1、13.8 函数与方程最新考纲 考情考向分析了解函数零点的概念，掌握连续函数在某个区间上存在零点的判定方法.利用函数零点的存在性定理或函数的图象，对函数是否存在零点进行判断或利用零点(方程实根)的存在情况求相关参数的范围，是高考的热点，题型以选择、填空为主，也可和导数等知识交汇出现解答题，中高档难度.1函数的零点(1)函数零点的定义对于函数 y f(x)(x D)，把使 f(x)0 的实数 x 叫做函数 y f(x)(x D)的零点(2)三个等价关系方程 f(x)0 有实数根函数 y f(x)的图象与 x 轴有交点 函数 y f(x)有零点(3)函数零点的判定(零点存在性定理)如果函数 y f(
2、x)在区间 a， b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有 f(a)f(b)0)的图象与零点的关系 0 0 0)的图象与 x 轴的交点 (x1,0)，( x2,0) (x1,0) 无交点零点个数 2 1 0概念方法微思考函数 f(x)的图象连续不断，是否可得到函数 f(x)只有一个零点？提示 不能2题组一 思考辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)函数的零点就是函数的图象与 x 轴的交点( )(2)函数 y f(x)在区间( a， b)内有零点(函数图象连续不断)，则 f(a)f(b)023且函数 f(x)的图象在(0，)上连续不断， f(x)为增函数， f(x)的零点在区间
3、(2,3)内3P88 例 1函数 f(x)e x3 x 的零点个数是( )A0B1C2D3答案 B解析 由 f( x)e x30，得 f(x)在 R 上单调递增，又 f(1) 30，因1e此函数 f(x)有且只有一个零点4P92A 组 T4函数 f(x)12 x的零点个数为_(12)答案 1解析 作函数 y12x和 y x的图象如图所示，(12)由图象知函数 f(x)有 1 个零点3题组三 易错自纠5函数 f(x)ln 2x3ln x2 的零点是( )A(e,0)或(e 2,0) B(1,0)或(e 2,0)C(e 2,0) De 或 e2答案 D解析 f(x)ln 2x3ln x2(ln x
4、1)(ln x2)，由 f(x)0 得 xe 或 xe 2， f(x)的零点是 e 或 e2.6已知函数 f(x) x (x0)， g(x) xe x， h(x) xln x(x0)的零点分别为xx1， x2， x3，则( )A x10)， ye x， yln x(x0)的图象，如图所示，可知选 C.x7若二次函数 f(x) x22 x m 在区间(0,4)上存在零点，则实数 m 的取值范围是_答案 (8,1解析 m x22 x 在(0,4)上有解，又 x22 x( x1) 21， y x22 x 在(0,4)上的值域为(8,1，80，4 f(1)f(2)0，f(b)( b c)(b a)0，
5、由函数零点存在性定理可知，在区间( a， b)，( b， c)内分别存在零点，又函数 f(x)是二次函数，最多有两个零点因此函数 f(x)的两个零点分别位于区间( a， b)，( b， c)内，故选 A.3设函数 y1 x3与 y2 x2 的图象的交点为( x0， y0)，若 x0( n， n1)， nN，则 x0所(12)在的区间是_答案 (1,2)解析 令 f(x) x3 x2 ，则 f(x0)0，(12)易知 f(x)为增函数，且 f(1)0， x0所在的区间是(1,2)思维升华确定函数零点所在区间的常用方法(1)利用函数零点存在性定理(2)数形结合法题型二 函数零点个数的判断例 1 (
6、1)函数 f(x)Error!的零点个数是_答案 2解析 当 x0 时，令 x220，解得 x (正根舍去)，所以在(，0上有一个零点；2当 x0 时，f( x)2 0 恒成立，所以 f(x)在(0，)上是增函数又因为 f(2)1x2ln20，所以 f(x)在(0，)上有一个零点，综上，函数 f(x)的零点个数为 2.(2)(2018杭州质检)设方程 xln( ax)(a0，e 为自然对数的底数)，则( )A当 ae 时，方程有两个实数根答案 D解析 由 xln( ax)得 ex ax，则函数 ye x， y ax 图象的交点个数是原方程根的个数当 ae 时，方程有两个实数根，D 正确，故选
7、D.思维升华函数零点个数的判断方法(1)直接求零点(2)利用零点存在性定理再结合函数的单调性确定零点个数(3)利用函数图象的交点个数判断跟踪训练 1 (1)函数 f(x)Error!的零点个数为( )A3B2C7D0答案 B解析 方法一 由 f(x)0 得Error!或 Error!解得 x2 或 xe.因此函数 f(x)共有 2 个零点方法二 函数 f(x)的图象如图所示，由图象知函数 f(x)共有 2 个零点(2)函数 f(x)Error!则函数 h(x) f(x)log 4x 的零点个数为( )A2B3C4D5答案 D解析 函数 h(x) f(x)log 4x 的零点个数即为方程 f(x
8、)log 4x 的根的个数，分别画出y1 f(x)， y2log 4x 的图象，由图可知，两个函数的图象有 5 个交点，所以函数 h(x)有 5个零点6题型三 函数零点的应用命题点 1 根据函数零点个数求参数例 2(1)已知函数 f(x)Error!若函数 g(x) f(x) m 有 3 个零点，则实数 m 的取值范围是_答案 (0,1)解析 画出函数 f(x)Error!的图象，如图所示由于函数 g(x) f(x) m 有 3 个零点，结合图象得 02 m2 或72m223 m，可得 m2 或 0 m0 且 a1)的两个零点是 m， n，则( )A mn1 B mn1C01， m1，且log
9、 am m，log an n，以上两式两边相减可(12) (12)得 loga(mn) n m0)，22x 12x 1则 a t2 1t 1 (t 2t 1 1)2 ，其中 t11，t 12t 1由基本不等式，得( t1) 2 ，2t 1 2当且仅当 t 1 时取等号，故 a22 .2 2(4)(2018浙江)已知 R，函数 f(x)Error!当 2 时，不等式 f(x)0 的解集是_若函数 f(x)恰有 2 个零点，则 的取值范围是_答案 (1,4) (1,3(4，)解析 当 2 时， f(x)Error!其图象如图(1)由图知 f(x)0 的解集为(1,4)f(x)Error! 恰有 2
10、 个零点有两种情况：二次函数有两个零点，一次函数无零点；二次10函数与一次函数各有一个零点在同一平面直角坐标系中画出 y1 x4 与 y2 x24 x3 的图象，如图(2)，平移直线x ，可得 (1,3(4，)1已知函数 f(x) log 2x，在下列区间中，包含 f(x)零点的区间是( )6xA(0,1) B(1,2)C(2,4) D(4，)答案 C解析 因为 f(x)在区间(0，)上单调递减， f(1)6log 2160， f(2)3log 2220， f(4) log 24 0 时， x f(x) m，即x m，解得 m2，即实数 m 的取值范围是(，12，)故选 D.1x5(2018温
11、州十校联合体期末)已知关于 x 的方程 a|x|有三个不同的实数解，则实1x 2数 a 的取值范围是( )A(，0) B(0,1)C(1，) D(0，)答案 C解析 方程 a|x|有三个不同的实数解等价于函数 y 与 y a|x|的图象有三个不1x 2 1x 2同的交点在同一直角坐标系中作出函数 y 与 y a|x|的图象，如图所示，由图易知，1x 2a0.当20 时，由 f(x)ln x0，得 x1.因为函数 f(x)有两个不同的零点，则当 x0时，函数 f(x)2 x a 有一个零点，令 f(x)0 得 a2 x，因为 00 时， f(x)2015 xlog 2015x，则在 R 上，函数
12、f(x)零点的个数为_答案 3解析 因为函数 f(x)为 R 上的奇函数，所以 f(0)0，当 x0 时， f(x)2015 xlog 2015x 在区间 内存在一个零点，又 f(x)为(0，12015)增函数，因此在(0，)内有且仅有一个零点根据对称性可知函数在(，0)内有且仅有一个零点，从而函数 f(x)在 R 上的零点个数为 3.11已知函数 f(x) x， g(x) 12lox，记函数 h(x)Error!则函数 F(x) h(x) x5 的(12)所有零点的和为_答案 5解析 由题意知函数 h(x)的图象如图所示，易知函数 h(x)的图象关于直线 y x 对称，函数F(x)所有零点的
13、和就是函数 y h(x)与函数 y5 x 图象交点横坐标的和，设图象交点的横坐标分别为 x1， x2，因为两函数图象的交点关于直线 y x 对称，所以 5 ，x1 x22 x1 x22所以 x1 x25.12已知函数 f(x) 4.|xmx|14(1)若 m4，求函数 f(x)的零点个数；(2)若函数 f(x)有 4 个零点，求实数 m 的取值范围解 (1)当 m4 时， f(x) 4，|x4x|由对勾函数的性质易得 y 4，|x4x|当且仅当 x2 时，等号成立，所以函数 f(x) 4 的零点个数为 2.|x4x|(2)当 m0 时，由对勾函数的性质易得 y 2 ，|xmx| m当且仅当 x
14、 时，等号成立，m要使 f(x) 4 有 4 个零点，|xmx|则有 2 0 时，函数 y a 与函数 y x1x有两个交点，则存在 x 使 a x 成立，即 ax 2 4，当且仅当 x2 时，等3x 1x 3x 4x x4x号成立，即 a4.14(2018湖州德清县、长兴县、安吉县期中)偶函数 f(x)满足 f(1 x) f(1 x)，且在x0,1时， f(x) ，若直线 kx y k0( k0)与函数 f(x)的图象有且仅有三个2x x2交点，求 k 的取值范围解 因为直线 kx y k0( k0)，即 k(x1) y0( k0)过定点(1,0)因为函数 f(x)满足 f(1 x) f(1
15、 x)，所以函数 f(x)的图象关于直线 x1 对称，又因为函数 f(x)为偶函数，所以函数 f(x)的图象关于 y 轴对称，在平面直角坐标系内画出函数 f(x)的图象及直线 k(x1) y0( k0)如图所示，则由图易得 AB ， AC ，22 1 3 42 1 15tan BAx ，tan CAx ，则要使直线 kx y k0( k0)与函数 f(x)的图13 33 115 1515象有且仅有三个交点，则 k 的取值范围是 .(1515， 33)15(2018湖州、衢州、丽水三地市质检)已知 f(x)是定义在 R 上的函数，若方程 f(f(x) x 有且仅有一个实数根，则 f(x)的解析式
16、可能是( )A f(x)|2 x1| B f(x)e xC f(x) x2 x1 D f(x)sin x答案 D解析 对于 A，由 f(f(x) x，即|2|2 x1|1| x，可得 x1 或 或 或 ，故 A 错误；对13 15 35于 B，由(e x x)e x1，得 ye x x 在(0，)上单调递增，在(，0)上单调递减，所以(e x x)min10，即 exx 恒成立，所以 f(f(x) exexx，即 f(f(x) x 无解，故B 错误；对于 C， f(x) x2 x1， f(f(x)( x2 x1) 2 x2 x11 x，即( x2 x1)2 x220，无实数根，故 C 错误；对
17、于 D，令 ysin x x，则 ycos x10，则16ysin x x 在 R 上单调递减，当 x0 时， y0，所以当 x(0，)时，sinxx，sin(sin x)sinxx，则sin(sinx) x 在 R 上单调递减，且 sin(sin0)0，故 f(f(x) x 有且仅有一个实数根，故选 D.16(2019台州第一学期质检)已知函数 f(x)|ln x|， g(x)Error!求方程| f(x) g(x)|2 的实根的个数解 在平面直角坐标系内画出函数 f(x)与 g(x)的图象如图所示，方程| f(x) g(x)|2 的实根个数等价于垂直于 x 轴的直线与两函数图象的交点的距离等于 2 的直线的条数，由图易得满足题意的直线共有 4 条
