1、13.2 函数的单调性与最值最新考纲 考情考向分析1.理解函数的单调性，会判断函数的单调性2.理解函数的最大(小)值的含义，会求简单函数的最大(小)值.以基本初等函数为载体，考查函数的单调性、单调区间及函数最值的确定与应用；强化对函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想的考查，题型既有选择、填空题，又有解答题.1函数的单调性(1)单调函数的定义增函数 减函数定义一般地，设函数 f(x)的定义域为 I，如果对于定义域 I内某个区间 D上的任意两个自变量的值 x1， x2定义当 x1f(x2)，那么就说函数 f(x)在区间 D上是减函数图象描述自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的(2
2、)单调区间的定义如果函数 y f(x)在区间 D上是增函数或减函数，那么就说函数 y f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间 D叫做 y f(x)的单调区间22函数的最值前提 设函数 y f(x)的定义域为 I，如果存在实数 M满足条件(1)对于任意的 x I，都有 f(x) M；(2)存在 x0 I，使得 f(x0) M(3)对于任意的 x I，都有f(x) M；(4)存在 x0 I，使得 f(x0) M结论 M为最大值 M为最小值概念方法微思考1在判断函数的单调性时，你还知道哪些等价结论？提示 对任意 x1， x2 D， 0f(x)在 D上是增函数，减函数类似fx1 fx2x1 x2
3、2写出对勾函数 y x (a0)的增区间ax提示 (， 和 ，)a a题组一 思考辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)若定义在 R上的函数 f(x)，有 f(1)x11时， f(x2) f(x1)(x2 x1)abB cbaC acbD bac答案 D解析 根据已知可得函数 f(x)的图象关于直线 x1 对称，且在(1，)上是减函数，因为 a f f ，且 2ac.(12) (52) 52命题点 2 解函数不等式例 4若 f(x)是定义在(0，)上的单调增函数，且满足 f(xy) f(x) f(y)， f(3)1，则当 f(x) f(x8)2 时， x的取值范围是( )A
4、(8，) B(8,98C8,9 D(0,8)答案 B解析 211 f(3) f(3) f(9)，由 f(x) f(x8)2，可得 fx(x8) f(9)，因为 f(x)是定义在(0，)上的单调增函数，所以有Error! 解得 80成立，那么fx1 fx2x1 x2a的取值范围是_答案 32， 2)解析 对任意 x1 x2，都有 0.fx1 fx2x1 x2所以 y f(x)在(，)上是增函数所以Error! 解得 a2.32故实数 a的取值范围是 .32， 2)(2)定义在 R上的奇函数 y f(x)在(0，)上单调递增，且 f 0，则不等式 f( 19logx)0(12)的解集为_答案 Er
5、ror!解析 由题意知， f f 0，(12) (12)f(x)在(，0)上也单调递增 f( 19logx) f 或 f( 19logx) f ，(12) ( 12) 19lx 或 19lx0，12 12解得 0 x 或 1 x3.13原不等式的解集为Error!.1(2018台州路桥中学检测)如果函数 f(x) x22( a1) x2 在区间(，4上单调递减，那么实数 a的取值范围是( )A a3 B a3C a5 D a5答案 A解析 由题意得，函数 f(x) x22( a1) x2 的对称轴为 x1 a，所以二次函数的单调10递减区间为(，1 a，又函数在区间(，4上单调递减，所以 1
6、a4，所以a3.2已知函数 f(x) ，则该函数的单调递增区间为( )x2 2x 3A(，1 B3，)C(，1 D1，)答案 B解析 设 t x22 x3，由 t0，即 x22 x30，解得 x1 或 x3，所以函数 f(x)的定义域为(，13，)因为函数 t x22 x3 的图象的对称轴为 x1，所以函数 t在 ( ， 1上 单 调 递 减 ， 在 3， )上 单 调 递 增 ， 所 以 函 数 f(x)的 单 调 递 增 区间 为 3， )3已知函数 f(x)Error!当 x1 x2时， x1 对任意的 x1,2恒成立，等价于 a x23 x1 对任意的 x1,2恒成立设 g(x) x2
7、3 x1(1 x2)，则 g(x) 2 (1 x2)，(x32) 134当 x 时， g(x)取得最大值，且 g(x)max g ，因此 a ，故选 D.32 (32) 134 1346(2018浙江镇海中学月考)若函数 f(x)Error!( a0，且 a1)的值域为3，)，则实数 a的取值范围为( )A(1,3 B(1,3)C(3，) D3，)答案 A解析 当 x3 时，函数 f(x) x22 x4( x1) 23 的值域为3，)，当 x3 时，2log ax3，即 x3 时，log ax1log aa，a1，且 x3 时 x a恒成立1 a3，实数 a的取值范围是(1,37已知奇函数 f
8、(x)在 R上是增函数若 a f ， b f ， c f(20.8)，则(log215) (log24.1)a， b， c的大小关系为_答案 abc解析 f(x)在 R上是奇函数， a f f f(log25)(log215) ( log215)又 f(x)在 R上是增函数，且 log25log24.1log2422 0.8， f(log25)f(log24.1)f(20.8)， abc.8设函数 f(x)Error! g(x) x2f(x1)，则函数 g(x)的单调递减区间是_答案 0,1)解析 由题意知 g(x)Error!函数 g(x)的图象如图所示，其单调递减区间为0,1)129函数
9、f(x) 的值域为_4 2x x答案 ， 2 6解析 由题意得，0 x2，设 x2cos 2 ，(0 2) f(x) 2sin cos sin( )，4 2x x 2 6其中 sin ，cos ，13 26而 ，2 sin( )1，故所求值域是 ， 13 2 610设函数 f(x)Error!若函数 y f(x)在区间( a， a1)上单调递增，则实数 a的取值范围是_答案 (，14，)解析 作函数 f(x)的图象如图所示，由图象可知 f(x)在( a， a1)上单调递增，需满足 a4 或 a12，即 a1 或 a4.11已知 f(x) (x a)xx a(1)若 a2，试证 f(x)在(，2
10、)上单调递增；(2)若 a0 且 f(x)在(1，)上单调递减，求 a的取值范围(1)证明 设 x1 x22，则 f(x1) f(x2) .x1x1 2 x2x2 2 2x1 x2x1 2x2 2因为( x12)( x22)0， x1 x20，所以 f(x1) f(x2)0，即 f(x1) f(x2)，所以 f(x)在(，2)上单调递增13(2)解 设 1 x1 x2，则 f(x1) f(x2) x1x1 a x2x2 a .ax2 x1x1 ax2 a因为 a0， x2 x10，所以要使 f(x1) f(x2)0，只需( x1 a)(x2 a)0 恒成立，所以 a1.综上所述，0 a1.12
11、函数 f(x)4 x24 ax a22 a2 在区间0,2上有最小值 3，求 a的值解 f(x)4 22 a2，(xa2)当 0，即 a0 时，函数 f(x)在0,2上是增函数a2 f(x)min f(0) a22 a2.由 a22 a23，得 a1 .2 a0， a1 .2当 0f(2a x)在 a， a1上恒成立，则实数 a的取值范围是_答案 (，2)解析 二次函数 y1 x24 x3 的对称轴是 x2，该函数在(，0上单调递减， x24 x33，同样可知函数 y2 x22 x3 在(0，)上单调递减，14且在 x0 时两个表达式的值都为 3. f(x)在 R上单调递减，由 f(x a)f
12、(2a x)得到 x a2的x2 1解集为_答案 (14， )解析 由题意知， f( x) f(x)2， f(2x1) f(2x)2可化为 f(2x1) f(2 x)，又由题意知函数 f(x)在 R上单调递增，2 x12 x， x ，原不等式的解集为 .14 (14， )15记 minx， yError!设 f(x)min x2， x3，则( )A存在 t0，| f(t) f( t)| f(t) f( t)B存在 t0，| f(t) f( t)| f(t) f( t)C存在 t0，| f(1 t) f(1 t)| f(1 t) f(1 t)D存在 t0，| f(1 t) f(1 t)| f(1
13、 t) f(1 t)答案 C解析 作出函数 f(x)min x2， x3的图象，显然该函数是单调递增的，所以对任意的 t0均有|f(t) f( t)| f(t) f( t)，且| f(1 t) f(1 t)| f(1 t) f(1 t)，因此排除 B，D.考虑选项 A，当 0 t1 时， f(t) t3， f( t) t3，则|f(t) f( t)| t3( t)3| t3 t30，f(t) f( t)2 t30；当 t1 时， f(t) t2， f( t) t3，则|f(t) f( t)| t2 t3| t3 t2， f(t) f( t) t2 t3，又 t3 t2( t2 t3)2 t20
14、，所以| f(t) f( t)| f(t) f( t)，排除 A.故选 C.1516(2018浙江金华十校联考)若定义在(0,1)上的函数 f(x)满足 f(x)0 且对任意的x(0,1)，有 f 2 f(x)，则( )(2x1 x2)A对任意的正数 M，存在 x(0,1)，使 f(x) MB存在正数 M，对任意的 x(0,1)，使 f(x) MC对任意的 x1， x2(0,1)且 x1 x2，有 f(x1) f(x2)D对任意的 x1， x2(0,1)且 x1 x2，有 f(x1) f(x2)答案 A解析 构造数列 xn，满足 x1(0,1)， xn1 .2xn1 x2n由数学归纳法易知， xn(0,1)， xn1 xn 0 ，所以 xn是单调递增数列xn1 x2n1 x2n由题意可知， f(xn1 )2 f(xn)，所以 f(xn)是以 f(x1)为首项，2 为公比的等比数列，所以 f(xn) f(x1)2n1 ，则对任意的整数 M，存在正整数 Nmax ，1， log2 Mfx1 2则当 n N时， f(xn) f(x1)2n1 f(x1) 21logMf f(x1) 21logfx M，故选 A.16
