1、1专题检测（七） 导数的简单应用A 组“633”考点落实练一、选择题1已知函数 f(x)的导函数 f( x)满足下列条件： f( x)0 时， x2； f( x)0， xln a，代入曲线方程得 y1 ln a，所以切线方程为 y(1ln a)2( xln a)，即 y2 xln a12 x1 a1.3(2019 届高三广州高中综合测试)已知函数 f(x) x3 ax2 bx a2在 x1 处的极值为 10，则数对( a， b)为( )A(3,3) B(11,4)C(4，11) D(3,3)或(4，11)解析：选 C f( x)3 x22 ax b，依题意可得Error!即Error! 消去
2、b 可得 a2 a120，解得 a3 或 a4，故Error!或Error!当Error!时，f( x)3 x26 x33( x1) 20，这时 f(x)无极值，不合题意，舍去，故选 C.4已知 f(x) x2 ax3ln x 在(1，)上是增函数，则实数 a 的取值范围为( )A(，2 B.6 ( ，62C2 ，) D5，)6解析：选 C 由题意得 f( x)2 x a 0 在(1，)上恒成立3x 2x2 ax 3xg(x)2 x2 ax30 在(1，)上恒成立 a2240 或Error!2 a262或 Error!a2 ，故选 C.6 65(2018全国卷)设函数 f(x) x3( a1)
3、 x2 ax，若 f(x)为奇函数，则曲线y f(x)在点(0,0)处的切线方程为( )A y2 x B y xC y2 x D y x解析：选 D 法一： f(x) x3( a1) x2 ax， f( x)3 x22( a1) x a.又 f(x)为奇函数， f( x) f(x)恒成立，即 x3( a1) x2 ax x3( a1) x2 ax 恒成立， a1， f( x)3 x21， f(0)1，曲线 y f(x)在点(0,0)处的切线方程为 y x.法二：易知 f(x) x3( a1) x2 ax xx2( a1) x a，因为 f(x)为奇函数，所以函数 g(x) x2( a1) x
4、a 为偶函数，所以 a10，解得 a1，所以 f(x) x3 x，所以 f( x)3 x21，所以 f(0)1，所以曲线 y f(x)在点(0,0)处的切线方程为 y x.故选 D.6函数 f(x)(x0)的导函数为 f( x)，若 xf( x) f(x)e x，且 f(1)e，则( )A f(x)的最小值为 e B f(x)的最大值为 eC f(x)的最小值为 D f(x)的最大值为1e 1e解析：选 A 设 g(x) xf(x)e x，所以 g( x) f(x) xf( x)e x0，所以 g(x) xf(x)e x为常数函数因为 g(1)1 f(1)e0，所以 g(x) xf(x)e x
5、 g(1)0，所以 f(x) ， f( x) ，exx ex x 1x2当 01 时， f( x)0，所以 f(x) f(1)e.二、填空题7(2019 届高三西安八校联考)曲线 y2ln x 在点(e 2,4)处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为_解析：因为 y ，所以曲线 y2ln x 在点(e 2,4)处的切线斜率为 ，所以切线方程2x 2e23为 y4 (xe 2)，即 x y20.令 x0，则 y2；令 y0，则 xe 2，所以切2e2 2e2线与坐标轴所围成的三角形的面积 S e22e 2.12答案：e 28已知函数 f(x) x25 x2ln x，则函数 f(x)的单调递增区间
6、是_解析：函数 f(x) x25 x2ln x 的定义域是(0，)，令 f( x)2 x5 2x 0，解得 02，故函数 f(x)的单调递增区间是2x2 5x 2x x 2 2x 1x 12和(2， )(0，12)答案： 和(2，)(0，12)9若函数 f(x) x aln x 不是单调函数，则实数 a 的取值范围是_解析：由题意知 f(x)的定义域为(0，)， f( x)1 ，要使函数 f(x) x aln axx 不是单调函数，则需方程 1 0 在(0，)上有解，即 x a， a0，得 ln 20，所以 f(x)在0,1上单调递增，所以 f(x)max f(1)e1.11(2018潍坊统一
7、考试)已知函数 f(x) axln x， F(x)e x ax，其中 x0， a0，1x ax 1x a0，即 F(x)在(0，)上单调递增，不合题意，当 a0，得 xln( a)；由 F( x)1.xln x(1)若 f(x)在(1，)上单调递减，求实数 a 的取值范围；(2)若 a2，求函数 f(x)的极小值解：(1) f( x) a，ln x 1ln2x由题意可得 f( x)0 在(1，)上恒成立， a 2 .1ln2x 1ln x ( 1ln x 12) 14 x(1，)，ln x(0，)，当 0 时，函数 t 2 的最小值为 ，1ln x 12 ( 1ln x 12) 14 14 a
8、 ，即实数 a 的取值范围为 .14 ( ， 14(2)当 a2 时， f(x) 2 x(x1)，xln xf( x) ，ln x 1 2ln2xln2x令 f( x)0，得 2ln2xln x10，解得 ln x 或 ln x1(舍去)，即 xe12.12当 1e12时， f( x)0， f(x)的极小值为 f(e12) 2e124e .e12B 组大题专攻补短练1(2019 届高三益阳、湘潭调研)已知函数 f(x)ln x ax2 x， aR.5(1)当 a0 时，求曲线 y f(x)在点(e， f(e)处的切线方程；(2)讨论 f(x)的单调性解：(1)当 a0 时， f(x)ln x
9、x， f(e)e1， f( x) 1， f(e)1 ，1x 1e曲线 y f(x)在点(e， f(e)处的切线方程为 y(e1) (xe)，即 y x.(11e) (1e 1)(2)f( x) 2 ax1 ， x0，1x 2ax2 x 1x当 a0 时，显然 f( x)0， f(x)在(0，)上单调递增；当 a0 时，令 f( x) 0，则2 ax2 x10，易知其判别式为正， 2ax2 x 1x设方程的两根分别为 x1， x2(x10. 2ax2 x 1x 2a x x1 x x2x令 f( x)0，得 x(0， x2)，令 f( x)0.a x 1x2(1)求函数 f(x)的单调区间；(2
10、)若直线 x y10 是曲线 y f(x)的切线，求实数 a 的值(3)设 g(x) xln x x2f(x)，求 g(x)在区间1，e上的最小值(其中 e 为自然对数的底数)解：(1)因为函数 f(x) ，a x 1x2所以 f( x) ，a x 1 x2 x2 a x 1x4 a 2 xx3由 f( x)0，得 02，故函数 f(x)的单调递增区间为(0,2)，单调递减区间为(，0)和(2，)(2)设切点为( x0， y0)，由切线斜率 k1 x ax02 a，a 2 x0x30 306由 x0 y01 x0 10( x a)(x01)0 x01， x0 .a x0 1x20 20 a把
11、x01 代入得 a1，把 x0 代入得 a1，a把 x0 代入无解，a故所求实数 a 的值为 1.(3)因为 g(x) xln x x2f(x) xln x a(x1)，所以 g( x)ln x1 a，由 g( x)0，得 xea1 ；由 g( x)0， f(x)在(0，)上单调递增；当 m0 时，令 f( x)0，得 0 ，m2m f(x)在 上单调递增，在 上单调递减(0，m2m) (m2m， )(2)由(1)知，当 m0 时， f(x)在(0，)上单调递增，无最大值当 m0 时， f(x)在 上单调递增，在 ，上单调递减(0，m2m) m2m f(x)max f ln 2 m nln 2
12、 ln m nln 2，(m2m) m2m 14m 12 12 n ln m ， m n m ln m .12 12 12 12令 h(x) x ln x (x0)，12 127则 h( x)1 ，12x 2x 12x由 h( x)0，得 x ，12 12 h(x)在 上单调递减，在 上单调递增，(0，12) (12， ) h(x)min h ln 2，(12) 12 m n 的最小值为 ln 2.124(2018泉州调研)设函数 f(x)ln( x a) x.(1)若直线 l： y xln 3 是函数 f(x)的图象的一条切线，求实数 a 的值23 23(2)当 a0 时，关于 x 的方程
13、f(x) x2 x m 在区间1,3上有解，求 m 的取值范103围解：(1) f(x)ln( x a) x， f( x) 1，1x a设切点为 P(x0， y0)，则 1 ， x0 a3.1x0 a 23又 ln(x0 a) x0 x0ln 3 ，23 23ln 3 x0 x0ln 3 ， x02， a1.23 23(2)当 a0 时，方程 f(x) x2 x m，103即 ln x x2 x m.73令 h(x)ln x x2 x(x0)，则 h( x) 2 x .73 1x 73 3x 1 2x 33x当 x1,3时， h( x)， h(x)随 x 的变化情况如下表：x 1 (1， 32) 32 (32， 3) 3h( x) 0 h(x) 43 极大值 ln 32 h(1) ， h(3)ln 32 ， h ln ，43 43 (32) 32 548当 x1,3时， h(x) ，ln 3 2， ln 32 54 m 的取值范围为 .ln 3 2， ln 32 54
