1、1阶段质量检测（二） 圆锥曲线与方程(时间 120 分钟 满分 150 分)一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1(2017浙江高考)椭圆 1 的离心率是( )x29 y24A. B.133 53C. D.23 59解析：选 B 根据题意知， a3， b2，则 c ，a2 b2 5椭圆的离心率 e .ca 532 是任意实数，则方程 x2 y2sin 4 的曲线不可能是( )A椭圆 B双曲线C抛物线 D圆解析：选 C 由于 R，对 sin 的值举例代入判断sin 可以等于 1，这时曲线表示圆，sin 可以小于 0，这
2、时曲线表示双曲线，sin 可以大于 0 且小于 1，这时曲线表示椭圆3设椭圆 1( ab0)的左、右焦点分别为 F1， F2，上顶点为 B.若x2a2 y2b2|BF2| F1F2|2，则该椭圆的方程为( )A. 1 B. y21x24 y23 x23C. y21 D. y21x22 x24解析：选 A | BF2| F1F2|2， a2 c2， a2， c1， b .椭圆的方程为 1.3x24 y234已知双曲线 C： 1( a0， b0)的离心率为 ，则 C 的渐近线方程为( )x2a2 y2b2 52A y x B y x14 13C y x D y x122解析：选 C e2 1 ，c
3、2a2 a2 b2a2 b2a2 54 ， ，b2a2 14 ba 12则 C 的渐近线方程为 y x.125设 P 是双曲线 1( a0)上一点，双曲线的一条渐近线方程为 3x2 y0， x2a2 y29F1， F2分别是双曲线的左、右焦点，若| PF1|3，则| PF2|( )A1 或 5 B6C7 D8解析：选 C 双曲线 1 的一条渐近线方程为 3x2 y0，故 a2.x2a2 y29又 P 是双曲线上一点，故| PF1| PF2|4，而| PF1|3，则| PF2|7.6已知直线 y kx k(k 为实数)及抛物线 y22 px(p0)，则( )A直线与抛物线有一个公共点B直线与抛物
4、线有两个公共点C直线与抛物线有一个或两个公共点D直线与抛物线没有公共点解析：选 C 因为直线 y kx k 恒过点(1,0)，点(1,0)在抛物线 y22 px 的内部，所以当 k0 时，直线与抛物线有一个公共点，当 k0 时，直线与抛物线有两个公共点7已知双曲线 1( b0)的左、右焦点分别是 F1， F2，其一条渐近线方程为x22 y2b2y x，点 P( ， y0)在双曲线上，则 ( )3 PF1 PF2 A12 B2C0 D4解析：选 C 由渐近线方程为 y x，知双曲线是等轴双曲线，双曲线方程是 x2 y22，于是两焦点分别是 F1(2,0)和 F2(2,0)，且 P( ，1)或 P
5、( ，1)不妨取点 P( ，1)，3 3 3则 (2 ，1)， (2 ，1)PF1 3 PF2 3 (2 ，1)(2 ，1)PF1 PF2 3 33(2 )(2 )10.3 38设双曲线 C： y21( a0)与直线 l： x y1 相交于两个不同的点，则双曲线x2a2C 的离心率 e 的取值范围为( )A. B( ，)(62， 2) 2C. D. ( ，)(62， ) (62， 2) 2解析：选 D 由Error!消去 y 并整理得(1 a2)x22 a2x2 a20.由于直线与双曲线相交于两个不同的点，则 1 a20 a21，且此时 4 a2(2 a2)0a20)，则抛物线过点(40,30
6、)，从而有 3022 p40，即 2p ，所以所求抛物线方程为 y2 x.452 452虽然选项中没有 y2 x，但 C 中的 2p 符合题意452 45211.我们把离心率为黄金分割系数 的椭圆称为“黄金椭圆”5 12如图， “黄金椭圆” C 的中心在坐标原点， F 为左焦点， A， B 分别为长轴和短轴上的顶点，则 ABF( )A90 B60C45 D30解析：选 A 设椭圆的方程为 1( ab0)x2a2 y2b2由已知，得 A(a,0)， B(0， b)， F( c,0)，则 ( c， b)， ( a， b)BF BA 离心率 e ，ca 5 12 c a， b5 12 a2 c2 a
7、，a2 (5 12 a)2 5 12 b2 ac0， ABF90.BF BA 12已知直线 y k(x2)( k0)与抛物线 C： y28 x 相交于 A， B 两点， F 为 C 的焦点，若| FA|2| FB|，则 k( )A. B.13 23C. D.23 223解析：选 D 将 y k(x2)代入 y28 x，得 k2x2(4 k28) x4 k20，设 A(x1， y1), B(x2， y2)，5则 x1 x2 ， x1x24，8 4k2k2抛物线 y28 x 的准线方程为 x2，由| FA|2| FB|及抛物线定义得 x122( x22)，即 x122 x2，代入 x1x24，整理
8、得 x x220，2解得 x21 或 x22(舍去)所以 x14， 5，解得 k2 ，8 4k2k2 89又因为 k0，所以 k .223二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分请把正确答案填在题中的横线上)13以双曲线 1 的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为_x24 y212解析：双曲线焦点(4,0)，顶点(2,0)，故椭圆的焦点为(2,0)，顶点(4,0)答案： 1x216 y21214已知双曲线 1( a0， b0)的一个焦点与抛物线 x y2的焦点重合，且双x2a2 y2b2 14曲线的离心率等于 ，则该双曲线的方程为_5解析：抛物线 x y2的方程化为标准形式为
9、 y24 x，14焦点坐标为(1,0)，则得 a2 b21，又 e ，易求得 a2 ， b2 ，ca 5 15 45所以该双曲线的方程为 5x2 y21.54答案：5 x2 y215415已知二次曲线 1，当 m2，1时，该曲线的离心率的取值范围是x24 y2m_解析： m2，1，曲线方程化为 1，曲线为双曲线，x24 y2 m6 e . m2，1， e .4 m2 52 62答案： ，52 6216设 F1， F2分别是椭圆 1 的左、右焦点， P 为椭圆上任一点，点 M 的坐标x225 y216为(6,4)，则| PM| PF1|的最大值为_解析：由椭圆的定义知| PF1| PF2|10，
10、|PF1|10| PF2|，|PM| PF1|10| PM| PF2|，易知 M 点在椭圆外，连接 MF2并延长交椭圆于点 P，此时| PM| PF2|取最大值| MF2|，故| PM| PF1|的最大值为 10| MF2|10 15. 6 3 2 42答案：15三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分 10 分)已知抛物线的顶点在原点，它的准线过双曲线 1( a0， b0)的一个焦点，并且这条准线与双曲线的两焦点的连线垂直，抛物线与x2a2 y2b2双曲线交于点 P ，求抛物线的方程和双曲线的方程(32， 6)解：依题意，设
11、抛物线的方程为 y22 px(p0)，点 P 在抛物线上，6 2 p . p2，(32， 6) 32所求抛物线的方程为 y24 x.双曲线的左焦点在抛物线的准线 x1 上， c1，即 a2 b21，又点 P 在双曲线上， 1，(32， 6) 94a2 6b2解方程组Error!得Error! 或Error! (舍去)所求双曲线的方程为 4x2 y21.4318(本小题满分 12 分)已知椭圆 1 及直线 l： y x m，x24 y29 32(1)当直线 l 与该椭圆有公共点时，求实数 m 的取值范围；(2)求直线 l 被此椭圆截得的弦长的最大值解：(1)由Error!消去 y，并整理得79x
12、26 mx2 m2180. 36 m236(2 m218)36( m218)直线 l 与椭圆有公共点， 0，据此可解得3 m3 .2 2故所求实数 m 的取值范围为3 ，3 2 2(2)设直线 l 与椭圆的交点为 A(x1， y1)， B(x2， y2)，由得： x1 x2 ， x1x2 ，6m9 2m2 189故| AB| 1 k2 x1 x2 2 4x1x2 1 (32)2 ( 6m9)2 42m2 189 ，133 m2 18当 m0 时，直线 l 被椭圆截得的弦长的最大值为 .2619(本小题满分 12 分)双曲线 x2 1( b0)的左、右焦点分别为 F1， F2，直线 ly2b2过
13、 F2且与双曲线交于 A， B 两点(1)若直线 l 的倾斜角为 ， F1AB 是等边三角形，求双曲线的渐近线方程； 2(2)设 b ，若直线 l 的斜率存在，且( ) 0，求 l 的斜率3 F1A F1B AB 解：(1)设 A(xA， yA)由题意得 F2(c,0)， c ， y b2(c21) b4，1 b2 2A因为 F1AB 是等边三角形，所以 2c |yA|，3即 4(1 b2)3 b4，解得 b22.故双曲线的渐近线方程为 y x.2(2)由题意知 F1(2,0)， F2(2,0)设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，直线 l： y k(x2)，显然 k0.由Error!
14、 得( k23) x24 k2x4 k230.因为 l 与双曲线交于两点，所以 k230，且 36(1 k2)0.设 AB 的中点为 M(xM， yM)由( ) 0 即 0，F1A F1A F1B AB F1M AB 知 F1M AB，故 kF1Mk1.而 xM ， yM k(xM2) ，x1 x22 2k2k2 3 6kk2 38kF1M ，所以 k1，解得 k2 ，3k2k2 3 3k2k2 3 35故 l 的斜率为 .15520(本小题满分 12 分)已知动圆 C 过定点 F(0,1)，且与直线 l1： y1 相切，圆心C 的轨迹为 E.(1)求动点 C 的轨迹 E 的方程；(2)已知直
15、线 l2交轨迹 E 于两点 P， Q，且 PQ 中点的纵坐标为 2，求| PQ|的最大值解：(1)由题设知点 C 到点 F 的距离等于它到 l1的距离，所以点 C 的轨迹是以 F 为焦点， l1为准线的抛物线，所以所求轨迹的方程为 x24 y.(2)由题意易知直线 l2的斜率存在，又抛物线方程为 x24 y，当直线 l2的斜率为 0 时，| PQ|4 .2当直线 l2的斜率 k 不为 0 时，设中点坐标为( t,2)， P(x1， y1)， Q(x2， y2)，则有 x 4 y1， x 4 y2，21 2两式作差得 x x 4( y1 y2)，21 2即得 k ，x1 x24 t2则直线方程为
16、 y2 (x t)，t2与 x24 y 联立得 x22 tx2 t280.由根与系数的关系得 x1 x22 t， x1x22 t28，则| PQ| x1 x2 2 y1 y2 2 1 k2 x1 x2 2 4x1x2 (1 t24)4t2 4 2t2 8 6， 8 t2 4 t2当且仅当 t 时取等号所以| PQ|的最大值为 6.221.(本小题满分 12 分)已知椭圆 1( ab0)的离心率 ex2a2 y2b2，过点 A(0， b)和 B(a,0)的直线与原点的距离为 .63 32(1)求椭圆的方程；(2)已知定点 E(1,0)，若直线 y kx2( k0)与椭圆交于C， D 两点，问：是
17、否存在 k 的值，使以 CD 为直径的圆过 E 点，请说明理由9解：(1)直线 AB 的方程为： bx ay ab0.依题意Error! 解得Error!椭圆方程为 y21.x23(2)假设存在这样的 k 值，由Error!得(13 k2)x212 kx90. (12 k)236(13 k2)0. 设 C(x1， y1)， D(x2， y2)，则Error!而 y1y2( kx12)( kx22) k2x1x22 k(x1 x2)4.要使以 CD 为直径的圆过点E(1,0)，当且仅当 CE DE 时，则 1.y1x1 1 y2x2 1即 y1y2( x11)( x21)0.( k21) x1x
18、2(2 k1)( x1 x2)50.将式代入整理解得 k .经验证 k 使成立76 76综上可知，存在 k ，使得以 CD 为直径的圆过点 E.7622(本小题满分 12 分)已知抛物线 C1： x24 y 的焦点 F 也是椭圆C2： 1( a b0)的一个焦点， C1与 C2的公共弦的长为 2 .过点 F 的直线 l 与 C1y2a2 x2b2 6相交于 A， B 两点，与 C2相交于 C， D 两点，且 与 同向AC BD (1)求 C2的方程；(2)若| AC| BD|，求直线 l 的斜率解：(1)由 C1： x24 y 知其焦点 F 的坐标为(0,1)因为 F 也是椭圆 C2的一个焦点
19、，所以 a2 b21. 又 C1与 C2的公共弦的长为 2 ， C1与 C2都关于 y 轴对称，且 C1的方程为 x24 y，6由此易知 C1与 C2的公共点的坐标为 ，(6，32)所以 1. 94a2 6b2联立，得 a29， b28.10故 C2的方程为 1.y29 x28(2)如图，设 A(x1， y1)， B(x2， y2)， C(x3， y3)， D(x4， y4)因 与 同向，且| AC| BD|，AC BD 所以 ，从而 x3 x1 x4 x2，AC BD 即 x1 x2 x3 x4，于是( x1 x2)24 x1x2( x3 x4)24 x3x4. 设直线 l 的斜率为 k，则 l 的方程为 y kx1.由Error! 得 x24 kx40.而 x1， x2是这个方程的两根，所以 x1 x24 k， x1x24. 由Error! 得(98 k2)x216 kx640.而 x3， x4是这个方程的两根，所以 x3 x4 ， x3x4 . 16k9 8k2 649 8k2将代入，得 16(k21) ，162k2 9 8k2 2 4649 8k2即 16(k21) ，1629 k2 1 9 8k2 2所以(98 k2)2169，解得 k ，即直线 l 的斜率为 .64 6411
