1、12018-2019 学年四川省雅安中学高二上学期期中考试数学（理）试题注 意 事 项 ：1 答 题 前 ， 先 将 自 己 的 姓 名 、 准 考 证 号 填 写 在 试 题 卷 和 答 题 卡 上 ， 并 将 准 考 证 号 条 形 码 粘 贴在 答 题 卡 上 的 指 定 位 置 。2 选 择 题 的 作 答 ： 每 小 题 选 出 答 案 后 ， 用 2B 铅 笔 把 答 题 卡 上 对 应 题 目 的 答 案 标 号 涂 黑 ， 写在 试 题 卷 、 草 稿 纸 和 答 题 卡 上 的 非 答 题 区 域 均 无 效 。3 非 选 择 题 的 作 答 ： 用 签 字 笔 直 接 答
2、在 答 题 卡 上 对 应 的 答 题 区 域 内 。 写 在 试 题 卷 、 草 稿 纸 和答 题 卡 上 的 非 答 题 区 域 均 无 效 。4 考 试 结 束 后 ， 请 将 本 试 题 卷 和 答 题 卡 一 并 上 交 。一、单选题1下列命题中正确的是A经过点 的直线都可以用方程 表示0(0,0) 0=(0)B经过定点 的直线都可以用方程 表示(0,) =+C经过任意两个不同点 的直线都可用方程 1(1,1),2(2,2) (21)(1)表示=(21)(1)D不经过原点的直线都可以用方程 表示+=12设 是两条不同的直线， 是两个不同的平面，下列命题中正确的是, ,A若 ，则 B若
3、 ,则, /, /C若 ,则 D若 ， 则, ,/,/3已知直线 平行，则实数 的值为1:(3+)+4=53,2:2+(5+)=8 A B C 或 D7 1 1 71334已知实数 x，y 满足 x2+y2=1，则 x+y 的取值范围是3A（-2，2） B（- ，2 C D（-2，+ ） 2,2 5已知直线 过定点 ，点 在直线 上，则 的最小值是:+2=0 (,) 2+1=0 |A B C D10355 6 356若直线 过点 ，斜率为 1，圆 上恰有 3 个点到 的距离为 1，则 的值为 (0,) 2+2=4 A B C D32 32 2 27已知直线 l： y x m 与曲线 有两个公共
4、点，则实数 m 的取值范围是=12A1, ) B( ，1 C1， ) D( ，12 2 2 28圆 与直线 l 相切于点 ，则直线 l 的方程为2+2+4+2=0 (3,1)A B C D+4=0 +4=0 +2=0 +2=09 为顶点的正四面体 的底面积为 ， 为 的中点，则 与 所成角的余弦值为 3 A B C D33 32 36 1610执行如图所示的程序框图，若输入 ，则输出的 值为=8 A B C D334 12 5211已知三棱锥 的四个顶点都在球 的球面上， 平面 ， 是边PAOPABCA长为 2 的等边三角形，若球 的体积为 ，则直线 与平面 所成角的正切值为O823CA B
5、C D31211012点 在曲线 上运动， ，且 的(,) :24+221=0 =2+2+1212150 最大值为 ，若 ， ，则 的最小值为 +1+1+1A1 B2 C3 D413已知复数 ，若 ，则 =+(,) 3+3=+(1) |=A B C D52 2 514已知集合 , ，则 =|22110) 34,2内恰好取得一次最大值 2，则 的取值范围是0,2 A B C D(0,23 14,23 (0,34 14,3424已知函数 ，若对任意的 且 ，都有()=(1)3122+2 1,2(0,+), 12，则实数 的取值范围是1(1)+2(2)2(1)+1(2) A B C D(,3) (,
6、3 (,13) (,13二、填空题25在空间直角坐标系中，点（1，2，3）关于 面对称的点的坐标为 _26已知直线 ： 和 ： 垂直，则实数 的值为1 +31=0 2 2+(1)+1=0 _27若 为圆 的弦 的中点，则直线 的方程是2,P25xyABAB_.28若动点 在直线 上，动点 Q 在直线 上，记线段 的中点为 :22=0 :26=0 ，且 ，则 的取值范围为 _.(0,0) (02)2+(0+1)25 20+2029已知实数 x、 y 满足 ，则目标函数 的最小值为_+503+0 =+230已知函数 是定义在 上的奇函数，则 _.()=2+22+1 =31如图，在底面为正方形的四棱
7、锥 中， ，点 为棱=2 的中点，则异面直线 与 所成角的余弦值为_ 32若数列 满足 ， ，数列 的通项公式 1=1 (1)(+1)=321() ，则数列 的前 10 项和 _= +1(21)(2+11) 10=三、解答题33设直线 的方程为 (+1)+2=0 ()3（1）若 在两坐标轴上的截距相等，求 的方程； （2）若 不经过第二象限，求实数 的取值范围 34已知两圆 x2+y22x+10y24=0 和 x 2+y2+2x+2y8=0（1）判断两圆的位置关系；（2）求公共弦所在的直线方程及公共弦的长35如图所示，在四棱锥 中， 平面 ， ， ， /.=12=2（1）求证： ；（2）当几何
8、体 的体积等于 时，求四棱锥 的侧面积.43 36已知圆 M 过 C(1,-1),D(-1,1)两点，且圆心 M 在 x+y-2=0 上（1）求圆 M 的方程；（2）设点 P 是直线 3x+4y+8=0 上的动点，PA,PB 是圆 M 的两条切线，A,B 为切点，求四边形PAMB 面积的最小值37如图，在四棱锥 中， 平面 ，四边形 是菱形， ， ，且 ， 交于点 ， 是 上任意一点=2 =23 （1）求证： ；（2）若 为 的中点，且二面角 的余弦值为 ，求 与平面 所成角 的正弦 217 值38已知直线 l：y=k（x+2 ）与圆 O：x 2+y2=4 相交于不重合的 A、B 两点，O 是
9、坐标原点，2且三点 A、B、O 构成三角形（1）求 k 的取值范围；（2）三角形 ABO 的面积为 S，试将 S 表示成 k 的函数，并求出它的定义域；（3）求 S 的最大值，并求取得最大值时 k 的值39已知等比数列 中， 依次是某等差数列的第 5 项、第 3 项、第 2 项，且 ， 3,4,5 1=32公比 1（1）求 ； （2）设 ，求数列 的前 项和=2 40已知 分别为 三个内角 的对边，向量 ， 且, , =(,) =(,).=2（1）求角 的大小；（2）若 ，且 面积为 ，求边 的长.+=3 63 41在 中， ， 分别为 ， 的中点， ，如图 1.以 为折痕将 =2=2 折起，
10、使点 到达点 的位置，如图 2. 如图 1 如图 2（1）证明：平面 平面 ； （2）若平面 平面 ，求直线 与平面 所成角的正弦值。 42在数列 中, 已知 ，且数列 的前 项和 满足 , . 1=1 4+13=4 （1）证明数列 是等比数列； 4（2）设数列 的前 项和为 ，若不等式 对任意的 恒成立, 求 +(34)160)22增区间，结合已知可得 ， ，可解得 0 ，又函数在区间0，2上恰好22 34,2 23取得一次最大值，根据正弦函数的性质可得 ，得 ，进而得解14 22 14【详解】=2sinx ，()=(+3)3(+3) (0) ， 是函数含原点的递增区间22又函数在 上递增，
11、34,2 ， ，22 34,2得不等式组： ，且 ，234 2 2又0，0 ，23又函数在区间0，2上恰好取得一次最大值，根据正弦函数的性质可知 且 14 2254 22可得 ， 综上：14 54) 14,23故选：B【点睛】本题主要考查正弦函数的图象和性质，研究有关三角的函数时要利用整体思想，灵活应用三角函数的图象和性质解题，属于中档题24D【解析】【分析】将 x1f（x 1）+x 2f（x 2）x 1f（x 2）+x 2f（x 1）变形得f（x 1）f（x 2）（x 1x 2）0，进而分析函数 f（x） 为增函数或常数函数 ,据此可得答案在 (0,+)【详解】根据题意，将 x1f（x 1）
12、+x 2f（x 2）x 1f（x 2）+x 2f（x 1）变形可得f（x 1）f（x 2）（x 1x 2）0，所以函数 f（x） 为增函数或常数函数 .在 (0,+)当 f（x） 为增函数时，则 f（x）=x -3kx -x ，在 (0,+) ex 2 0在 (0,+)恒成立所以 3k ，h（x）= ，（ ex-1x ） ex-1xh（x） = 0, h(x) 为增函数, (1)+12 在(0,+)x , h(x) 1 3k ， k .0 113因为 f（x） 不可能为常数函数，（舍） 所以 k .在 (0,+)13故选：D【点睛】本题考查函数单调性的判定与应用，关键是依据 x1f（x 1）+
13、x 2f（x 2）x 1f（x 2）+x 2f（x 1），判断出函数 f（x） 为增函数或常数函数，利用导数求出 k 的范围，属于中档题.在 (0,+)25(-1，2，3)【解析】【分析】在空间直角坐标系中，点（x，y，z）关于平面 yoz 对称的点坐标是（-x，y，z）【详解】在空间直角坐标系中，点（1，2，3）关于平面 xoy 对称的点坐标是（-1，2，3）故答案为：（-1，2，3）【点睛】本题考查点的坐标的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意空间直角坐标系的性质的合理运用26 35【解析】【分析】对 a 分类讨论，利用相互垂直的直线斜率之间的关系即可得出【详解】a=1 时，两条直线不垂
14、直，舍去a1 时，由 =1 ，解得 a= 3 ( 21) 35故答案为： 35【点睛】本题考查了分类讨论、相互垂直的直线斜率之间的关系，考查推理能力与计算能力，属于基础题27 30xy【解析】设圆心为 C，则 C(1，0)，由圆的性质有 ，而直线 PC 的斜率PCAB，因为 ，所以直线 AB 的斜率为 1，又直线 AB 过点 ，所112k1ABk 2,1P以直线 AB 的方程为 ，即 .2yx30y28165,16【解析】【分析】根据题意判断出点 M 的轨迹，利用点到直线的距离公式求得最小值，进而联立直线和圆的方程求得点 B 的坐标，即可求得最大值，得到答案.【详解】因为动点 在直线 上，动点
15、 Q 在直线 上， :22=0 :26=0直线 与直线 狐仙平行，:22=0 :26=0动点 在直线 上，动点 在直线 上， 所以 的中点 在与 平行，且到 的距离相等的直线上， , ,设该直线为 ，其方程为 ， 2+=0因为线段 的中点为 ，且 ， (0,0) (02)2+(0+1)25点 在圆 的内部或在圆上，(0,0) (2)2+(+1)2=5设直线 角圆于 ，可得点 在线段 上运动， , 因为 表示的几何意义为线段上的点到原点的距离的平方，20+20=|2,20+20所以原点到直线 的距离的平方为最小，所以 的最小值为 ， 为最大，20+20 ( |4|1+4)2=165 联立 ，解得
16、 ，24=0(+(=5 (4,0),(0,2)当 与 重合时， 的最大值为 ，即 的最大值为 ， 20+20 42+02=16 20+20 16所以 的取值范围是 .20+20 165,16【点睛】本题主要考查了直线与圆的方程的综合应用，同时解答中涉及到直线的方程，圆的方程和点到直线的距离公式等基础知识的综合运用，着重考查了函数与方程思想，以及转化的数学思想的应用，试题有一定难度，属于中档试题.29 3【解析】满足条件的点 的可行域如下：(,)由图可知，目标函数 在点 处取到最小值-3=+2 (3,3)301【解析】依题意可得， ，则 ，解得(0)=0222 =0 =1当 时， ，则=1()=
17、212+1 ()=212+1=121+2=()所以 为奇函数，满足条件，故() =131 36【解析】【分析】做出平行四边形，将要求的角转化为角 GFD 或其补角为所求角，在三角形 FDG 中应用余弦定理得到夹角的余弦值.【详解】取 PD 的中点记为 F 点，BC 的中点记为 点，连接 FG，GD，因为 ，且 ，EF/BC=12，故得到四边形 EFGB 为平行四边形，故角 GFD 或其补角为所求角，根据题干得到，三角=12形 PAB 为等边三角形，BF 为其高线，长度为 ，FG= ，DG= ，3 3 2+2=5FD=1，根据余弦定理得到 ，因为异面直线夹角为直角或锐角，故取=3+1523 =3
18、6正值，为： .36故答案为： .36【点睛】这个题目考查的是异面直线的夹角的求法；常见方法有：将异面直线平移到同一平面内，转化为平面角的问题；或者证明线面垂直进而得到面面垂直，这种方法适用于异面直线垂直的时候.3220462047【解析】【分析】对于 ，当 n=1，代入得 -4,依次得(1)(+1)=321 a2=发现规律， 利用 ，求出 .a3=10， a4=-22， a5=46.= +1(21)(2+11) 10【详解】由 ，当 n=1，代入得 -4,依次得(1)(+1)=321 a2=发现规律， 利用a3=322-2， a4=-323+2， a5=324-2， a6=-325+2， a
19、7=326-2.，得 b =- ， ，求= +1(21)(2+11) 1 43 b2= 1037， b3=- 22715， b4= 461531， b5=- 943163.出 .10=20462047故答案为：20462047【点睛】本题考查的是在数列中，给了递推公式不好求通项公式时，可以列举几项再发现规律，求出题中要求的前 10 项和，属于中档题.33（1） 或 ；（2） .3+=0 +2=0 1【解析】(1)当直线过原点时，该直线在 x 轴和 y 轴上的截距均为零，a2，即方程为 3xy0 符合题意当直线不过原点时，由截距存在且均不为 0， a2 ，即 a11，2+1a0，即方程为 xy2
20、0.(2)(解法 1)将 l 的方程化为 y(a1)xa2，（ 1） 0， 20 或 （ 1） 0， 20. a1.综上可知 a 的取值范围是 a1.(解法 2)将 l 的方程化为(xy2)a(x1)0(aR)它表示过 l1：xy20 与l2：x10 交点(1，3)的直线系(不包括 x1)由图象可知 l 的斜率(a1)0，即 a1时，直线 l 不经过第二象限34（1）见解析； （2）x2y+4=0； .25【解析】【分析】(1)先求出|C 1C2|= ，再判(1+1)2+(5+1)2=25,1+2=52+10,12=2210断两圆的位置关系.(2)把两圆方程相减得到相交弦的直线方程，再利用弦长
21、公式求公共弦长.【详解】（1）将两圆化为标准方程，得 C1：（x1） 2+（y+5） 2=50，C 2：（x+1） 2+（y+1） 2=10圆 C1的圆心为（1，5），半径为 r1=5 ；圆 C2的圆心为（1，1），半径为 r2= 。2 10又|C 1C2|= ，(1+1)2+(5+1)2=25,1+2=52+10,12=2210可得 r 1r 2|C 1C2|r 1+r2，两圆相交。（2）将两圆的方程相减，得 4x8y+16=0，化简得：x2y+4=0，公共弦所在直线的方程是 x2y+4=0 由（2）知圆 C1的圆心（1，5）到直线 x2y+4=0 的距离 ，=|12(5)+4|12+(2)
22、2 =35由此可得，公共弦的长 。=2212=25045=25【点睛】本题主要考查两圆的位置关系,考查直线和圆的位置关系,考查弦长计算,意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.35（1）证明见解析；（2） .6+22+26【解析】【分析】（1）连结 BD，取 CD 的中点 F，连结 BF，证明 BCBD，BCDE，即可证明 BC平面BDE，推出 BCBE（2）利用体积求出 DE=2，然后求解 EA，通过就是 BE2=AB2+AE2，证明 ABAE，然后求解四棱锥 EABCD 的侧面积【详解】（1）连结 BD，取 CD 的中点 F，连结 BF，则直角梯形 ABCD 中，BFCD，BF=C
23、F=DF，CBD=90即：BCBDDE平面 ABCD，BC平面 ABCDBCDE又 BDDE=DBC平面 BDE由 BE平面 BDE 得：BCBE（2） ，=13=1312=23=43DE=2 ， ，=2+2=22 =2+2=23又 AB=2，BE 2=AB2+AE2ABAE四棱锥 EABCD 的侧面积为12+12+12+12=6+22+26【点睛】本题考查直线与平面垂直的判定定理的应用，几何体的体积以及侧面积的求法，考查空间想象能力以及计算能力36（1）（x1） 2+（y1） 2=4（2）2 【解析】试题分析：（1）设出圆的标准方程，利用圆 M 过两点 C（1，-1）、D（-1，1）且圆心
24、M 在直线 x+y-2=0 上，建立方程组，即可求圆 M 的方程；（2）四边形 PAMB 的面积为 S2 ，因此要求 S 的最小值，只需求|PM|的最小值即可，即|24在直线 3x+4y+8=0 上找一点 P，使得|PM|的值最小，利用点到直线的距离公式，即可求得结论试题解析：(1) 设圆 M 的方程为(xa) 2(yb) 2r 2(r0)，根据题意得 (1+(=2(+(1=2+2=0 解得 ab1，r2.故所求圆 M 的方程为(x1) 2(y1) 24.(2) 由题知，四边形 PAMB的面积为 SS PAM S PBM |AM|PA| |BM|PB|.又|AM|BM|2，|PA|PB|，所以
25、 S2|PA|.而|PA| .|2|2=|24即 S2 .|24因此要求 S 的最小值，只需求|PM|的最小值即可，即在直线 3x4y80 上找一点 P，使得|PM|的值最小，所以|PM| min ，|31+41+8|32+42 =3所以四边形 PAMB面积的最小值为 S2 2 2 .|24 32437（1）见解析； （2） .427【解析】【分析】（1）先求证 AC平面 PBD，再证 ACDE.(2)先证明 EO平面 ABCD，分别以 OA，OB，OE 所在直线为 x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，再利用向量法求出 EC 与平面 PAB 所成角 的正弦值.【详解】（1）因
26、为 DP平面 ABCD，所以 DPAC，因为四边形 ABCD 为菱形，所以 BDAC，又 BDPD=D，AC平面 PBD，因为 DE平面 PBD，ACDE（2）连接 OE，在PBD 中，EOPD，所以 EO平面 ABCD，分别以 OA，OB，OE 所在直线为 x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设 PD=t，则 A（1，0，0），B（0， ，0），C（1，0，0），3E（0，0， ）， P（0， ，t）2 3设平面 PAB 的一个法向量为 （x，y，z），=则 ，令 ，得 ，=+3=0=3+=0 =1 =(3,1,23)平面 PBD 的法向量 （1，0，0），=因为二面角 A
27、PBD 的余弦值为 ，217所以 ，|,|= 34+122=217所以 或 （舍），=2 =2则 =(0,3,2),(0,0,1),=(3,1,3),=(1,0,1) ，=|,|=|33|72 =427EC 与平面 PAB 所成角 的正弦值为 427【点睛】(1)本题主要考查空间几何元素位置关系的证明，考查直线和平面所成的角的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力。（2）直线和平面所成的角的求法方法一：（几何法）找 作（定义法） 证（定义） 指 求（解三角形），其关键是找到直线在平面内的射影作出直 线和平面所成的角和解三角形.方法二：（向量法） ，其中 是直线 的方向向量，=|
28、是平面的法向量， 是直线和平面所成的角. 38（1） 且 ；（2）S= （ 且 ）； （3）S 的最1设 , ()=42+16. ()=(1)=20故所求实数 的取值范围是 . (, 20)点睛：本题考查等比数列的判断，数列通项公式与前 n 项和的求法，恒成立问题的应用，考查计算能力43（1）极小值为 ，无极大值；（2）0 |1,212 【解析】【分析】（1）由 a=1，得函数 f（x）的解析式，求出其导函数以及导数为 0 的根，通过比较两根的大小找到函数的单调区间，进而求出 f（x）的极小值；（2）求导后按 a 1,或 ae2，或 1e2进行分类讨论，求出 a 的范围.【详解】（1） 时，
29、函数的定义域为 令 解得 或 （舍）时， ， 单调递减； 时， ， 单调递增列表如下1- 0 +单调递减 极小值 单调递增所以 时，函数的极小值为 ，函数无极大值. （2） ，其中 当 时， 恒成立， 单调递增，又因为所以函数 在区间 上有唯一的零点，符合题意。当 时， 恒成立， 单调递减，又因为所以函数 在区间 上有唯一的零点，符合题意。当 时，时， ， 单调递减，又因为所以函数 在区间 上有唯一的零点； 时， ， 单调递增，又因为所以当 时符合题意，即所以 时，函数 在区间 上有唯一的零点；所以 的取值范围是【点睛】本题考查函数的单调区间的求法，满足条件的实数的取值范围的求法综合性强，难度
30、大，具有一定的探索性解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化44（1） ；（2） .(0,3),(23,) (,1)【解析】【分析】(1)令 f(x)0 解得 0x 或 得 的单调区间.（2）法一：令 g（x）=f（x）-3 23 ()1+sinx+ 0 在 上恒成立，利用 g（ ）0，求出 a-1，再对 a-1 进行分类讨论.法二：变2 0， 2量分离，当 x=0 时，不等式恒成立；当 ，再构造新函数，(0, a(+12 )求最值即可.【详解】（1） 时 ，解得 或所以函数的单调递减区间是 ， （2）方法一，则只需 在 时恒成立，则 所以因为 ，所以1）当 时， ， 单调递减， ，
31、符合题意2）当 时，存在 ， 使得 ， 时， ， 单调递减， ，符合题意； 时， ， 单调递增， 时 取得最大值；因为 ，所以 所以令 ，其中则 ，单调递增， ，所以 ， 时 ，符合题意； 时， ， 单调递减； ，符合题意。所以 的取值范围是 方法二：即 当 时，不等式恒成立当 时，只需 成立令 ，则 令则所以当 时 ， 单调递减当 时 ， 单调递增又因为 ， 结合单调性可知 时 ， 时即 时 单调递减， 单调递增。时， 取得最小值 所以 的取值范围是【点睛】本题考查的是利用导数求单调区间和参数的范围，常用的有两种方法：函数法和分离法.函数法要注意的是按 a 分类标准进行讨论较为简单；分离法要注意的是 x 的范围能不能作为分母，属于中档题.
