1、1第 3 章 空间向量与立体几何对应学生用书 P72一、空间向量的线性运算空间向量的线性运算包括加、减及数乘运算，选定空间不共面的向量作为基向量，并用它们表示出目标向量，这是用向量法解决立体几何问题的基本要求，解题时，可结合已知和所求，根据图形，利用向量运算法则表示所需向量二、空间向量的数量积由 ab| a|b|cos a， b可知，利用该公式可求夹角、距离还可由 ab0 来判定垂直问题，要注意数量积是一个数，其符号由 a， b的大小确定三、空间向量与平行和垂直空间图形中的平行与垂直问题是立体几何中最重要的问题之一，主要是运用直线的方向向量和平面的法向量解决利用空间向量解决空间中的位置关系的常
2、用方法有：(1)线线平行证明两条直线平行，只需证明两条直线的方向向量是共线向量 (2)线线垂直证明两条直线垂直，只需证明两直线的方向向量垂直，且 a bab0.(3)线面平行用向量证明线面平行的方法主要有：证明直线的方向向量与平面的法向量垂直；证明可在平面内找到一个向量与直线的方向向量是共线向量；利用共面向量定理，即证明可在平面内找到两不共线向量把直线的方向向量线性表示出来(4)线面垂直用向量证明线面垂直的方法主要有：证明直线的方向向量与平面的法向量平行；利用线面垂直的判定定理转化为线线垂直问题(5)面面平行证明两个平面的法向量平行(即是共线向量)；转化为线面平行、线线平行问题(6)面面垂直证
3、明两个平面的法向量互相垂直；转化为线面垂直、线线垂直问题2四、空间向量与空间角利用空间向量求空间角，一般有两种方法：即几何法和向量法，利用向量法只需求出直线的方向向量与平面的法向量即可(1)求两异面直线所成的角可利用公式 cos a， b ，但务必注意两异面直ab|a|b|线所成角 的范围是 ，而两向量之间的夹角的范围是0，(0， 2故实质上应有 cos |cos a， b|.(2)求线面角求直线与平面所成的角时，一种方法是先求出直线及此直线在平面内的射影直线的方向向量，通过数量积求出直线与平面所成的角；另一种方法是借助平面的法向量，先求出直线的方向向量与平面法向量的夹角 ，即可求出直线与平面
4、所成的角 ，其关系是 sin |cos |.(3)求二面角基向量法：利用定义在棱上找到两个能表示二面角的向量，将其用一组基底表示，再做向量运算；坐标法：建立空间直角坐标系，求得两个半平面的法向量 n1， n2，利用 cos n1， n2 结合图形求得n1n2|n1|n2|对 应 阶 段 质 量 检 测 (三 )见 8开 试 卷 (时间 120 分钟，满分 160 分)一、填空题(本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分将答案填在题中的横线上)1已知 a(3,2,5)， b(1， x，1)，且 ab2，则 x 的值是_解析： ab32 x52， x5.答案：52设 A、 B、 C、 D
5、 是空间不共面的四点，且满足 AB C0，AD0， 0 ，则 BCD 的形状是_解析： BCD 中， ( C )( D ) 20， B 为锐角，同理， C， D 均为锐角， BCD 为锐角三角形答案：锐角三角形3已知直线 l 与平面 垂直，直线的一个方向向量为 u(1,3， z)，向量3v(3，2,1)与平面 平行，则 z_.解析：平面 的法向量 u(1,3， z)， v 与平面 平行， uv ， uv133(2) z10， z3.答案：34已知空间三点 A(0,2,3)， B(2,1,6)， C(1，1,5)若| a| ，且 a 分别与3AB， C垂直，则向量 a 为 _解析：设 a( x，
6、 y， z)，(2，1,3)， A(1，3,2)则Error! 解得 a(1,1,1)或(1，1，1)答案：(1,1,1)或(1，1，1)5已知 A(1,5，2)， B(2,4,1)， C(x,3， y2)，且 A、 B、 C 三点共线，则实数x， y 的值分别为_、_.解析：若 A、 B、 C 三点共线，则 A， 也共线(1，1,3)，( x2，1， y1)， 1 . x3， y2.1x 2 3y 1答案：3 26已知向量 p 关于基底 a， b， c的坐标为(3,2，1)，则 p 关于基底2 a， b， c12的坐标是_解析：由已知得 p3 a2 b c，则 p (2a)(2)( b)(2
7、) .32 (12c)故 p 关于基底 的坐标为 .2a， b，12c (32， 2， 2)答案： (32， 2， 2)7已知直线 l1， l2的方向向量分别为 a， b，且 a(1,2，2)， b(2,3， m)，若l1 l2，则实数 m 的值为_解析： l1 l2， a b. ab1(2)23(2) m42 m0. m2.答案：28已知 a(cos ，1，sin )， b(sin ，1，cos )，则向量 a b 与 a b的夹角是_4解析：( a b)(a b) a2 b2(cos 2 sin 2 1)(sin 2 1cos 2 )0，( a b)( a b)答案：909已知向量 a(c
8、os ，sin ，1)， b( ，1,2)，则|2 a b|的最大值是3_解析：因为 2a b(2cos ，2sin 1,0)，3所以|2 a b| (2cos r(3)2 (2sin 1)2 4.8 8sin( f( ,3)答案：410平面 的法向量为 u(1，2，1)，平面 的法向量为 v(2,4,2)，则不重合的平面 与平面 的位置关系为_解析： v2(1，2，1)2 u， v u， .答案：平行11已知直角 ABC 中， C90， B30， AB4， D 为 AB 的中点，沿中线将ACD 折起使得 AB ，则二面角 A CD B 的大小为_13解析：如图，取 CD 中点 E，在平面 B
9、CD 内过 B 点作 BF CD，交 CD 延长线于 F.据题意知 AE CD，AE BF ， EF2， AB .3 13且 EA， FB为二面角的平面角，由 2( )2得1333423cos AE， FB ，cos， ，12 EA， FB120.即所求的二面角为 120.答案：120512.如图，在空间四边形 ABCD 中， AC 和 BD 为对角线， G 为 ABC 的重心， E 是 BD 上一点， BE3 ED，若以 AB， C， D为基底，则 E_.解析： GE D M23 A B ( AC)14 13 14 14 13 13 D.112 13 34答案： AB C112 13 341
10、3正方体 ABCD A1B1C1D1中， BB1与平面 ACD1所成角的余弦值为_解析：以 D 为原点，建立空间直角坐标系如图，设正方体棱长为1， D(0,0,0)， B1(1,1,1)， B(1,1,0)，则 1(0,0,1) B1D平面 ACD1，(1,1,1)为平面 ACD1的法向量设 BB1与平面 ACD1所成的角为 ，则 sin ，|1| | 13 33cos .63答案：6314已知 OA(1,2,3)， B(2,1,2)， OP(1,1,2)，点 Q 在直线 OP 上运动，则当 Q B取得最小值时，点 Q 的坐标为_解析： Q 在 OP 上，可设 Q(x， x,2x)，则(1 x
11、,2 x,32 x)，(2 x,1 x,22 x) A B6 x216 x10， x 时， Q 最小，这时 Q .43 (43， 43， 83)6答案： (43， 43， 83)二、解答题(本大题共 6 小题，共 90 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15(本小题满分 14 分)如图，已知 ABCD A B C D是平行六面体(1)化简 A BC，并在图中标出其结果；12 23(2)设 M 是 BD 的中点， N 是侧面 BCC B对角线 BC上的 分点，设34N D ，试求 、 、 的值解：(1)取 DD的中点 G，过点 G 作 DC 的平行线 GH，使 GH DC，连接 AH，2
12、3则 AH BC A.12 23如图所示(2)MN D 12 34 (AB ) ( A D)12 34 .12 14 34 ， ， .12 14 3416(本小题满分 14 分)已知空间三点 A(2,0,2)， B(1，1,2)， C(3,0,4)，设a AB， b C.(1)求 a 和 b 的夹角 的余弦值；(2)若向量 ka b 与 ka2 b 互相垂直，求 k 的值解： a(1,1,2)(2,0,2)(1,1,0)，b AC(3,0,4)(2,0,2)(1,0,2)(1)cos ，ab|a|b| 1 0 025 10107 a 与 b 的夹角 的余弦值为 .1010(2)ka b( k，
13、 k,0)(1,0,2)( k1， k,2)，ka2 b( k， k,0)(2,0,4)( k2， k，4)，( k1， k,2)(k2， k，4)( k1)( k2) k280.即 2k2 k100， k 或 k2.5217(本小题满分 14 分)如图所示，已知直三棱柱(侧棱垂直于底面的三棱柱)ABC A1B1C1中， AC BC， D 是 AB 的中点， AC BC BB1.(1)求证： BC1 AB1；(2)求证： BC1平面 CA1D.证明：如图所示，以 C1点为原点，建立空间直角坐标系，设AC BC BB12，则 A(2,0,2)， B(0,2,2)， C(0,0,2)， A1(2,
14、0,0)，B1(0,2,0)， C1(0,0,0)，D(1,1,2)(1)由于 1(0，2，2)， 1(2,2，2)， A0440，即 1BC ，故 BC1 AB1.(2)取 A1C 的中点 E，连结 DE.由于 E(1,0,1)， D(0,1,1)，又 1B(0，2，2)， 1，且 ED 与 BC1不共线，12 ED BC1，又 ED平面 CA1D， BC1平面 CA1D， BC1平面 CA1D.18(本小题满分 16 分)正 ABC 的边长为 4， CD 是 AB 边上的高， E， F 分别是 AC 和BC 边的中点，现将 ABC 沿 CD 翻折成直二面角 A DC B.(1)试判断直线
15、AB 与平面 DEF 的位置关系，并说明理由；8(2)求二面角 E DF C 的余弦值；(3)在线段 BC 上是否存在一点 P，使 AP DE？如果存在，求出 的值；如果不存在，BPBC请说明理由解：(1)在 ABC 中，由 E， F 分别是 AC， BC 中点，得 EF AB，又 AB平面 DEF， EF平面 DEF， AB平面 DEF.(2)以点 D 为坐标原点，以直线 DB、 DC、 DA 分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴，建立空间直角坐标系，则 A(0,0,2)， B(2,0,0)， C(0,2 ，0)， E(0， ， 1)， F(1， ，0)，3 3 3F(1， ，0)， E(0
16、， ，1)， DA(0,0,2)3 3平面 CDF 的法向量为 DA(0,0,2)，设平面 EDF 的法向量为 n( x， y， z)，则Error! 即Error!取 n(3， ，3)，3cos DA， n ，n| |n| 217所以二面角 E DF C 的余弦值为 .217(3)存在设 P(s， t,0)，则 APDE t20，3 t ，233又 B( s2， t,0)，( s,2 t,0)，3 P C，( s2)(2 t) st，3 s t2 .3 3把 t 代入上式得 s ， BP C，233 43 13在线段 BC 上存在点 P，使 AP DE.此时 .BPBC 13919(北京高考
17、)(本小题满分 16 分)如图 1，在 Rt ABC 中， C90，BC3， AC6， D、 E 分别为 AC、 AB 上的点，且 DE BC， DE2，将 ADE 沿 DE 折起到A1DE 的位置，使 A1C CD，如图 2.(1)求证： A1C平面 BCDE；(2)若 M 是 A1D 的中点，求 CM 与平面 A1BE 所成角的大小；(3)线段 BC 上是否存在点 P，使平面 A1DP 与平面 A1BE 垂直？说明理由解：(1)证明：因为 AC BC， DE BC，所以 DE AC.所以 ED A1D， DE CD，所以 DE平面 A1DC.所以 DE A1C.又因为 A1C CD，且 C
18、D DE D，所以 A1C平面 BCDE.(2)如图，以 C 为坐标原点，CB、 CD、 CA1为 x、 y、 z 轴，建立空间直角坐标系 C xyz，则 A1(0,0,2 )， D(0,2,0)，3M(0,1， )， B(3,0,0)，3E(2,2,0)设平面 A1BE 的法向量为 n( x， y， z)，则 n 10， n E0.又 3 ，0，2 ， BE(1,2,0)，3所以Error!令 y1，则 x2， z .所以 n(2,1， )3 3设 CM 与平面 A1BE 所成的角为 .因为 CM(0,1， )3所以 sin |cos n， C| | .n|n| 484 22所以 CM 与平
19、面 A1BE 所成角的大小为 . 410(3)线段 BC 上不存在点 P，使平面 A1DP 与平面 A1BE 垂直，理由如下：假设这样的点 P存在，设其坐标为( p,0,0)，其中 p0,3设平面 A1DP 的法向量为 m( x， y， z)，则m D0， m P0.又 10 ，2，2 ， D( p，2,0)，3所以Error!令 x2，则 y p， z .所以 m .p3 (2， p， p3)平面 A1DP平面 A1BE，当且仅当 mn0，即 4 p p0.解得 p2，与 p0,3矛盾所以线段 BC 上不存在点 P，使平面 A1DP 与平面 A1BE 垂直20(山东高考)(本小题满分 16
20、分) 如图所示，在三棱锥P ABQ 中， PB平面 ABQ， BA BP BQ， D， C， E， F 分别是AQ， BQ， AP， BP 的中点， AQ2 BD， PD 与 EQ 交于点 G， PC 与 FQ 交于点 H，连接 GH.(1)求证： AB GH；(2)求二面角 D GH E 的余弦值解：(1)证明：因为 D， C， E， F 分别是 AQ， BQ， AP， BP 的中点，所以EF AB， DC AB.所以 EF DC.又 EF平面 PCD， DC平面 PCD，所以 EF平面 PCD.又 EF平面 EFQ，平面 EFQ平面 PCD GH，所以 EF GH.又 EF AB，所以 A
21、B GH.(2)在 ABQ 中， AQ2 BD， AD DQ，所以 ABQ90.又 PB平面 ABQ，所以 BA， BQ， BP 两两垂直以 B 为坐标原点，分别以 BA， BQ， BP 所在直线为 x 轴， y 轴， z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系设 BA BQ BP2，则 E(1,0,1)， F(0,0,1)， Q(0,2,0)， D(1,1,0)， C(0,1,0)，11P(0,0,2)所以 EQ(1,2，1)， FQ(0,2，1)，D(1，1，2)， CP(0，1,2)设平面 EFQ 的一个法向量为 m( x1， y1， z1)，由 m0， m0，得Error!取 y11，得 m(0,1,2)设平面 PDC 的一个法向量为 n( x2， y2， z2)，由 nDP0， nC0，得Error!取 z21，得 n(0,2,1)，所以 cos m， n .mn|m|n| 45因为二面角 D GH E 为钝角，所以二面角 D GH E 的余弦值为 .45
