1、174 复数的几何表示读教材填要点1复平面的定义建立直角坐标系来表示复数的平面叫作复平面x 轴叫作实轴， y 轴叫作虚轴，实轴上的点都表示实数；除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数2复数的几何意义(1)复数 z a bi(a， bR)一一对应复平面内的点 P(a， b)； (2)复数 z a bi(a， bR)一一对应平面向量 ( a， b)OP 3复数的模复数 z a bi(a， bR)对应的向量为 ，则 的模叫作复数 z 的模，记作| z|， OP OP 且| z| .a2 b24共轭复数(1)定义及记忆：对于任意复数 z a bi(a， bR)，将复数 a bi 称为原来的复数 z的共轭复数
2、，记作： .z(2)性质： z；z复平面上两点 P，Q 关于 x 轴对称它们所代表的复数 相互共轭5复数加减法的几何意义如图：设复数 z1， z2对应向量分别为 ， ，四边形 OPSQ 为OP OQ 平行四边形，则与 z1 z2对应的向量是 ，与 z1 z2对应的向量是OS .小问题大思维1平面向量能够与复数一一对应的前提是什么？提示：向量的起点在原点2若复数( a1) ai(aR)在复平面内对应的点 P 在第二象限，则 a 的取值范围是什么？提示：由题意知Error!即 03.答案：(3，)5复数 zsin icos ，则| z|_. 3 6解析： z i，32 32| z| .(32)2
3、( 32)2 62答案：626在复平面上，复数 i,1,42i 的对应的点分别是 A， B， C，求平行四边形 ABCD 的D 点所对应的复数解：法一：由已知 A(0,1)， B(1,0)， C(4,2)，则 AC 的中点 E ，(2，32)由平行四边形的性质知 E 也是 BD 的中点，设 D(x， y)，则Error! Error!即 D(3,3)， D 点对应的复数为 33i.法二：由已知： (0,1)， (1,0)， (4,2)OA OB OC (1,1)， (3,2)BA BC 8 (2,3)BD BA BC (3,3)OD OB BD 即点 D 对应的复数为 33i.一、选择题1.若
4、 i 为虚数单位，如图中复平面内点 Z 表示复数 z，则表示复数的点是( )z1 iA E B FC G D H解析：由题图可得 z3i，所以 2i，则z1 i 3 i1 i 3 i 1 i 1 i 1 i 4 2i2其在复平面上对应的点为 H(2，1)答案：D2已知 0 a2，复数 z ai(i 是虚数单位)，则| z|的取值范围是( )A(1， ) B(1， )3 5C(1,3) D(1,5)解析：| z| ，a2 10 a2，1 a215，| z|(1， )5答案：B3设复数 z 满足条件 z| z|2i，那么 z 等于( )A i B. i34 34C i D. i34 34解析：法一
5、：设 z x yi(x， yR)，则x yi 2i.x2 y2Error! 解得Error! z i.34法二：| z|R，由复数相等的充要条件可知：若等式 z| z|2i 成立，则必有虚部为 1，故可设 z xi( xR)，代入原等式有：9x 2，x2 1解得 x ，所以 z i.34 34答案：D4若 x， yR，i 为虚数单位，且 x y( x y)i3i，则复数 x yi 在复平面内所对应的点在( )A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限解析： x y( x y)i3i，Error! 解得Error!复数 12i 所对应的点在第一象限答案：A二、填空题5在复平面内表示复数 z(
6、m3)2 i 的点在直线 y x 上，则实数 m 的值为m_解析：由表示复数 z( m3)2 i 的点在直线 y x 上，m得 m32 ，解得 m9.m答案：96若 z| z|2，则复数 z_.解析：设 z a bi，则 a bi 2，a2 b2 b0， a| a|2， a1. z1.答案：17复数 z1cos isin (0，得 m5.即当 m5 时， z 的对应点在 x 轴上方(5)由( m25 m6)( m22 m15)50，得 m 或 m . 3 414 3 414即当 m 或 m 时， z 的对应点在直线 x y50 上 3 414 3 41410设 z x yi(x， yR)，若 1| z| .试问复数 w x y( x y)i 的对应点的2集合表示什么图形，并求其面积解：| z| 且 1| z| ，x2 y2 21 x2 y22.又| w| x y 2 x y 2 ，2x2 2y2 | w|2.2令 w m ni(m， nR)，则 2，2 m2 n2即 2 m2 n24.11故 w 对应点的集合是以原点为圆心，半径为 和 2 的圆环内点的集合(含内外圆周)，2其面积 S2 2( )22.2
