x)nln( n1)证明如下：方法一 上述不等式等价于 ， x0.x1 x令 x ， nN *，则 ， x0.x1 x令 x ， nN *，则 ln .1n n 1n 1n 1故有 ln2ln1 ，12ln3ln2 ，13ln(n1)ln n ，1n 1上述各式相加可得 ln(n1) .12 13 1n 1结论得证1若 f(n)1 (nN *)，则 f(1
8、)的值为( )12 13 16n 1A1 B.15C1 D非以上答案12 13 14 15答案 C解析 等式右边的分母是从 1 开始的连续的自然数，且最大分母为 6n1，则当 n1 时，最大分母为 5，故选 C.2已知 f(n)1 22 23 2(2 n)2，则 f(k1)与 f(k)的关系是( )A f(k1) f(k)(2 k1) 2(2 k2) 2B f(k1) f(k)( k1) 2C f(k1) f(k)(2 k2) 2D f(k1) f(k)(2 k1) 2答案 A解析 f(k1)1 22 23 2(2 k)2(2 k1) 22( k1) 2 f(k)(2 k1) 2(2 k2)2
9、.103利用数学归纳法证明不等式 1 ，假设 n k 时，不等式成立，则当122 132 1n 1212 1n 2n k1 时，应推证的目标不等式是_答案 122 132 1k 12 1k 2212 1k 3解析 观察不等式中分母的变化便知7已知 f(n)1 (nN *)，经计算得 f(4)2， f(8) ， f(16)3， f(32) ，12 13 1n 52 72则其一般结论为_答案 f(2n) (n2， nN *)n 22解析 观察规律可知 f(22) ， f(23) ， f(24) ， f(25) ，故得一般结2 22 3 22 4 22 5 22论为 f(2n) (n2， nN *)
10、n 228用数学归纳法证明不等式 的过程中，由 n k 推导 n k1 时，1n 1 1n 2 1n n1324不等式的左边增加的式子是_答案 12k 12k 2解析 不等式的左边增加的式子是 .12k 1 12k 2 1k 1 12k 12k 29若数列 an的通项公式 an ，记 cn2(1 a1)(1 a2)(1 an)，试通过计算1n 12c1， c2， c3的值，推测 cn_.答案 n 2n 1解析 c12(1 a1)2 ，(114) 32c22(1 a1)(1 a2)2 ，(114) (1 19) 43c32(1 a1)(1 a2)(1 a3)2 ，(114) (1 19) (1
11、116) 54故由归纳推理得 cn .n 2n 110用数学归纳法证明( n1)( n2)( n3)( n n)2 n135(2n1)( nN *)时，12从 n k 到 n k1 时左边需增乘的代数式是_答案 4 k2解析 用数学归纳法证明( n1)( n2)( n3)( n n)2 n135(2n1)( nN *)时，从 n k 到 n k1 时左边需增乘的代数式是2(2 k1)k 1 kk 1 k 1k 111已知正项数列 an中，对于一切的 nN *均有 a an an1 成立2n(1)证明：数列 an中的任意一项都小于 1；(2)探究 an与 的大小关系，并证明你的结论1n(1)证明
12、 由 a an an1 ，得 an1 an a .2n 2n在数列 an中， an0， an1 0， an a 0，2n0( k1)2k2.综上，当且仅当 a13 时， an n2 对一切正整数 n 均成立(2)证明 由(1)知，当 a13 时， an n2，an1 a nan1 an(an n)1 an(n2 n)12 an1( nN *)2n于是， an1 12( an1)2 2(an1 1)2 n(a11)( nN *)，从而，对任意的 iN *， ，1ai 1 1a1 12i 1所以 1a1 1 1a2 1 1an 1 1a1 120 1a1 121 1a1 12n 11a1 1(1
13、12 122 12n 1) 1a1 11 12n1 12 .1a1 1 (2 12n 1) 2a1 1欲使 ，只需 a13.2a1 1 12所以只要 a13，)，不等式 对任意的正整数 n 均成立，1a1 1 1a2 1 1an 112即满足要求的 a1的取值有无数多个13设 f(x)是定义在正整数集上的函数，且 f(x)满足：“当 f(k) k2成立时，总可推出f(k1)( k1) 2成立” 那么，下列命题总成立的是( )A若 f(1)1 成立，则 f(10)100 成立B若 f(2)4 成立，则 f(1)1 成立14C若 f(3)9 成立，则当 k1 时，均有 f(k) k2成立D若 f(
14、4)16 成立，则当 k4 时，均有 f(k) k2成立答案 D解析 当 f(k) k2成立时， f(k1)( k1) 2成立，当 f(4)16 时，有 f(5)5 2， f(6)6 2， f(k) k2成立14 n 个半圆的圆心在同一条直线 l 上，这 n 个半圆每两个都相交，且都在直线 l 的同侧，问这些半圆被所有的交点最多分成多少段圆弧？解 设这些半圆最多互相分成 f(n)段圆弧，采用由特殊到一般的方法，进行猜想和论证当 n2 时，由图(1)知两个半圆交于一点，则分成 4 段圆弧，故 f(2)42 2；当 n3 时，由图(2)知三个半圆交于三点，则分成 9 段圆弧，故 f(3)93 2；
15、当 n4 时，由图(3)知四个半圆交于六点，则分成 16 段圆弧，故 f(4)164 2；由此猜想，满足条件的 n 个半圆互相分成圆弧段有 f(n) n2.用数学归纳法证明如下：当 n2 时，上面已证；假设当 n k 时， f(k) k2，那么当 n k1 时，第 k1 个半圆与原 k 个半圆均相交，为获得最多圆弧，任意三个半圆不能交于一点，所以第 k1 个半圆把原 k 个半圆中的每一个半圆中的一段弧分成两段弧，这样就多出 k 条圆弧；另外原 k 个半圆把第 k1 个半圆分成k1 段，这样又多出了 k1 段圆弧所以 f(k1) k2 k( k1) k22 k1( k1) 2，即满足条件的 k1
16、 个半圆被所有的交点最多分成( k1) 2段圆弧由可知，满足条件的 n 个半圆被所有的交点最多分成 n2段圆弧15(2018绍兴模拟)已知函数 f(x) ax x2的最大值不大于 ，又当 x 时， f(x)32 16 14， 12 .18(1)求 a 的值；(2)设 0a1 ， an1 f(an)， nN *，证明： an .12 1n 1(1)解 由题意，知f(x) ax x2 2 .32 32(x a3) a2615又 f(x)max ，所以 f(x)max f .16 (a3) a26 16所以 a21.又当 x 时， f(x) ，14， 12 18所以Error! 即Error!解得
17、a1.又因为 a21，所以 a1.(2)证明 用数学归纳法证明：当 n1 时，0 a1 ，显然结论成立12因为当 x 时，0 f(x) ，(0，12) 16所以 0a2 f(a1) .1613故当 n2 时，原不等式也成立假设当 n k(k2， kN *)时，不等式 0ak 成立1k 1由(1)知 a1， f(x) x x2，32因为 f(x) x x2的对称轴为直线 x ，32 13所以当 x 时， f(x)为增函数(0，13所以由 0ak ，1k 1 13得 0f(ak)f .(1k 1)于是，0 ak1 f(ak) .1k 1 32 1k 12 1k 2 1k 2 1k 2 k 42k 12k 2 1k 2所以当 n k1 时，原不等式也成立根据，知对任意 nN *，不等式 an 成立1n 116
