1、16.4 平面向量的应用最新考纲 考情考向分析会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.主要考查平面向量与函数、三角函数、不等式、数列、解析几何等综合性问题，求参数范围、最值等问题是考查的热点，一般以选择题、填空题的形式出现，偶尔会出现在解答题中，属于中档题.1向量在平面几何中的应用(1)用向量解决常见平面几何问题的技巧：问题类型 所用知识 公式表示线平行、点共线等问题共线向量定理 a ba bx1y2 x2y10，其中 a( x1， y1)， b( x2， y2)， b0垂直问题 数量积的运算性质a bab0 x1x2 y1y20，其中 a( x1， y1)， b( x2， y2)，且 a，
2、b 为非零向量夹角问题 数量积的定义 cos ( 为向量 a， b 的夹角)，其ab|a|b|中 a， b 为非零向量长度问题 数量积的定义|a| ，a2 x2 y2其中 a( x， y)， a 为非零向量(2)用向量方法解决平面几何问题的步骤平面几何问题 向量问题 解决向量问题 解决几何问题 设 向 量 运 算 还 原 2向量在解析几何中的应用向量在解析几何中的应用，是以解析几何中的坐标为背景的一种向量描述它主要强调向量的坐标问题，进而利用直线和圆锥曲线的位置关系的相关知识来解答，坐标的运算是考查的2主体3向量与相关知识的交汇平面向量作为一种工具，常与函数(三角函数)、解析几何结合，常通过向
3、量的线性运算与数量积，向量的共线与垂直求解相关问题概念方法微思考1根据你对向量知识的理解，你认为可以利用向量方法解决哪些几何问题？提示 (1)线段的长度问题(2)直线或线段平行问题(3)直线或线段垂直问题(4)角的问题等2如何用向量解决平面几何问题？提示 用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题然后通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题，最后把运算结果“翻译”成几何关系题组一 思考辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)若 ，则 A， B， C 三点共线( )AB AC (2)在 ABC 中，若 0， n0，则由 2 ，AB AC AB
4、AD 得( n,0)(m2， m)2( n,0)(m， m)，所以 n(m2)2 nm，化简得 m2.故 ( m， m)(m2， m)2 m22 m12.AD AC (2)(2018浙江联盟校联考)已知动点 P 是边长为 的正方形 ABCD 的边上任意一点， MN 是2正方形 ABCD 的外接圆 O 的一条动弦，且 MN ，则 的取值范围是_2 PM PN 答案 12， 2 1解析 如图，取 MN 的中点 H，连接 PH，则 ， ，因为PM PH 12NM PH 12MN PN PH 12MN MN ，所以 2 2 2 ，当且仅当点 P， H 重合时取到最小值当2 PM PN PH 14MN
5、PH 12 12P， H 不重合时，连接 PO， OH，易得 OH ，则 2( )22 PH PO OH 2 22 2 2 2| | |cos POH 2 | |cos POH 2PO PO OH OH PO 12 PO OH PO 12 2PO PO 12 | | ，当且仅当 P， O， H 三点共线，且 P 在 A， B， C， D 其中某一点处时取到2PO 32 2等号，所以 2 1，故 的取值范围为 .PM PN PH 12 2 PM PN 12， 2 16命题点 2 三角形的“四心”例 2 已知 O 是平面上的一定点， A， B， C 是平面上不共线的三个动点，若动点 P 满足 (
6、)， (0，)，则点 P 的轨迹一定通过 ABC 的( )OP OA AB AC A内心 B外心C重心 D垂心答案 C解析 由原等式，得 ( )，即 ( )，根据平行四边形法则，知OP OA AB AC AP AB AC 是 ABC 的中线 AD(D 为 BC 的中点)所对应向量 的 2 倍，所以点 P 的轨迹必过 ABCAB AC AD 的重心引申探究1在本例中，若动点 P 满足 ， (0，)，则如何选择？OP OA (AB |AB |AC |AC |)答案 A解析 由条件，得 ，OP OA (AB |AB |AC |AC |)即 ，而 和 分别表示平行于 ， 的单位向量，故 平AP (AB
7、 |AB |AC |AC |)AB |AB |AC |AC | AB AC AB |AB |AC |AC |分 BAC，即 平分 BAC，所以点 P 的轨迹必过 ABC 的内心AP 2在本例中，若动点 P 满足 ， (0，)，则如何选OP OA (AB |AB |cosBAC |AC |cosC)择？答案 D7解析 由条件，得 ，AP (AB |AB |cosBAC |AC |cosC)从而 AP BC (AB BC |AB |cosBAC BC |AC |cosC) |AB |BC |cos180 B|AB |cosB|AC |BC |cosC|AC |cosC0，所以 ，AP BC 则动点
8、 P 的轨迹一定通过 ABC 的垂心命题点 3 平面向量与解三角形例 3(1)O 是 ABC 的外心(三角形外接圆的圆心)若 ，则 BAC 等于( )AO 13AB 13AC A30B45C60D90答案 C解析 取 BC 的中点 D，连接 AD，则 2 .AB AC AD 由题意得 3 2 ，AO AD AD 为 BC 的中线且 O 为重心又 O 为外心， ABC 为正三角形， BAC60，故选 C.(2)在 ABC 中， AB8， AC6， AD 垂直 BC 于点 D， E， F 分别为 AB， AC 的中点，若 6，则 BC 等于( )DE DF A2 B1013C2 D1437答案 A
9、解析 由题意，知 DE AE4， DF AF3， | | |cos EDFDE DF DE DF 8| | |DE DF |DE |2 |DF |2 |EF |22|DE |DF | 6，|DE |2 |DF |2 |EF |2216 9 |EF |22| | ， BC2 .EF 13 13思维升华向量与平面几何综合问题的解法(1)坐标法把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决(2)基向量法适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量间的关系构造关于未知量的方程进行求解跟踪训练 1 (1)(2018杭州二模)设 P
10、 为 ABC 所在平面上一点，且满足3 4 m (m0)若 ABP 的面积为 8，则 ABC 的面积为_PA PC AB 答案 14解析 由 3 4 m ，PA PC AB 可得 ，37PA 47PC m7AB 可设 ，PD 37PA 47PC 则 D， A， C 共线，且 D 在线段 AC 上，可得 ，PD m7AB D 分 AC 的比为 43， C 到直线 AB 的距离等于 P 到直线 AB 的距离的 倍，74故 S ABC S ABP 814.74 74(2)(2018浙江十校联盟适应性考试)已知正方形 ABCD 的边长为 6，点 E， F 分别在边AD， BC 上，且 DE EA， C
11、F2 FB，如果对于常数 ，在正方形 ABCD 的四条边上(不含顶点)有且仅有 2 个不同的点 P，使得 ，则 的取值范围为_PE PF 答案 ( 3， 14)9解析 由题意作出图形如图所示，连接 EF，取 EF 的中点 G，连接 PG，则 ( )( )( )( ) 2 2 2 2 2 .由PE PF PG GE PG GF PG GE PG GE PG GE PG 14EF PG 374已知和图形可得以点 G 为圆心， PG 为半径的圆只能与 AB 相交，与 BC， AD， CD 相离，得PG ，易得 .(52， 3) ( 3， 14)题型二 向量在解析几何中的应用命题点 1 向量共线的应用
12、例 4 (1)已知向量 ( k,12)， (4,5)， (10， k)，且 A， B， C 三点共线，当 k0， n0)，则 mn1， ( x， n)， ( m x， n)PA PB 2 x2 mx n2 m2PA PB BA 2 n2 m2 n2 m2，(xm2) 34 34而 n2 m2 mn ，34 3 3(当 且 仅 当 n 32m时 ， “ ”成 立 )故当 x 且 n m，即当 m ， n ，m2 32 443 434x 时， 2取最小值 .12443 PA PB BA 3(2)(2018绍兴、诸暨期末)已知 ABC，满足 ，点 D 为线段 AB 上3AB |AB |2AC |AC
13、 |19AB AC |AB AC |一动点，若 的最小值为3，则 ABC 的面积 S 等于( )DA DC A9B9 C18D183 3答案 D解析 因为 ，3AB |AB |2AC |AC |19AB |AB AC |19AC |AB AC |所以由平面向量的基本定理得 ，记| |3 m，| |2 m(其中 m0)，3|AB |2|AC |19|AB AC | AB AC 则由| | m，得 cosA ，设 t (1 t0)，故 t (t )AB AC 19 12 DA AB DA DC AB AB AC 123 m2(3t2 t) m23，即 m212，14因此 S ABC | | |si
14、nA18 ，故选 D.12AB AC 3思维升华向量在解析几何中的“两个”作用(1)载体作用：向量在解析几何问题中出现，多用于“包装” ，解决此类问题的关键是利用向量的意义、运算脱去“向量外衣” ，导出曲线上点的坐标之间的关系，从而解决有关距离、斜率、夹角、轨迹、最值等问题(2)工具作用：利用 a bab0( a， b 为非零向量)， a ba b(b0)，可解决垂直、平行问题，特别地，向量垂直、平行的坐标表示对于解决解析几何中的垂直、平行问题是一种比较简捷的方法跟踪训练 2 (1)已知点 A 在椭圆 1 上，点 P 满足 ( 1) ( R)( O 是坐标x225 y29 AP OA 原点)，
15、且 72，则线段 OP 在 x 轴上投影的最大值为_OA OP 答案 15解析 因为 ( 1) ，所以 ，AP OA OP OA 即 O， A， P 三点共线，因为 72，OA OP 所以 | |272，OA OP OA 设 A(x， y)， OA 与 x 轴正方向的夹角为 ，线段 OP 在 x 轴上的投影为| |cos | |x| 15，OP 72|x|OA |2 72|x|x2 y2721625|x| 9|x|72216925当且仅当| x| 时取等号154(2)(2018浙江宁波高三适应性考试)已知点 M 为单位圆 x2 y21 上的动点，点 O 为坐标原点，点 A 在直线 x2 上，则
16、 的最小值为_AM AO 答案 2解析 由题意得 ( ) | |2 | |2| |cos ，其中 为向AM AO AO OM AO AO OM AO AO AO 量 和 的夹角，因为点 A 在直线 x2 上，所以| |2，则由二次函数的性质易得当OM AO AO | |2 时， | |2| |cos 取得最小值 42cos ，则当 cos 1，即向量AO AM AO AO AO 和 方向相反时， 取得最小值 2.OM AO AM AO 131在 ABC 中，( ) | |2，则 ABC 的形状一定是( )BC BA AC AC A等边三角形 B等腰三角形C直角三角形 D等腰直角三角形答案 C解
17、析 由( ) | |2，BC BA AC AC 得 ( )0，AC BC BA AC 即 ( )0,2 0， ，AC BC BA CA AC BA AC BA A90.又根据已知条件不能得到| | |，AB AC 故 ABC 一定是直角三角形2已知点 A(2,0)， B(3,0)，动点 P(x， y)满足 x2，则点 P 的轨迹是( )PA PB A圆 B椭圆C双曲线 D抛物线答案 D解析 (2 x， y)， (3 x， y)，PA PB (2 x)(3 x) y2 x2，PA PB y2 x6，即点 P 的轨迹是抛物线3(2018湖州质检)已知 O 是 ABC 的外心， C45，若 m n
18、(m， nR)，则OC OA OB m n 的取值范围是( )A ， B ，1)2 2 2C ，1) D(1， 2 2答案 B解析 O 是 ABC 的外心， C45， AOB90，又 m n ，OC OA OB 两边平方可得 m2 n21，( m n)22( m2 n2)2，14当且仅当 m n 时，等号成立， m n .2 2又由题意可知， m， n 不能同时为正， m n1，故 m n 的取值范围是 ，1)24(2018温州高考适应性测试)如图，已知 ABC 的边 BC 的垂直平分线交 BC 于点 Q，交AC 于点 P，若| |1，| |2，则 的值为( )AB AC AP BC A3 B
19、.32C. D.332答案 B解析 连接 AQ，因为 PQ 垂直平分 BC，所以 ， ( )，所PQ BC AQ 12AB AC 以 ( ) ( )( ) ( 2 2) (221 2) .故AP BC AQ QP BC AQ BC 12AB AC AC AB 12AC AB 12 32选 B.5过抛物线 y22 px(p0)的焦点 F 的直线 l 与抛物线在第一象限的交点为 A，与抛物线的准线的交点为 B，点 A 在抛物线的准线上的射影为 C，若 ， 48，则抛物线的AF FB BA BC 方程为( )A y28 x B y24 xC y216 x D y24 x2答案 B解析 如图所示，由
20、，得 F 为线段 AB 的中点，AF FB | AF| AC|， ABC30，由 48，得| BC|4 .BA BC 3则| AC|4，由中位线的性质，15有 p |AC|2，12故抛物线的方程为 y24 x.故选 B.6(2018浙江六校协作体联考)已知 O 为坐标原点， (3,1)，| | ，当 AOB 的OA OB 10面积取得最大值时， 等于( )AB A(2，4) B(4,2)C(2，4)或(4,2) D(2，4)或(4,2)答案 C解析 方法一 由于| | ，则点 B 在以点 O(0,0)为圆心， 为半径的圆上，由数形OB 10 10结合易知，要使 AOB 的面积取得最大值，则需满
21、足 .设 ( a， b)，则Error!解得OB OA OB Error!或 Error!当Error! 时， (1，3)，OB 则 (1，3)(3,1)(2，4)；AB OB OA 当Error! 时， (1,3)，OB 则 (1,3)(3,1)(4,2)AB OB OA 综上， (2，4)或(4,2)故选 C.AB 方法二 由于| | ，则点 B 在以点 O(0,0)为圆心， 为半径的圆上，由数形结合易OB 10 10知，要使 AOB 的面积取得最大值，则需满足 .在平面直角坐标系中，画出向量 ，OB OA OA ，OB 当 如图 1 所示时，过点 A 作 AA x 轴于点 A，过点 B
22、作 BB x 轴于点 B，则OB OBB AOA，又| | |，所以 Rt AOARt OBB，则OA OB |OB| AA|1，| BB| OA|3，所以 B(1，3)， (1，3)， (1，3)OB AB (3,1)(2，4)，当 如图 2 所示时，同理可得 B(1,3)， (1,3)， (1,3)(3,1)(4,2)，OB OB AB 综上， (2，4)或(4,2)故选 C.AB 167已知向量 (3，4)， (0，3)， (5 m，3 m)，若点 A， B， C 能构成三OA OB OC 角形，则实数 m 满足的条件是_答案 m54解析 由题意得 (3,1)， (2 m,1 m)，若
23、A， B， C 能构成三角形，则 ， 不共AB AC AB AC 线，则3(1 m)1(2 m)，解得 m .548(2009浙江改编)设向量 a， b 满足：| a|3，| b|4， ab0，以 a， b， a b 的模为边长构成三角形，则它的边与半径为 1 的圆的公共点个数最多为_答案 4解析 由| a|3，| b|4 及 ab0 知 a b，故 a， b， a b 构成直角三角形，且|a b|5.又其内切圆半径为 1.如图所示将内切圆向上或向下平移可知该圆与3 4 52该直角三角形最多有 4 个交点9已知圆 C：( x2) 2 y24，圆 M：( x25cos )2( y5sin )21
24、( R)，过圆 M上任意一点 P 作圆 C 的两条切线 PE， PF，切点分别为 E， F，则 的最小值是PE PF _答案 6解析 圆 C：( x2) 2 y24 的圆心为 C(2,0)，半径等于 2，圆 M：( x25cos )2( y5sin )21，圆心 M(25cos ，5sin )，半径等于 1.| CM|521，两圆相离17如图所示，设直线 CM 和圆 M 交于 H， G 两点，则 的最小值是 .PE PF HE HF |HC| CM|1514，|HE| HF| 2 ，HC2 CE2 16 4 3sin CHE ，CECH 12cos EHFcos2 CHE12sin 2 CHE
25、 ，12 | | |cos EHFHE HF HE HF 2 2 6.3 31210已知点 D 为 ABC 所在平面上一点，且满足 ，若 ACD 的面积为 1，则AD 15AB 45CA ABD 的面积为_答案 4解析 由 ，得 5 4 ，AD 15AB 45CA AD AB AC 所以 4( )，即 4 .AD AB AC AD BD DC 所以点 D 在边 BC 上，且| |4| |，BD DC 所以 S ABD4 S ACD4.11已知直线 2x y20 与 x 轴、 y 轴的交点分别为 A， B，椭圆 1( ab0)的左焦x2a2 y2b2点 F1和上顶点 D，若 0，则该椭圆的离心率
26、 e_.BF1 AD 答案 255解析 因为直线 2x y20 与 x 轴、 y 轴的交点分别为 A， B，所以 A(1,0)， B(0，2)，又 F1( c,0)， D(0， b)，所以 ( c,2)， (1， b)因为 0，BF1 AD BF1 AD 18所以 c2 b0，所以 ，即 ，所以 ，bc 12 a2 c2c2 12 a2c2 54所以该椭圆的离心率 e .ca 25512.如图，设正 BCD 的外接圆 O 的半径为 R ，点 A 在 BD 下方的圆弧上，则(120， b0)的左、右焦点，点 P 在第一象限，x2a2 y2b2且满足| | a，( ) 0，线段 PF2与双曲线 C
27、 交于点 Q，若 5 ，则F2P F1P F1F2 F2P F2P F2Q 双曲线 C 的渐近线方程为( )19A y x B y x55 12C y x D y x32 33答案 B解析 由( ) 0，F1P F1F2 F2P 可得| | |2 c，| QF1| a，| QF2| ，F1P F1F2 115 a5在 QF1F2中，由余弦定理得，cos F1F2Q ，|F1F2|2 |QF2|2 |QF1|22F1F2QF2 |F2P|2|F1F2|即 ， c a， b a，双曲线的渐近线方程为 y x.4c2 a225 121a22522ca512a2c 52 12 1214(2018浙江杭
28、州市地区联考)在 ABC 中， AB5， AC4， BAC60， M 为 ABC 内一点， S MAB S MCB S MAC123，则 等于( )MA MC A. B C. D259 259 2536 2536答案 C解析 如图，延长 BM 交 AC 于点 D，由 S MAB S MCB S MAC123，可得 S MAC S12CAB，所以 M 为 BD 的中点，设 k，则 S ABD kS CBD， S AMD kSS ABDS CBD ADDC S AMDS CMDCMD，两式相减得 S MAB kS MCB，故 k .12所以 MA MD DA 12BD 13AC ，12(13AC
29、AB ) 13AC 16AC 12AB MC MD DC 12BD 23AC 20 .12(13AC AB ) 23AC 56AC 12AB 所以 MA MC ( 16AC 12AB ) (56AC 12AB ) 2 2 536AC 14AB 13AB AC 16 25 54 .536 14 13 12 253615(2018杭州市高级中学仿真测试)记 mina， bError!已知向量 a， b， c 满足|a|1，| b|2，且 ab1，若 c a b( ， 0，且 2 1)，则当minac， bc取最大值时，| c|_.答案 1解析 设向量 a 与 b 的夹角为 ，则 ab| a|b|c
30、os 2cos 1，所以 cos ，所12以 60，不妨设 a(1,0)， b(1， )，则 c( ， )(1 ， )，所3 3 3以 ac1 ， bc12 .由 0，得 1 12 ，所以 minac， bc1 ，因为 12 0，解得 ，所以 ，所以当 0 时，12 0， 12minac， bc取得最大值，此时 c(1,0)，则| c|1.16(2018台州质检)在 ABC 中，内角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c，点 P 是其外接圆 O 上的任意一点，若 a2 ， b c ，则 2 2 2的最大值为_3 7 PA PB PC 答案 914解析 以 BC 的中点 O为原点，以
31、所在方向为 x 轴正方向， 所在方向为 y 轴正方O C O A 向，建立平面直角坐标系，则 A(0,2)， B( ，0)， C( ，0)，可得外接圆的圆心 O 为3 3，半径为 ，所以圆 O 的方程为 x2 2 .设 P ，(0，14) 74 (y 14) 4916 (74cos ， 74sin 14)则 ，PA ( 74cos ， 74sin 74) ，PB ( 74cos 3， 74sin 14) ，PC ( 74cos 3， 74sin 14)所以2 2 2 2 2 2 2 2PA PB PC (74cos ) (74sin 74) (74cos 3) (74sin 14) (74cos 3)212 sin .(74sin 14) 1478 358 1478 358 914
