1、12.2.1 直 接 证 明对应学生用书 P26 1若实数 a， b满足 a b3，证明：2 a2 b4 .2证明：因为 2a2 b2 2 ，2a2b 2a b又 a b3，所以 2a2 b2 4 .23 2故 2a2 b4 成立2问题 1：本题利用什么公式？提示：基本不等式问题 2：本题证明顺序是什么？提示：从已知到结论2求证： 2 0,2 0，3 2 7只需证明( 2 )2 .1a 1b 1c a b c证明： a0， b0， c0，且 abc1， bc ca ab.1a 1b 1c又 bc ca2 2 2 ，bc ca abc2 c同理 bc ab2 ， ca ab2 .b a a、 b
2、、 c不全相等上述三个不等式中的“”不能同时成立2( bc ca ab)2( )，c a b即 bc ca ab ，a b c故 .1a 1b 1c a b c2.(1)如图，证明命题“ a是平面 内的一条直线， b是 外的一条直线( b不垂直于 )， c是直线 b在 上的投影，若 a b，则a c”为真；(2)写出上述命题的逆命题，并判断其真假(不需证明)解：(1)证明：法一：如图，过直线 b上任一点作平面 的垂线n，设直线 a， b， c， n的方向向量分别是 a， b， c， n，则 b， c， n共面根据平面向量基本定理，存在实数 ， 使得 c b n，则ac a( b n)( ab)
3、 (an)，因为 a b，所以 ab0，又因为 a ， n ，所以 an0，故 ac0，从而 a c.法二：如图，记 c b A， P为直线 b上异于点 A的任意一点，过 P作 PO ，垂足为 O，则 O c. PO ， a ，直线 PO a.又 a b， b 平面 PAO， PO b P， a平面 PAO.又 c 平面 PAO， a c.(2)逆命题为： a 是平面 内的一条直线， b是 外的一条直线( b不垂直于 )， c4是直线 b在 上的投影，若 a c，则 a b.逆命题为真命题分析法的应用例 2 已知 ab0，求证： 2 ，a b a a b b即 b0， 0， b0， c0，要证
4、 1，1 ab bc caa b c abc只需证 1 ab bc ca a b c abc，即证 1 ab bc ca( a b c abc)0.1 ab bc ca( a b c abc)(1 a) b(a1) c(a1) bc(1 a)(1 a)(1 b c bc)(1 a)(1 b)(1 c)，又 a1， b1， c1，(1 a)(1 b)(1 c)0，1 ab bc ca( a b c abc)0 成立，即证明了 1.1 ab bc caa b c abc一点通 (1)较为复杂问题的证明如单纯利用分析法和综合法证明较困难，这时可考虑分析法、综合法轮流使用以达到证题目的(2)综合法和分
5、析法的综合应用过程既可先用分析法再用综合法，也可先用综合法再用分析法，一般无具体要求，只要达到证题的目的即可65在 ABC中，三个内角 A、 B、 C成等差数列求证： .1a b 1b c 3a b c证明：要证 ，1a b 1b c 3a b c只需证 3，即 1，a b ca b a b cb c ca b ab c只需证 1，c(b c) a(a b)(a b)(b c)即 1.a2 c2 ab bcb2 ab ac bc下面证明： 1.a2 c2 ab bcb2 ab ac bc A C2 B， A B C180， B60. b2 a2 c2 ac. 1.a2 c2 ab bcb2 a
6、b ac bc a2 c2 ab bca2 c2 ac ab ac bc故原等式成立6若 a， b， c是不全相等的正数求证：lg lg lg lg alg blg c.a b2 b c2 c a2证明：要证 lg lg lg lg alg blg c成立，即证 lga b2 b c2 c a2lg(abc)成立，(a b2b c2c a2 )只需证 abc成立，a b2 b c2 c a2 0， 0， 0，a b2 ab b c2 bc c a2 ca abc0，(*)a b2 b c2 c a2又 a， b， c是不全相等的正数，(*)式等号不成立，原不等式成立1综合法是由因导果，步骤严谨
7、，逐层递进、步步为营，书写表达过程是条理清晰、形式简洁，宜于表达推理的思维轨迹、缺点是探路艰难，不易达到所要证明的结论2分析法是执果索因，方向明确、利于思考，便于寻找解题思路缺点是思路逆行、叙述繁琐、表述易出错73在解决一个问题时，我们常常把综合法和分析法结合起来使用根据条件的结构特点去转化结论，得到中间结论 P1；根据原结论的特点去寻求使结论成立的条件，寻找到条件 P2；当由 P1可以推出 P2时，结论得证对 应 学 生 用 书 P29一、填空题1在 ABC中， AB是 sin Asin B的_条件(填“充分不必要” “必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)解析：在 ABC中，由正弦定
8、理得 .asin A bsin B又 AB， ab，sin Asin B反之，若 sin Asin B，则 ab， AB AB是 sin Asin B的充要条件答案：充要2设 nN，则 _ (判断大小)n 4 n 3 n 2 n 1解析：要证 a b ，则实数 a， b应满足的条件是_a b b a解析： a b a ba b b aa a b ba b a ba( )b( )a b a b(a b)( )0a b( )( )20，a b a b故只需 a b且 a， b都不小于零即可答案： a0， b0 且 a b84若三棱锥 S ABC中， SA BC， SB AC，则 S在底面 ABC上
9、的射影为 ABC的_(填重心、垂心、内心、外心之一)解析：如图，设 S在底面 ABC上的射影为点 O， SO平面 ABC，连接 AO， BO， SA BC， SO BC， BC平面 SAO， BC AO.同理可证， AC BO. O为 ABC的垂心答案：垂心5已知函数 f(x)10 x， a0， b0， A f ， B f ， C f ，则(a b2 ) (ab) (2aba b)A， B， C的大小关系为_解析：由 ，又 f(x)10 x在 R上是单调增函数，所以a b2 ab 2aba bf f f ，(a b2 ) (ab) (2aba b)即 A B C.答案： A B C二、解答题6
10、已知函数 f(x)log 2(x2)， a， b， c是两两不相等的正数，且 a， b， c成等比数列，试判断 f(a) f(c)与 2f(b)的大小关系，并证明你的结论解： f(a) f(c)2 f(b)证明如下：因为 a， b， c是两两不相等的正数，所以 a c2 .ac因为 b2 ac，所以 ac2( a c) b24 b，即 ac2( a c)4 b24 b4，从而( a2)( c2)( b2) 2.因为 f(x)log 2(x2)是增函数，所以 log2(a2)( c2)log 2(b2) 2，即 log2(a2)log 2(c2)2log 2(b2)故 f(a) f(c)2 f(
11、b)7已知 a0，用分析法证明： a 2.a2 1a2 2 1a9证明：要证 a 2，a2 1a2 2 1a只需证 2 a .a2 1a2 1a 2因为 a0，故只需证 2 2，(a2 1a2 2) (a 1a 2)即 a2 4 4 a22 2 2，1a2 a2 1a2 1a2 2(a 1a)从而只需证 2 ，a2 1a2 2(a 1a)只需证 4 2 ，(a21a2) (a2 2 1a2)即 a2 2，1a2而上述不等式显然成立，故原不等式成立8(江苏高考改编)设 an是首项为 a，公差为 d的等差数列( d0)， Sn是其前 n项的和记 bn ， nN *，其中 c为实数若 c0，且 b1， b2， b4成等比数列，证明：nSnn2 cSnk n2Sk(k， nN *)证明：由 c0，得 bn a d.Snn n 12又 b1， b2， b4成等比数列，所以 b b1b4，2即 2 a ，(ad2) (a 32d)化简得 d22 ad0.因为 d0，所以 d2 a.因此，对于所有的 mN *，有 Sm m2a.从而对于所有的 k， nN *，有 Snk( nk)2a n2k2a n2Sk.10
