1、- 1 -吉林省辽源市田家炳高级中学（第六十六届友好学校）2019 届高三数学上学期期末考试试题 文（含解析）第卷一、选择题 （本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分）1.已知集合 ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】试题分析：解 得 ，又 ，则 ，则 ，故选 A.考点：一元二次不等式的解法，集合中交集运算.2.以 为准线的抛物线的标准方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】确定抛物线的开口及 的值即可得解.【详解】易知以 为准线的抛物线焦点在 x 轴的负半轴上，且 ，开口向右，所以 .故选 D.【点睛】本题主要考查了抛物线的方程的求解，属于
2、基础题.3.已知 a 为函数 f（x）=x 312x 的极小值点，则 a=A. 4 B. 2 C. 4 D. 2【答案】D【解析】试题分析： ，令 得 或 ，易得 在 上单调递减，在 上单调递增，故 的极小值点为 2，即 ，故选 D.【考点】函数的导数与极值点- 2 -【名师点睛】本题考查函数的极值点在可导函数中，函数的极值点 是方程 的解，但 是极大值点还是极小值点，需要通过这个点两边的导数的正负性来判断，在 附近，如果 时， ， 时 ，则 是极小值点，如果 时， ， 时，则 是极大值点.4.记 为等差数列 的前 项和,若 , 则 （ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】由题意可得：
3、 ，由等差数列的性质可得： ，该数列的公差： ，故 .本题选择 B 选项.5.若两个单位向量 , 的夹角为 120,则 （ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由 根据条件求解即可.【详解】由两个单位向量 , 的夹角为 120,可得 .所以 .故选 C.【点睛】本题主要考查了利用数量积求向量的模长，属于基础题.6.已知变量 x， y 满足约束条件 ，则 的最大值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A- 3 -【解析】【分析】先作出 x， y 满足的可行域，然后平移直线 ，当直线经过点 A（3，0）时取得最大值，求出即可。【详解】作出变量 x， y 满足的可行域，如下图阴影部
4、分，平移直线 ，当直线经过点 A（3，0）时， 取得最大值，所以 的最大值为 3.故选 A.【点睛】本题考查了线性规划问题，属于基础题。7.已知 表示两条不同直线, 表示平面, 下列说法正确的是( )A. 若 则 B. 若 则C. 若 则 D. 若 则【答案】B【解析】试题分析：线面垂直，则有该直线和平面内所有的直线都垂直，故 B 正确.考点：空间点线面位置关系【此处有视频，请去附件查看】8.已知函数 ，则A. 是奇函数，且在 R 上是增函数 B. 是偶函数，且在 R 上是增函数C. 是奇函数，且在 R 上是减函数 D. 是偶函数，且在 R 上是减函数【答案】A【解析】分析：讨论函数 的性质，
5、可得答案.详解：函数 的定义域为 ，且 - 4 -即函数 是奇函数，又 在 都是单调递增函数，故函数 在 R 上是增函数。故选 A.点睛：本题考查函数的奇偶性单调性，属基础题.9.若双曲线 的一条渐近线被圆 所截得的弦长为 ，则 的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】圆的半径 ，弦长的一半为 1，以及圆心到渐近线的距离为 ，三者满足，解出 ab 的关系即可求出离心率。【详解】圆 的圆心为（2，0） ，半径 ，双曲线 的渐近线为 ，即 ，则圆心（2，0）到直线 的距离为解得 ，则离心率 .故答案为 C.【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，及双曲线的性质，属于基础题。
6、10.已知一个棱长为 2 的正方体被两个平面所截得的几何体的三视图如图所示, 则该几何体外接球的表面积是( )- 5 -A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先通过三视图还原该几何体，然后求出该几何体外接球的半径，进而求出该几何体外接球的表面积。【详解】由题意可知该几何体(如下图)是正方体被平面 和平面 截去三棱锥和三棱锥 所剩下的部分，它的外接球和该正方体的外接球一样，设外接球半径为 ，则 ，解得 ，所以该几何体外接球的表面积为 .故选 D.【点睛】本题考查了空间几何体的三视图及外接球问题，属于中档题。11.在 中，若 ，则 的形状一定是（ ）A. 等边三角形 B. 不含 60的
7、等腰三角形C. 直角三角形 D. 钝角三角形【答案】C【解析】- 6 -【分析】结合三角形的性质，对等式进行恒等变换，可以得到 ，进而求出角 是直角，即可选出答案。【详解】由题意知， ， ，所以题中等式可转化为： ，即 ，则 ，故 ，所以角 为直角，即 的形状一定是直角三角形。故答案为 C.【点睛】本题考查了三角形的性质，及三角恒等变换，属于基础题。12.已知函数 在定义域 内可导,若 且 ,记 ,则的大小关系是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由 可以得到函数 图象的对称轴，由 ,可以得到函数 的单调性，进而可以比较 的大小关系。【详解】由 得函数 的图象关于 对称，则
8、 ， ，又因为 ，所以当 时， ，此时函数 为单调递增函数；所以 ，即 .故答案为 D.【点睛】本题考查了函数的对称性及单调性，属于基础题。第 II 卷- 7 -二、 填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分 ，共 20 分）13.曲线 恒过定点_.【答案】(4,3)【解析】【分析】由 即可得解.【详解】由 ，知曲线 恒过定点(4,3).故答案为：(4,3).【点睛】本题主要考查了对数型函数恒过定点问题，属于基础题.14.曲线 在点 处的切线方程是_【答案】【解析】，故切线方程为 ，即15.若 n 是 2 和 8 的等比中项，则圆锥曲线 的离心率是 _【答案】 或 【解析】【分析】根据等比中
9、项的概念求出 n 值，然后分别利用椭圆、双曲线的性质求解离心率.【详解】由 n 是 2 和 8 的等比中项，得 ，解得 n= ，当 n=4 时，圆锥曲线 是焦点在 y 轴上的椭圆，离心率为 ，当 n= -4 时，圆锥曲线 是焦点在 x 轴上的双曲线，离心率为- 8 -故填： 或 .【点睛】本题考查了椭圆与双曲线的标准方程，考查了圆锥曲线的离心率的求法，涉及了等比中项的概念，考查了计算能力. 解题的关键是正确运用离心率公式.16.在正方体 中, 分别为棱 , 的中点,则直线 与 所成角的余弦值为_【答案】【解析】【分析】找出直线 的平行线 ， 就等于直线 与 所成的角，求出即可。【详解】如图，取
10、 的中点为 ，连结 ，则易知 ，所以 与直线 与 所成的角相等，设正方体的棱长为 2，则 ， ，连结 ，则， ，则 .【点睛】本题考查了异面直线的夹角，属于基础题。三、 解答题（本大题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 ）17. 的内角 所对的边分别为 ，向量 与 平行 （1）求 ；（2）若 ，求 的面积【答案】 （） ；（） .【解析】试题分析：（）由两向量平行的坐标运算列出三角形边角关系的等式，再由正弦定理化边为角，可求得角 A；（）由余弦定理（选用角 A 的等式） ，求出边 ，再选用公式- 9 -可得三角形面积试题解析：(I)因为 ，所以由正弦定理，得
11、，又 ，从而 ，由于 所以 (II)解法一：由余弦定理，得 ，而 ， ，得 ，即因为 ，所以 ，故 面积为 考点：向量平行的坐标运算，正弦定理，余弦定理，三角形面积【此处有视频，请去附件查看】18.已知数列 是等比数列， , 是 和 的等差中项,（1）求数列 的通项公式；（2）设 ，求数列 的前 项和 .【答案】 （） ；（） 【解析】试题分析：（）将已知条件转化为首项和公比表示，通过解方程得到基本量，从而确定通项为 ；（）由数列 的通项公式得数列 的通项 ，结合特点采用错位相减法求和试题解析：（）设数列 的公比为 ，因为 ，所以 ， 1 分因为 是 和 的等差中项，所以 2 分即 ，化简得
12、因为公比 ，所以 4 分所以 （ ） 5 分- 10 -（）因为 ，所以 所以 7 分则 ， 9 分得，10 分，所以 12 分考点：数列求通项与求和19.已知函数 （1）求函数 的最小正周期；（2）若 ,求函数 的值域.【答案】 （1） ；（2） .【解析】【分析】（1）对函数 进行化简，然后利用公式 ，可求出最小正周期；（2）先求出函数 的单调性，然后即可求出值域。【详解】 （1），所以最小正周期为 ，（2）由（1）知又因为 ， 在区间 上是减函数，在 上是增函数，又 ， ， ，- 11 -所以函数 的值域为 .【点睛】本题考查了三角恒等变换及三角函数的单调性，属于中档题。20.如图，在四
13、面体 中， ， ，点 分别是 的中点. （1）求证：直线 平面（2）求证: 平面 平面（3）若平面 平面 且 求三棱锥 的体积【答案】 （1）见解析； （2）见解析. （3）【解析】试题分析：（1）利用中位线的性质可得到 AD 即可证明;（2）由题意可知，只需证明 BD平面 EFC,即可证明平面 面 ；（3）由题意可知， 是正三角形，因此可将看成是底面来求三棱锥 的体积，由前面可知 AD 是以 为底面时三棱锥的高，分别计算出来代入体积公式即可求解。试题解析：（1） EF 是 的中位线,所以又 （2）（3）因为面 面 ，且- 12 -所以 ,由 和 得 是正三角形所以考点：1.直线与平面平行的判
14、定及性质；2.平面与平面垂直的判定及性质；3.三棱锥体积的求解21.已知椭圆 ,左右焦点分别为 ,且 ，点 在该椭圆上.（1）求椭圆 C 的方程；（2）过 的直线 与椭圆 C 相交于 两点，若 的面积为 , 求直线 的方程.【答案】 （1） ；（2） .【解析】【分析】（1）由 可以求出 ，将点 代入椭圆方程可以解出 与 的值，即可得出答案；（2）当直线 与 轴垂直时，可以求出 两点的坐标，即可求出 的面积，经计算不符合题意；当直线 与 轴不垂直时，设出直线方程，与椭圆方程联立，得到关于 的一元二次方程，利用弦长公式可以表示出 ，利用点到直线的距离公式可以表示出 到直线 的距离，进而得到 的面
15、积表达式，求得 的值即可得到直线的方程。【详解】 （1）因为 所以 ，又点 在该椭圆上，所以 ，又 ，解得 ， ，- 13 -所以椭圆 C 的方程为 .（2）当直线 与 轴垂直时，可得 ，的面积为 3，不符合题意。当直线 与 轴不垂直时，设直线 的方程为 ，代入椭圆的方程得 ，显然 成立，设则 ， ，所以 ，用点到直线距离公式可得 到直线 的距离 ，所以 的面积 ，化简得 解得 ，因此直线的方程为 或 .【点睛】处理涉及直线和圆锥曲线交点问题时，一般设出交点坐标，但不求交点坐标，而是用韦达定理作整体运算（把 或 看作一个整体） 。22.已知函数 其中 为常数（1）当 时，求函数 的单调区间；（
16、2）若函数 在区间 上为单调函数, 求 的取值范围.【答案】 （1）递增区间 ，递减区间 ；（2） .【解析】【分析】（1）将 代入函数表达式，然后对函数求导，利用导函数的性质即可求出 的单调区间；（2）函数 在区间 上为单调函数，可以得到导函数在区间 上满足 或 ,- 14 -然后求出 的取值范围即可。【详解】 （1）若 时， ，定义域为 ，则 ，当 ， ，函数 单调递增，当 ， ，函数 单调递减。（2） ，若函数 在区间 上是单调函数，即 在 上 或 恒成立，即 或 在 上恒成立，即 或 在 上恒成立，令 ，因函数 在 上单调递增，所以 或 ，即 或 解得 或 或 ，故 的取值范围是 .【点睛】 （1）若函数 在区间（ a， b）内单调递增，则 ，若函数 在（ a， b）内单调递减，则 .（2） 或 恒成立，求参数值的范围的方法：分离参数法： 或 .若不能分离参数，就是求含参函数 的最小值 ，使 ；或是求含参函数 的最大值 ，使得 .- 15 -
