1、1课时跟踪训练(二十三) 直线的方向向量与平面的法向量1若直线 l平面 ，且 l 的方向向量为( m,2,4)，平面 的法向量为 ，(12， 1， 2)则 m 为_2设 A 是空间任意一点， n 为空间任一非零向量，则适合条件 AMn0 的点 M 的轨迹是_3设直线 l1的方向向量为 a(2，1,2)，直线 l2的方向向量为 b(1,1， m)，若l1 l2，则 m_.4在空间中，已知平面 过点 A(3,0,0)和 B(0,4,0)及 z 轴上一点 C(0,0， a)(a0)，如果平面 与平面 xOy 的夹角为 45，则 a_.5已知 a(1,4,3)， b(3， x， y)分别是直线 l1、
2、 l2的方向向量，若 l1 l2，则x_， y_.6已知 A(2,2,2)， B(2,0,0)， C(0,2，2)，(1)写出直线 BC 的一个方向向量；(2)设平面 经过点 A，且是 的法向量， M(x， y， z)是平面 内任一点，试写出 x、 y、 z 满足的关系式7在正方体 ABCD A1B1C1D1中，(1)求平面 ABCD 的一个法向量；(2)求平面 A1BC1的一个法向量；(3)若 M 为 CD 的中点，求平面 AMD1的一个法向量8.如图，已知 ABCD A1B1C1D1是长方体，建立的空间直角坐标系如图所示 AB3， BC4， AA12.2(1)求平面 B1CD1的一个法向量
3、；(2)设 M(x， y， z)是平面 B1CD1内的任意一点，求 x， y， z 满足的关系式答 案1解析： l 的方向向量与平面 的法向量平行 . m1.m12 21 42答案：12解析： AMn0 称为一个平面的向量表示式，这里考查的是基本概念答案：过点 A 且与向量 n 垂直的平面3解析： l1 l2，212 m0. m .12答案：124解析：平面 xOy 的法向量为 n(0,0,1)， AB(3,4,0)， AC(3,0， a)，设平面 的法向量为 u( x， y， z)，则Error!则 3x4 y az，取 z1，则 u ，(a3， a4， 1)故 cos n， u .1a29
4、 a216 1 22又 a0， a .125答案：1255解析：由 l1 l2，得 ，解得 x12， y9.13 4x 3y答案：12 96解：(1) B(2,0,0)， C(0,2，2)， C(2,2 ，2)，即(2,2，2)为直线 BC 的一个方向向量3(2)由题意 AM( x2， y2， z2)， BC平面 ， AM ， BC AM.(2,2，2)( x2， y2， z2)0.2( x2)2( y2)2( z2)0.化简得 x y z20.7.解：以 A 为坐标原点，分别以， D， 1所在直线为 x 轴， y 轴， z 轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为 a.(1)平面 ABCD 即
5、为坐标平面 xOy， n1(0,0,1)为其一个法向量(2) B1D平面 A1BC1，又(0， a,0)( a,0， a)( a， a， a)， n2 1(1,1，1)为平面 A1BC1的一个法向量1a(3)设 n( x0， y0， z0)为平面 AMD1的一个法向量， AM ， 1D(0， a， a)，(a2， a， 0)Error!令 x02，则 y01， z01， n(2，1,1)为平面 AMD1的一个法向量8解：(1)在如题图所示的空间直角坐标系 A xyz 中，各点坐标为 B1(3,0,2)，C(3,4,0)， D1(0,4,2)，由此得 B(0,4，2)， 1CD(3,0,2)；设平面 B1CD1的一个法向量为 a( x， y， z)，则 a ， a 1，从而 a 1B0， a 1C0，所以 0x4 y2 z0，3 x0 y2 z0，解方程组Error!得到Error!不妨取 z6，则 y3， x4.所以 a(4,3,6)就是平面 B1C1D 的一个法向量(2)由题意可得 1M( x3， y， z2)，因为 a(4,3,6) 是平面 B1CD1的一个法向量，所以 a 1B，从而 a 0，即 4(x3)3 y6( z2)0,4 x3 y6 z24，所以满足题意的关系式是 4x3 y6 z24.4
