1、13.2复数的四则运算第一课时 复数的加减与乘法运算复数的加减法已知复数 z1 a bi， z2 c di(a， b， c， dR)问题 1：多项式的加减实质是合并同类项，类比想一想复数如何加减？提示：两个复数相加(减)就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加(减)问题 2：复数的加法满足交换律和结合律吗？提示：满足1复数的加法、减法法则设 z1 a bi， z2 c di(a， b， c， dR)，则 z1 z2( a bi)( c di)( a c)( b d)i， z1 z2( a bi)( c di)( a c)( b d)i.即两个复数相加(减)就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加(减)
2、2复数加法的运算律(1)交换律： z1 z2 z2 z1；(2)结合律：( z1 z2) z3 z1( z2 z3).复数的乘法设 z1 a bi， z2 c di，( a， b， c， dR)问题 1：如何规定两复数相乘？提示：两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要在所得的结果中把 i2换成1，并且把实部与虚部分别合并即可即 z1z2( a bi)(c di) ac bci adi bdi2( ac bd)( bc ad)i.问题 2：试验复数乘法的交换律提示： z1z2( a bi)(c di)( ac bd)( bc ad)i，z2z1( c di)(a bi)( ac bd)( bc
3、 ad)i.故 z1z2 z2z1.21复数的乘法设 z1 a bi， z2 c di是任意两个复数，那么它们的积( a bi)(c di) ac bci adi bdi2( ac bd)( ad bc)i(a， b， c， dR)2复数乘法的运算律对于任意 z1、 z2、 z3C，有交换律 z1z2 z2z1结合律 (z1z2)z3 z1(z2z3)乘法对加法的分配律 z1(z2 z3) z1z2 z1z3共轭复数问题：复数 34i 与 34i， a bi与 a bi(a， bR)有什么特点？提示：两复数的实部相等，虚部互为相反数1把实部相等，虚部互为相反数的两个复数叫做互为共轭复数2复数
4、z a bi的共轭复数记作 ，即 a bi.z z 3当复数 z a bi的虚部 b0 时， z ，也就是说，实数的共轭复数仍是它本z 身1复数加、减法的规定：实部与实部相加(减)、虚部与虚部相加(减)两个复数的和或差仍是一个复数2复数的乘法与多项式的乘法是类似的，有一点不同即必须在所得结果中把 i2换成1，再把实部，虚部分别合并、两个复数的积仍是一个复数，可推广到任意多个复数，任意多个复数的积仍然是一个复数对 应 学 生 用 书 P38复数的加减运算例 1 计算：(1)(35i)(34i)；3(2)(32i)(45i)；(3)(55i)(22i)(33i)思路点拨 解答本题可根据复数加减运算
5、的法则进行精解详析 (1)(35i)(34i)(33)(54)i6i.(2)(32i)(45i)(34)2(5)i77i.(3)(55i)(22i)(33i)(523)5(2)3i10i.一点通 复数加减运算法则的记忆方法：(1)复数的实部与实部相加减，虚部与虚部相加减(2)把 i看作一个字母，类比多项式加减中的合并同类项1(35i)(4i)(34i)_.解析：(35i)(4i)(34i)(343)(514)i410i.答案：410i2若(7i5)(98i)( x yi)2，则 x y_.解析：(7i5)(98i)( x yi)(59 x)(78 y)i( x4)( y1)i.( x4)( y
6、1)i2，即 x42， y10. x6， y1. x y5.答案：53计算：(1)(12i)(34i)(56i)；(2)5i(34i)(13i)解：(1)原式(42i)(56i)18i；(2)原式5i(4i)44i.复数的乘法例 2 计算：(1)(1i)(1i)(1i)；4(2)(2i)(15i)(34i)2i.思路点拨 应用复数的乘法法则及乘法运算律来解精解详析 (1)(1i)(1i)(1i)1i 21i1i.(2)(2i)(15i)(34i)2i(210ii5i 2)(34i)2i(211i5)(34i)2i(311i)(34i)2i(912i33i44i 2)2i5321i2i5323i
7、.一点通 (1)三个或三个以上的复数相乘，可按从左向右的顺序运算，或利用结合律运算混合运算的顺序与实数的运算顺序一样(2)平方差公式，完全平方公式等在复数范围内仍然成立一些常见的结论要熟悉：i21，(1i) 22i.4(浙江高考改编)已知 i是虚数单位，则(1i)(2i)_.解析：(1i)(2i)2i2ii 213i.答案：13i5若(1i)(2i) a bi，其中 a， bR，i 为虚数单位，则 a b_.解析：(1i)(2i)13i a bi， a1， b3，故 a b4.答案：46计算下列各题(1)(1i) 2；(2)(13i)(34i)；(3)(1i) (1i)(12 32i)解：(1
8、)(1i) 212ii 22i.(2)(13i)(34i)34i9i12i 2913i.(3)法一：(1i) (1i)(12 32i) (1i)(12 32i 12i 32i2) (1i)(3 12 3 12 i)5 i i i23 12 3 12 3 12 3 121 i.3法二：原式(1i)(1i) (12 32i)(1i 2) 2(12 32i) ( 12 32i)1 i.3共轭复数的概念例 3 已知 zC， 为 z的共轭复数，若 z 3i 13i，求 z.z z z思路点拨 .设 z a bi(a， b R) z a bi(a， b R) 代 入 等 式 利 用 复数 相 等 的 条
9、件 求 解精解详析 设 z a bi(a， bR)，则 a bi(a， bR)，z由题意得( a bi)(a bi)3i( a bi)13i，即 a2 b23 b3 ai13i，则有Error! 解得Error! 或Error!所以 z1 或 z13i.一点通 (1)实数的共轭复数是它本身，即 zR z ，利用此性质可以证明一个复数是实z数(2)若 0 且 z 0，则 z为纯虚数，利用此性质可证明一个复数是纯虚数z z7已知复数 z1i， 为 z的共轭复数，则 z z1_. z z解析： z1i， 1i，z z (1i)(1i)2，z z z12(1i)121i1i.z答案：i8复数 z满足(
10、12i) 43i，则 z_.z解析：设 z a bi，则 a bi.z(12i)( a bi)43i， a bi2 ai2 b43i，即( a2 b)(2 a b)i43i，Error! 解之得 a2， b1.6 z2i.答案：2i9已知复数 z1i，求实数 a， b 使 az2 b ( a2 z)2成立z解： z1i， az2 b ( a2 b)( a2 b)i，z(a2 z)2( a2) 244( a2)i( a24 a)4( a2)i. a， b 都是实数，由 az2 b ( a2 z)2，得Error!z两式相加，整理得 a26 a80.解得 a12， a24，对应得 b11， b22
11、.所求实数为 a2， b1 或 a4， b2.1复数的加减运算把复数的代数形式 z a bi看作关于“i”的多项式，则复数的加法、减法运算，类似于多项式的加法、减法，只需要“合并同类项”就行，不需要记加、减法法则2复数的乘法运算复数的乘法可以把虚数单位 i看作字母，按多项式乘法的法则进行，注意要把 i2化为1，进行最后结果的化简对 应 学 生 用 书 P40一、 填空题1计算(i3)(25i)的结果为_解析：(i3)(25i)i325i6i5.答案：56i2若复数 z12i，(i 为虚数单位)则 z z的实部是_z解析： z12i， 12i，z z (12i)(12i)5，z z z512i6
12、2i.z7答案：63已知 3i(43i) z(67i)，则 z_.解析：3i(43i) z(67i) z3i(43i)(67i)(346)(137)i55i.答案：55i4(北京高考)若( xi)i12i( xR)，则 x_. 解析：( xi)i1 xi12i，由复数相等的定义知 x2.答案：25已知 z134i， z2 ti，且 z1 2是实数，则实数 t_.z解析： z2 ti， 2 ti，z z1 2(34i)( ti)z3 t3i4 ti4i 2(3 t4)(4 t3)i，又 z1 2是实数，z4 t30，即 t .34答案：34二、解答题6计算：(1) ；(212i) (12 2i)
13、(2)(32i)( 2)i；3(3)(63i)(32i)(34i)(2i)解：(1)原式 i i；(212) (12 2) 52 52(3)(32i)( 2)i33(2 2)i3 i；3 3(3)(63i)(32i)(34i)(2i)633(2)32(4)1i82i.7计算：(1) (4i6)2i；(12 32i)8(2) (1i) (12 32i)(32 12i)解： (4i6)2i(12 32i)2i6i 239i2i76i.(2) (1i)(12 32i)(32 12i) (1i)(34 34) (34 14)i (1i)(32 12i) i(32 12) (12 32) i.1 32 1 328(江西高考改编) 是 z的共轭复数若 z 2，( z )i2(i 为虚数单位)，求 z.z z z解：法一：设 z a bi(a， bR)，则 a bi，z z 2 a2， a1.z又( z )i2 bi22 b2.z b1.故 z1i.法二：( z )i2， z 2iz z2i又 z 2.z z ( z )2i2，z z2 z2i2， z1i.9
