1、12.5 绝对值不等式最新考纲 考情考向分析1.会解|x b| c，| x b| c，| x a| x b|c，| x a| x b| c 型不等式2.了解不等式|a| b| a b| a| b|.绝对值不等式的解法，利用绝对值不等式求最值是考查的重点；高考中绝对值不等式和数列、函数的结合是常见题型，解答题居多，难度为中高档.1绝对值三角不等式(1)定理 1：如果 a， b 是实数，则| a b| a| b|，当且仅当 ab0 时，等号成立(2)定理 2：如果 a， b， c 是实数，那么| a c| a b| b c|，当且仅当( a b)(b c)0 时，等号成立2绝对值不等式的解法(1)
2、含绝对值的不等式| x|a 的解集：不等式 a0 a0 aa (， a)( a，) (，0)(0，) R(2)|ax b| c(c0)和| ax b| c(c0)型不等式的解法：| ax b| c c ax b c；| ax b| cax b c 或 ax b c.概念方法微思考|x a| x b| c(c0)和| x a| x b| c(c0)型不等式有哪些解法？各体现了什么数学思想？提示 (1)利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；(2)利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；2(3)通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想3题组一 思考辨析1判断下列
3、结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)|x2|的几何意义是数轴上坐标为 x 的点到点 2 的距离( )(2)|x|a 的解集是 x|xa 或 x|a b|恒成立( )题组二 教材改编2P20T7不等式 35；当2 x a23 a 的解集为非空数集，则实数 a 的取值范围是( )A12 D a1 或 a2答案 B解析 (| x1| x3|) max2， a23 a0 时，因为|x t22| x t22 t1| x t22( x t22 t1)|2 t1，要使原不等式无解，则需 3t2 t1，解得 0 时，92 92|t m|max m4，即 m4 m14，即 m ，不符合题意，92综上 m
4、 的取值范围是 m .92思维升华(1)恒成立问题可转化为函数的最值问题(2)和绝对值有关的最值可以利用绝对值的性质进行改编或者化为分段函数解决(3)和绝对值不等式有关的范围或最值问题，可利用绝对值的几何意义或绝对值三角不等式进行放缩(4)利用特殊点的函数值可探求范围；若函数解析式中含有绝对值，也可化为分段函数9跟踪训练 2(2016浙江)已知 a3，函数 F(x)min2| x1|， x22 ax4 a2，其中minp， qError!(1)求使得等式 F(x) x22 ax4 a2 成立的 x 的取值范围；(2)求 F(x)的最小值 m(a)；求 F(x)在区间0,6上的最大值 M(a)解
5、 (1)由于 a3，故当 x1 时，( x22 ax4 a2)2| x1| x22( a1)(2 x)0，当 x1 时，( x22 ax4 a2)2| x1|( x2)( x2 a)所以，使得等式 F(x) x22 ax4 a2 成立的 x 的取值范围是2,2 a(2)设函数 f(x)2| x1|， g(x) x22 ax4 a2，则 f(x)min f(1)0， g(x)min g(a) a24 a2，所以，由 F(x)的定义知 m(a)min ，f1， ga即 m(a)Error!当 0 x2 时， F(x) f(x)max 2 F(2)f0， f2当 22，所以 M(a)Error!1不
6、等式|2 x1|1 D x|x1答案 A解析 方法一 原不等式即为|2 x1|2(l0)对任意的实数 x 都成立，则正数 l 的取值范围为( )A(0,2 ) B(2 ，)3 3C(0,2 D2 ，)3 3答案 B解析 因为| f(x) f(x l)2| f(x) f(x l)|max|2 f(x)2|，|2 f(x l)2|，所以|2 f(x)2|2 或|2 f(x l)2|2，即 f(x)2 或 f(x l)2 的解集为 R，解 f(x)2 得x ，当 x 时，有 f(x l)2，解得 x l ，因为 l0，3 3 3 3 3 3所以由数形结合知 l ， l2 .所以正数 l 的取值范围为
7、(2 ，)3 3 3 38(2018金华十校调研)若 a， b， cR，且| a|1，| b|1，| c|1，则下列说法正确的是( )A. |ab bc ca32| |a2|B. |ab bc ca32| |a b2 |C. |ab bc ca32| |a b c2 |D以上都不正确答案 A解析 由题意知，1 ab bc ca3，对于选项 A， ， ，显然不|ab bc ca32| 12 |a2| 12等式成立，对 a， b， c 分别取特殊值，取 a1， b1， c0，排除选项 B，取a1， b0， c1，排除选项 C，故选 A.9若关于 x 的不等式| x| x a|0)的最小值为 ，则实
8、数 a_.|x1x a| |x 1x a| 3212答案 54解析 f(x) 2 x2 a|x1x a| |x 1x a| 2 x2 a 2 x2 a|(x1x a) (x 1x a)| |2x| 2 x2 a2 2 a42 a.2x 2x2x当且仅当 2 x，即 x1 时，等号成立2x由 42 a ，解得 a .32 54经验证，当 x1， a 时， 54 |x 1x a| |x 1x a| ，|(x1x a) (x 1x a)|即两处不等号取等条件相同11(2018嘉兴市基础测试)当 1 x3 时，|3 a2 b| a2 b| a| 对任意的(xmx 1)实数 a， b 都成立，则实数 m
9、 的取值范围是_答案 94， )解析 当 a0 时，不等式恒成立；当 a0 时，原问题可转化为当 1 x3 时， x 1mx对任意的实数 a， b 都成立，因为 4，所以当|3a 2b| |a 2b|a| |3a 2b| |a 2b|a| 4|a|a|1 x3 时， x 3，即 m x(3 x)恒成立设 f(x) x(3 x)(x1,3)，易得 f(x)mxmax ，所以只需 m f(x)max，即 m .综上，实数 m 的取值范围是 .94 94 94， )12(2018浙江十校联盟适应性考试)对任意的 x， yR，| x1| x| y1| y1|的最小值为_；若正实数 x， y， z 满足
10、 x22 y2 z21，则 t xy yz xz 的433 2最大值是_答案 3 62解析 由绝对值不等式的性质得| x1| x| y1| y1|(1 x) x|(1 y)(1 y)|3，131 x22 y2 z2 x2 y2 y2 z2 x2 z22 xy2 yz2 xz，23 43 23 12 13 12 223 33 66当且仅当 x y z 时等号成立，262 1 ，(2223xy 233yz 266xz)32 32即 t xy yz xz 的最大值为 .433 2 32 6213 (2018金 丽 衢 十 二 校 模 拟 )设 实 数 a， b， 则 “|a b2| |b a2| 1
11、”是 “ 2(a12)2 ”的( )(b12) 32A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件答案 A解析 2 2 a2 a b2 b a2 a b2 b1 b2 a a2 b1，令(a12) (b 12) 32 14 14 32b2 a x， a2 b y，| x| y| x y| x y，| x| y|1 x y1，而反之 x y1| x| y|1，故是充分不必要条件，故选 A.14(2018浙江六校协作体联考)已知函数 f(x) x1，若| f(x)1| a0 对1|fx 1|任意的 xR 且 x2 恒成立，则实数 a 的取值范围为_；不等式| f(2x)|5|
12、 f(2x1)|的解集为_答案 (，2) 12， 2解析 因为| f(x)1| a0 对任意的 xR 且 x2 恒成立，所以| f(x)1|1|fx 1|a 对任意的 xR 且 x2 恒成立，令 y| f(x)1| ，因为 y| f(x)1|fx 1| 1|fx 1|1| | x2| 2，当且仅当| x2| ，即 x1 或 x3 时等号1|fx 1| 1|x 2| 1|x 2|成立，所以实数 a 的取值范围为(，2)14不等式| f(2x)|5| f(2x1)|等价于|2 x1|5|2 x2|，等价于|2x1|2 x2|5，等价于Error!或Error!或Error!解得 x0，若集合A x
13、Z|2 x2 x a2|2 x2 x a2|2 a0中的元素有且仅有 2 个，则实数 a 的取值范围为_答案 1,2)解析 因为|2 x2 x a2|2 x2 x a2|(2 x2 x a2)(2 x2 x a2)|2 a，当且仅当 a2 x2 x2 a 时等号成立，所以集合 A 中有且仅有两个元素等价于不等式 a2 x2 x2 a 有且仅有两个整数解因为函数 f(x)2 x2 x22 2 的图象关于直线 x 对称，又 f(2)8， f(1)(x14) 178 141， f(0)2， f(1)1， f(2)4，作出函数 y f(x)的图象如图所示，由图知，要使 a2 x2 x2 a 有两个整数解，则 1 a2.16(2018绍兴诸暨市期末考试)已知 a， bR， f(x)|2 ax b|，若对于任意的xx0,4， f(x) 恒成立，则 a2 b_.12答案 2解析 因为 f(x)的几何意义为 g(x)2 ， h(x) ax b 图象上的点( x， g(x)，( x， h(x)x的竖直距离又由 f(x) 得 ax b 2 ax b 对任意的 x0,4恒成立，故12 12 x 12g(x)2 被夹在竖直距离为 1 的平行直线 y h(x) 之间，如图，所以直线x12y ax b 过点(0,0)，(4,4)，即 a1， b 0，从而 a2 b2.12 1215
