1、111.1 平均变化率 假设下图是一座山的剖面示意图，并在上面建立平面直角坐标系 A 是出发点， H 是山顶爬山路线用函数 y f(x)表示自变量 x 表示某旅游者的水平位置，函数值 y f(x)表示此时旅游者所在的高度设点 A 的坐标为( x0， y0)，点 B 的坐标为( x1， y1)问题 1：若旅游者从 A 点爬到 B 点，则自变量 x 和函数值 y 的改变量 x， y 分别是多少？提示： x x1 x0， y y1 y0.问题 2：如何用 x 和 y 来刻画山路的陡峭程度？提示：对于山坡 AB，可用 来近似刻画山路的陡峭程度 y x问题 3：试想 的几何意义是什么？ y x y1 y
2、0x1 x0提示： 表示直线 AB 的斜率 y x y1 y0x1 x0问题 4：从 A 到 B，从 A 到 C，两者的 相同吗？ 的值与山路的陡峭程度有什么关 y x y x系？提示：不相同. 的值越大，山路越陡峭 y x1一般地，函数 f(x)在区间 x1， x2上的平均变化率为 .f(x2) f(x1)x2 x12平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化” ，或者说，曲线陡峭程度是平均变化率的“视觉化” 在函数平均变化率的定义中，应注意以下几点：(1)函数在 x1， x2上有意义；(2)在式子 中， x2 x10，而 f(x2) f(x1)的值可正、可负、可为 0.f(x2) f(x1)x2
3、x1(3)在平均变化率中，当 x1取定值后， x2取不同的数值时，函数的平均变化率不一定2相同；同样的，当 x2取定值后， x1取不同的数值时，函数的平均变化率也不一定相同对 应 学 生 用 书 P3求函数在某区间的平均变化率例 1 (1)求函数 f(x)3 x22 在区间2,2.1上的平均变化率；(2)求函数 g(x)3 x2 在区间2，1上的平均变化率思路点拨 求出所给区间内自变量的改变量及函数值的改变量，从而求出平均变化率精解详析 (1)函数 f(x)3 x22 在区间2,2.1上的平均变化率为： 12.3.f(2.1) f(2)2.1 2 (32.12 2) (322 2)0.1(2)
4、函数 g(x)3 x2 在区间2，1上的平均变化率为 g( 1) g( 2)( 1) ( 2)3( 1) 2 3( 2) 2( 1) ( 2) 3.( 5) ( 8) 1 2一点通 求函数平均变化率的步骤为：第一步：求自变量的改变量 x2 x1；第二步：求函数值的改变量 f(x2) f(x1)；第三步：求平均变化率 .f(x2) f(x1)x2 x11函数 g(x)3 x 在2,4上的平均变化率是_解析：函数 g(x)3 x 在2,4上的平均变化率为 g(4) g(2)4 2 3. 34 ( 3)24 2 12 62答案：32.如图是函数 y f(x)的图象，则：(1)函数 f(x)在区间1,
5、1上的平均变化率为_；(2)函数 f(x)在区间0,2上的平均变化率为_解析：(1)函数 f(x)在区间1,1上的平均变化率为 .f(1) f( 1)1 ( 1) 2 12 123(2)由函数 f(x)的图象知， f(x)Error!所以，函数 f(x)在区间0,2上的平均变化率为 .f(2) f(0)2 0 3 322 34答案：(1) (2)12 343本例条件不变，分别计算 f(x)与 g(x)在区间1,2上的平均变化率，并比较变化率的大小解：(1) 9.f(2) f(1)2 1 322 2 (312 2)2 1(2) 3.g(2) g(1)2 1 32 2 (31 2)2 1f(x)比
6、 g(x)在1,2上的平均变化率大实际问题中的平均变化率例 2 物体的运动方程为 S (位移单位：m；时间单位：s)，求物体在 t1 st 1到 t(1 t)s 这段时间内的平均速度思路点拨 求物体在某段时间内的平均速度，就是求位移的改变量与时间的改变量的比值精解详析 物体在1,1 t内的平均速度为S(1 t) S(1)(1 t) 1 (1 t) 1 1 1 t 2 t 2 t (r(2 t) r(2)(r(2 t) r(2) t(r(2 t) r(2) (m/s)12 t 2即物体在 t1 s 到 t(1 t)s 这段时间内的平均速度为 m/s.12 t 2一点通 平均变化率问题在生活中随处
7、可见，常见的有求某段时间内的平均速度、加速度、膨胀率、经济效益等分清自变量和因变量是解决此类问题的关键4圆的半径 r 从 0.1 变化到 0.3 时，圆的面积 S 的平均变化率为_解析： S r2，圆的半径 r 从 0.1 变化到 0.3 时，圆的面积 S 的平均变化率为 0.4.S(0.3) S(0.1)0.3 0.1 0.32 0.120.2答案：0.45在 F1赛车中，赛车位移(单位：m)与比赛时间 t(单位：s)存在函数关系4S10 t5 t2，则赛车在20,20.1上的平均速度是多少？解：赛车在20,20.1上的平均速度为 S(20.1) S(20)20.1 20 210.5(m/s
8、)(1020.1 520.12) (1020 5202)20.1 20 21.050.1函数平均变化率的应用例 3 甲、乙两人走过的路程 s1(t)， s2(t)与时间 t 的关系如图所示，试比较两人的速度哪个大？思路点拨 要比较两人的速度，其实就是比较两人走过的路程对时间的平均变化率，通过平均变化率的大小关系得出结论精解详析 在 t0处 s1(t0) s2(t0)，但 .v3v2v1答案： v3v2v17 A、 B 两机关开展节能活动，活动开始后，两机关每天的用电情况如图所示，其中W1(t)、 W2(t)分别表示 A、 B 两机关的用电量与时间第 t 天的关系，则下列说法一定正确的是_(填序
9、号)5两机关节能效果一样好； A 机关比 B 机关节能效果好； A 机关在0， t0上的用电平均变化率比 B 机关在0， t0上的用电平均变化率大； A 机关与 B 机关自节能以来用电量总是一样大解析：由图可知，在 t0 时， W1(0)W2(0)，当 t t0时， W1(t0) W2(t0)，所以 .|W1(t0) W1(0)t0 | |W2(t0) W2(0)t0 |故只有正确答案：1求函数在指定区间上的平均变化率应注意的问题(1)平均变化率的公式中，分子是区间两端点间的函数值的差，分母是区间两端点间的自变量的差(2)平均变化率公式中，分子、分母中被减数同时为右端点，减数同为左端点2一次函
10、数的平均变化率一次函数 y kx b(k0)在区间 m， n上的平均变化率为 f(n) f(m)n m k.由上述计算可知，一次函数 y kx b，在区间 m， n上的变化率与(kn b) (km b)n mm， n 的值无关，只与一次项系数有关，且其平均变化率等于一次项的系数3平均变化率的几何意义(1)平均变化率 表示点( x1， f(x1)，( x2， f(x2)连线的斜率，是曲线陡f(x2) f(x1)x2 x1峭程度的“数量化” (2)平均变化率的大小类似函数的单调性，可说明函数图象的陡峭程度对应课时跟踪训练(一)6一、填空题1函数 f(x) x21 在区间1,1.1上的平均变化率为_
11、解析： 2.1.f(1.1) f(1)1.1 1 (1.12 1) (12 1)1.1 1 0.210.1答案：2.12函数 f(x)2 x4 在区间 a， b上的平均变化率为_解析： 2.f(b) f(a)b a (2b 4) (2a 4)b a 2(b a)b a答案：23某人服药后，人吸收药物的情况可以用血液中药物的浓度 c(单位：mg/mL)来表示，它是时间 t(单位：min)的函数，表示为 c c(t)，下表给出了 c(t)的一些函数值：t/min 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90c(t)/(mg/mL)0.84 0.89 0.94 0.98 1.00 1.0
12、0 0.97 0.90 0.79 0.63服药后 3070 min 这段时间内，药物浓度的平均变化率为_解析： 0.002.c(70) c(30)70 30 0.90 0.9840答案：0.0024.如图所示物体甲、乙在时间 0 到 t1范围内路程的变化情况，则在0 到 t0范围内甲的平均速度_乙的平均速度，在 t0到 t1范围内甲的平均速度_乙的平均速度(填“等于” 、 “大于”或“小于”)解析：由图可知，在0， t0上，甲的平均速度与乙的平均速度相同；在 t0， t1上，甲的平均速度大于乙的平均速度答案：等于 大于5函数 y x32 在区间1， a上的平均变化率为 21，则 a_.解析：
13、a2 a121.(a3 2) (13 2)a 1 a3 1a 1解之得 a4 或 a5.又 a1， a4.答案：4二、解答题6已知函数 f(x)2 x21.求函数 f(x)在区间2,2.01上的平均变化率解：函数 f(x)在区间2,2.01上的平均变化率为 8.02.22.012 1 222 12.01 277求函数 ysin x 在 0 到 之间和 到 之间的平均变化率，并比较它们的大小 6 3 2解：在 0 到 之间的平均变化率为 ； 6sin 6 sin 0 6 0 3在 到 之间的平均变化率为 . 3 2sin 2 sin 3 2 3 3(2 r(3)2 ，33 3(2 r(3)函数
14、ysin x 在 0 到 之间的平均变化率为 ，在 到 之间的平均变化率为 6 3 3 2，故在 0 到 之间的平均变化率较大3(2 r(3) 68已知气球的表面积 S(单位：cm 2)与半径 r(单位：cm)之间的函数关系是 S(r)4 r2.求：(1)气球表面积 S 由 10 cm2膨胀到 20 cm2时的平均膨胀率即气球膨胀过程中半径的增量与表面积增量的比值；(2)气球表面积 S 由 30 cm2膨胀到 40 cm2时的平均膨胀率解：根据函数的增量来证明由 S(r)4 r2， r0，把 r 表示成表面积 S 的函数：r(S) .12 S(1)当 S 由 10 cm2膨胀到 20 cm2时，气球表面积的增量 S201010(cm 2)，气球半径的增量 r r(20) r(10) ( )0.37(cm)12 20 10所以气球的平均膨胀率为 0.037. r S 0.3710(2)当 S 由 30 cm2膨胀到 40 cm2时，气球表面积的增量 S ( )12 40 300.239(cm 2)所以气球的平均膨胀率为 0.023 9. r S 0.239108
