1、- 1 -金山区 2019 届高三上学期期末质量监控数学试卷一. 填空题。1.已知集合 ， ，则 _【答案】【解析】【分析】对集合 A 和集合 B 取交集即可得到答案.【详解】 ， ,则 ,故答案为： .【点睛】本题考查集合的交集运算.2.抛物线 的准线方程是_【答案】【解析】试题分析： 开口向右，所以它的准线方程为 x=-1考点：本题考查抛物线的标准方程点评：开口向右的抛物线方程为 ，准线方程为3.计算： _【答案】【解析】【分析】分子分母同时除以 n,计算可得极限.【详解】 故答案为: .- 2 -【点睛】本题考查 型极限问题，解题的关键是合理地选取公式4.不等式 的解集为_【答案】【解析
2、】【分析】根据绝对值的定义去绝对值符号，直接求出不等式的解集即可.【详解】由 ，得 ，解得故答案为 .【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，考查等价转化的数学思想和计算能力.5.若复数 （ 为虚数单位） ， _【答案】【解析】【分析】利用复数的乘法运算将复数化简为 a+bi 的形式，然后利用复数模的公式计算即可得到答案.【详解】 =7+i,则 ，故答案为: .【点睛】本题考查复数的模的概念和复数的四则运算，属于基础题.6.已知函数 ，则 _【答案】【解析】【分析】由反函数定义令 f（ x）5，求出 x 的值即可【详解】由反函数定义，令 ，得 4，则 x2 416， f1 （5）16- 3 -故答
3、案为：16【点睛】本题考查反函数的性质与应用问题，是基础题7. 从 1，2，3，4 这四个数中一次随机取两个数，则其中一个数是另一个的两倍的概率是_【答案】【解析】答案：解析：简单考察古典概型的概率计算，容易题。8.在 的二项展开式中，常数项的值是_（结果用数值表示）【答案】【解析】【分析】写出二项展开式的通项公式，令 x 的指数为 0，计算即可求出展开式的常数项【详解】展开式的通项为 Tr+1（1） rC10rx305 r，令 305 r0 得 r6，所以展开式中的常数项为 C106210，故答案为：210【点睛】本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题9.无穷等比数列 各
4、项和 的值为 2，公比 ，则首项 的取值范围是_【答案】【解析】【分析】由无穷等比数列 an的各项和为 2 且 ，解不等式可得 a1范围【详解】由题意可得， 且 ，则 a12（1 q） ，由 ，可得 2 a14- 4 -故答案为： .【点睛】本题考查无穷等比数列的各项和, 各项和是指当| q|1 且 q0 时前 n 项和的极限,是基础题10.在 的二面角内放置一个半径为 6 的小球，它与二面角的两个半平面相切于 、 两点，则这两个点在球面上的距离是_【答案】【解析】【分析】设球心为 O，由二面角的面与球相切的性质可得 AOB60，又半径为 6，由弧长公式可求两切点在球面上的距离【详解】设球心为
5、 O，由球的性质知， OA， OB 分别垂直于二面角的两个面，又二面角的平面角为 120，故 AOB60，半径为 6 的球切两半平面于 A， B 两点两切点在球面上的距离是 6 2故答案为：2【点睛】本题考查球面距离及相关计算，解题的关键是根据二面角与球的位置关系得出过两切点的两个半径的夹角以及球面上两点距离的公式，考查空间想像能力，是中档题11.设函数 ，则使 成立的 取值范围是_【答案】【解析】【分析】由解析式知函数 f（ x）为偶函数，且在0，+）上单调递增，则不等式可转为|2x|3 x2|，解出即得答案【详解】函数 ， f（ x） f（ x） ，故函数为偶函数且在0，+）上单调递增 f
6、（2 x） f（3 x2） ，|2 x|3 x2|，- 5 -（2 x） 2（3 x2） 2，化为：（ x2） （5 x2）0，解得： x2，或 x 使得 f（2 x） f（3 x2）成立的 x 的取值范围是 故答案为： 【点睛】本题考查函数奇偶性与单调性的应用以及不等式的解法，考查推理能力与计算能力12.已知平面向量 、 满足条件： ， ， ， ，若向 ，且 ，则 的最小值为_【答案】【解析】【分析】由题意可设 （cos，0） ， （0，sin） ， （ x， y） ，且设 ，由 ,求出C 点的轨迹方程，结合圆的性质可求最值.【详解】由题意可设 （cos，0） ， （0，sin） ， （ x
7、， y） ，设 ， （cos，sin） ， ，（0， ） ， ，则 ，即 , C 在以 D 为圆心，以 为半径的圆上，（0， ） ， mn| OD| ，故答案为: 【点睛】本题主要考查了平面向量的基本定理及向量的坐标表示，平面向量的加法减法的几何意义，平面向量的数乘及几何意义及圆的方程的应用，属于综合题.- 6 -二. 选择题。13.已知方程 表示焦点在 轴上的椭圆，则 的取值范围是（ ）A. 或 B. C. D. 或【答案】D【解析】椭圆的焦点在 x 轴上m 22+m，即 m22m0解得 m2 或 m1又2+m0m2m 的取值范围：m2 或2m1故答案为：D。14.给定空间中的直线 l 及平
8、面 ，条件“直线 l 与平面 内的无数条直线都垂直”是“直线 l 与平面 垂直的（ ） A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 非充分非必要条件【答案】B【解析】试题分析：直线与平面 内的无数条平行直线垂直，但该直线未必与平面 垂直；即“直线 l 与平面 内无数条直线都垂直”“直线 l 与平面 垂直”为假命题；但直线 l 与平面 垂直时，l 与平面 内的每一条直线都垂直，即“直线 l 与平面 垂直”“直线 l 与平面 内无数条直线都垂直”为真命题；故“直线 l 与平面 内无数条直线都垂直”是“直线 l 与平面 垂直”的必要非充分条件；故选 B- 7 -考点：空间中直线与平面
9、之间的位置关系.视频15.欧拉公式 （ 为虚数单位， ， 为自然底数）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非重要的地位，被誉为“数学中的天桥” ，根据欧拉公式可知， 表示的复数在复平面中位于（ ）A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【答案】B【解析】【分析】利用欧拉公式和诱导公式进行计算即可得出答案【详解】 e2018icos2018+ isin2018，2018642+（2018642） ，2018642 ，cos2018cos（2018642）0sin2018sin（2018642）0，
10、 e2018i表示的复数在复平面中位于第二象限故选： B【点睛】本题考查了欧拉公式、诱导公式以及复数的有关概念，考查推理能力与计算能力，属于基础题16.已知函数 ，则方程 （ ）的实数根个数不可能为（ ）A. 5 个 B. 6 个 C. 7 个 D. 8 个【答案】A【解析】【分析】以 f（ x）1 的特殊情形为突破口，解出 x1 或 3 或 或4，将 x+ 2 看作整体，利用换- 8 -元的思想方法进一步讨论【详解】函数 ，即 f（ x） ，因为当 f（ x）1 时， x1 或 3 或 或4，则当 a1 时， x+ 21 或 3 或 或4，又因为 x+ 20 或 x+ 24，所以，当 x+
11、24 时只有一个 x2 与之对应其它情况都有 2 个 x 值与之对应，故此时所求的方程有 7 个根，当 1 a2 时， y f（ x）与 y a 有 4 个交点，故有 8 个根；当 a2 时， y f（ x）与 y a 有 3 个交点，故有 6 个根；综上：不可能有 5 个根，故选： A【点睛】本题考查分段函数、函数的零点等知识，属于中档题三. 解答题。17.如图，三棱锥 中， 底面 ABC， M 是 BC 的中点，若底面 ABC 是边长为 2 的正三角形，且 PB 与底面 ABC 所成的角为 . 求：- 9 -（1）三棱锥 的体积；（2）异面直线 PM 与 AC 所成角的大小. （结果用反三
12、角函数值表示）【答案】 （1）2;（2） 【解析】试题分析：（1）欲求三棱锥 P-ABC 的体积，只需求出底面积和高即可，因为底面 ABC 是边长为 2 的正三角形，所以底面积可用 来计算，其中 a 是正三角形的边长，又因为PA底面 ABC，所以三棱锥的高就是 PA 长，再代入三棱锥的体积公式即可 （2）欲求异面直线所成角，只需平移两条异面直线中的一条，是它们成为相交直线即可，由 M 为 BC 中点，可借助三角形的中位线平行于第三边的性质，做出 的中位线，就可平移 BC，把异面直线所成角转化为平面角，再放入 中，求出角即可试题解析：（1）因为 底面 ， 与底面 所成的角为所以 , 因为 ，所以
13、（2）连接 ，取 的中点，记为 ，连接 ，则所以 为异面直线 与 所成的角计算可得： ， ，异面直线 与 所成的角为 - 10 -考点：异面直线及其所成的角；棱柱、棱锥、棱台的体积18.已知角 的顶点在坐标原点，始边与 轴的正半轴重合，终边经过点 .（1）求行列式 的值；（2）若函数 ，求函数 的最大值，并指出取得最大值时 的值.【答案】 （1） （2） 时，【解析】【分析】（1）根据三角函数的定义，结合行列式的运算法则，即可求解；（2）将函数 化简，结合三角函数性质即可求解最大值【详解】 （1）角 的终边经过点 ， （2） .当 ，即 时，【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函
14、数公式将函数进行化简是解决本题的关键19.设函数 的反函数为 ， . （1）若 ，求 的取值范围 ；（2）在（1）的条件下，设 ，当 时，函数 的图像与直线 有公共点，求实数 的取值范围.- 11 -【答案】 （1） （2）【解析】【分析】（1）先求 f1 （ x） ，再利用对数函数的单调性转化为关于 x 的一元不等式组，求解即可 （2）化简函数 的解析式，根据函数 的单调性可求 的值域，从而得到 a 的取值范围【详解】 （1） 不等式为 ，解得 ，（2） . .当 时， 单调递增， 单调递增， ，因此当 时满足条件【点睛】本题主要考查反函数、函数单调性的应用、不等式的解法等基础知识，考查运算
15、求解能力与转化思想20.已知椭圆 以坐标原点为中心，焦点在 轴上，焦距为 2，且经过点 . （1）求椭圆 的方程；（2）设点 ，点 为曲线 上任一点，求点 到点 距离的最大值 ；（3）在（2）的条件下，当 时，设 的面积为 （ O 是坐标原点， Q 是曲线 C 上横坐标为 a 的点） ，以 为边长的正方形的面积为 ，若正数 满足 ，问 是否存在最小值，若存在，请求出此最小值，若不存在，请说明理由.【答案】 （1） （2） (3) m 存在最小值【解析】【分析】- 12 -（1）根据已知求出 a， b， c 值，可得椭圆 C 的方程；（2）设 P（ x， y） ，则 y222 x2，利用两点间的
16、距离公式可得| PA|2（ x a） 2+y2（ x a） 2+22 x2，转为二次函数求最值问题；（3）由题意分别表示出 S1及 S2，对不等式 S1 mS2进行变量分离得到 ，令，通过换元 t a2+1 转为二次函数求最值问题【详解】 （1）由题意知 c=1,又过点（1,0）所以 b=1,故 a= ,则椭圆方程为 .（2）设 ，则令 ，所以当 时 在-1，1上是减函数，；当 时， 在 上是增函数，在 上是减函数，则 ；当 时， 在 上是增函数 ； 所以 .（3）当 时， ，.若正数 m 满足条件，则 ，即 ， ，令 ，设 ，则 ， .- 13 -，所以，当 ，即 时，即 ， .所以， m
17、存在最小值【另解】由 ，得 ，而当且仅当 ，即 ，等号成立，从而 ，故 m 的最小值为【点睛】本题考查椭圆方程的求法，两点间的距离公式以及二次函数求最值问题，其中换元法、分类讨论的思想方法是解题的关键.21.在等差数列 中， ， . （1）求数列 的通项公式；（2）对任意 ，将数列 中落入区间 内的项的个数记为 ，记数列的前 项和为 ，求使得 的最小整数 ；（3）若 ，使不等式 成立，求实数 的取值范围.【答案】(1) (2) 最小整数 m 为 6 (3) 【解析】【分析】（1）设数列 an的公差为 d，根据已知条件列出关于首项和公差的方程组，求出首项和公差，即可得到通项公式 （2）由数列 落入区间 内的个数为 ，可得到bm2 2m2 m， mN *，利用等比数列求和公式求得 Sm，解不等式 ，即可得到答案.- 14 -（3）将不等式 变量分离，转为求数列的最值，从而得到 的范围【详解】 （1）设数列 的公差为 d，由 . 得 ，故数列 的通项公式为 . （2）对任意 ，若 ，则故 ，令 ，解得 .故所求最小整数 m 为 6；（3） .记 ， .由知 ，且从第二项起， 递增，即而 递减，故实数 的范围为 .即- 15 -【点睛】本题考查等差数列的通项公式、等比数列求和公式的应用，考查利用作差法判断单调性并求数列的最值问题，考查运算求解能力，是中档题- 16 -
