1、- 1 -吉林省辽源市田家炳高级中学（第六十六届友好学校）2019 届高三数学上学期期末联考试题 理（含解析）注意事项：1、答题前，考生必须将自己的姓名、考号填写清楚，并将条形码粘贴到指定区域。2、选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题必须使用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整，笔迹清楚。3、请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草纸、试题卷上答题无效。4、保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。第卷一、选择题1.已知集合 ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】试题分析：解 得 ，又 ，则 ，则 ，故选
2、A.考点：一元二次不等式的解法，集合中交集运算.2.以 为准线的抛物线的标准方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】确定抛物线的开口及 的值即可得解.【详解】易知以 为准线的抛物线焦点在 x 轴的负半轴上，且 ，开口向右，所以 .故选 D.【点睛】本题主要考查了抛物线的方程的求解，属于基础题.- 2 -3.记 为等差数列 的前 项和,若 , 则 （ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】由题意可得： ，由等差数列的性质可得： ，该数列的公差： ，故 .本题选择 B 选项.4.若两个单位向量 , 的夹角为 120,则 （ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【
3、分析】由 根据条件求解即可.【详解】由两个单位向量 , 的夹角为 120,可得 .所以 .故选 C.【点睛】本题主要考查了利用数量积求向量的模长，属于基础题.5.函数 的最小正周期为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】化简函数得 ，进而利用三角函数的周期公式求解即可.【详解】函数- 3 -.该函数的最小正周期为： .故选 B.【点睛】本题主要考查了二倍角公式化简及三角函数的周期性，属于基础题.6.已知变量 x，y 满足约束条件 ，则 的最大值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】画出可行域，向上平移基准函数到可行域边界位置，由此求得目标函数的最大值.【详
4、解】画出可行域如下图所示，平移基准函数 到点 的位置时，目标函数取得最大值为 ，故选 C.【点睛】本小题主要考查利用线性规划的知识求目标函数的最大值.解决此类问题的方法是：首先根据题目所给的不等式组，画出可行域.然后根据目标函数的类型，选择对应的解法来解决.如过目标函数的类型是线性型的，如本题，那就通过平移基准的函数到可行域的边界位置，由此来确定最值.属于基础题.- 4 -7.已知一个棱长为 2 的正方体被两个平面所截得的几何体的三视图如图所示, 则该几何体外接球的表面积是( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由三视图将几何体还原，进而利用正方体求外接球即可.【详解】还原几何
5、体如图所示：几何体 ABCDEF 与边长为 2 的正方体有相同的外接球.易知正方体的外接球直径即为体对角线的长： .所以球的表面积为 .故选 C.【点睛】本题主要考查了求三视图的还原图及几何体的外接球问题，关键是利用正方体求解，属于中档题.8.下列叙述中正确的是( )A. 若 ，则“ ”的充要条件是“ ”B. 函数 的最大值是C. 命题“ ”的否定是“ ”- 5 -D. 是一条直线， 是两个不同的平面，若 则【答案】D【解析】【分析】由指数函数与对数函数的单调性及定义域可判断 A，利用换元求函数最值即可判断 B，根据全称命题的否定为特称命题可判断 C，由线面的位置关系可判断 D.【详解】对于
6、A，当 时，有 ，当 时，有 .所以“ ”不是“ ”的充要条件，是充分不必要条件，故 A 不正确；对于 B， .令 ，则有 , .函数的对称轴为： ，开口向下，所以当 时函数有最大值 1，故 B 不正确；对于 C，因为全称命题的否定为特称命题，所以命题“ ”的否定是“”,故 C 不正确；对于 D，因为垂直于同一条直线的两个平面平行，易知 D 正确.故选 D.【点睛】本题主要考查了命题的判断，涉及到了有二次函数、指数函数、对数函数的性质，充分性必要性的判断及命题的否定，线面面面的位置关系，是一道综合题目，属于中档题.9.若双曲线 的一条渐近线被圆 所截得的弦长为 ，则 的离心率为( )A. B.
7、 C. D. 【答案】B【解析】【分析】- 6 -通过圆的圆心与双曲线的渐近线的距离，列出关系式，然后求解双曲线的离心率即可【详解】双曲线 的一条渐近线不妨为： ，圆 的圆心(2,0)，半径为：2，双曲线 的一条渐近线被圆 所截得的弦长为 2，可得圆心到直线的距离为： ，解得： ,可得 e2=4，即 e=2.故选 B.【点睛】本题主要考查了双曲线的几何性质，属于基础题.10.已知直三棱柱 中， ， ， ，则异面直线 与所成角的余弦值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】如图所示，补成直四棱柱 ，则所求角为 ，易得 ，因此 ，故选 C平移法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通
8、过平移直线，把异面问题化归为共面问题来解决，具体步骤如下：平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；- 7 -计算：求该角的值，常利用解三角形；取舍：由异面直线所成的角的取值范围是 ，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角求异面直线所成的角要特别注意异面直线之间所成角的范围11.在 中，若 ，则 的形状一定是（ ）A. 等边三角形 B. 不含 60的等腰三角形C. 钝角三角形 D. 直角三角形【答案】D【解析】,则 , ,选 .12.设函数 ，若 是函数 的极大值点，则实数 的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【
9、答案】A【解析】函数的定义域为 ， ，依题意有，所以 ，若 ，则，函数在 递增，在 递减，在 处取得极大值，符合题意，故排除两个选项.当 时， ，无极值点，排除 选项，故选 .【点睛】本小题主要考查的数学知识是：函数与导数，导数与单调性、极值的关系，考查分类讨论的数学思想方法和选择题的解法.涉及函数导数的问题，首先要求函数的定义域，然后对函数求导，将 作为消去 的条件，然后将函数的导数因式分解，利用选项找特殊值来选择答案.第 II 卷- 8 -二、填空题.13.曲线 恒过定点_.【答案】(4,3)【解析】【分析】由 即可得解.【详解】由 ，知曲线 恒过定点(4,3).故答案为：(4,3).【点
10、睛】本题主要考查了对数型函数恒过定点问题，属于基础题.14.曲线 在点 处的切线方程是_【答案】【解析】，故切线方程为 ，即15.从 2 位女生，4 位男生中选 3 人参加科技比赛，且至少有 1 位女生入选，则不同的选法共有_种 （用数字填写答案）【答案】16【解析】分析：首先想到所选的人中没有女生，有多少种选法，再者需要确定从 6 人中任选 3 人总共有多少种选法，之后应用减法运算，求得结果.详解：根据题意，没有女生入选有 种选法，从 6 名学生中任意选 3 人有 种选法，故至少有 1 位女生入选，则不同的选法共有 种，故答案是 16.点睛：该题是一道关于组合计数的题目，并且在涉及到“至多、
11、至少”问题时多采用间接法，- 9 -一般方法是得出选 3 人的选法种数，间接法就是利用总的减去没有女生的选法种数，该题还可以用直接法，分别求出有 1 名女生和有两名女生分别有多少种选法，之后用加法运算求解.16.设函数 则使 成立的 的取值范围是_.【答案】【解析】试题分析：由题意得，函数 的定义域为 ，因为 ，所以函数为偶函数，当 时， 为单调递增函数，所以根据偶函数的性质可知：使得 成立，则 ，解得 .考点：函数的图象与性质.【方法点晴】本题主要考查了函数的图象与性质，解答中涉及到函数的单调性和函数的奇偶性及其简单的应用，解答中根据函数的单调性与奇偶性，结合函数的图象，把不等式成立，转化为
12、 ，即可求解，其中得出函数的单调性是解答问题的关键，着重考查了学生转化与化归思想和推理与运算能力，属于中档试题.三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 ）17. 的内角 所对的边分别为 ，向量 与 平行 （1）求 ；（2）若 ，求 的面积【答案】 （） ；（） .【解析】试题分析：（）由两向量平行的坐标运算列出三角形边角关系的等式，再由正弦定理化边为角，可求得角 A；（）由余弦定理（选用角 A 的等式） ，求出边 ，再选用公式可得三角形面积试题解析：(I)因为 ，所以由正弦定理，得 ，- 10 -又 ，从而 ，由于 所以 (II)解法一：由余弦定理，得 ，而 ， ，得 ，即因为
13、，所以 ，故 面积为 考点：向量平行的坐标运算，正弦定理，余弦定理，三角形面积【此处有视频，请去附件查看】18.已知数列 是等比数列， , 是 和 的等差中项,（1）求数列 的通项公式；（2）设 ，求数列 的前 项和 .【答案】 （） ；（） 【解析】试题分析：（）将已知条件转化为首项和公比表示，通过解方程得到基本量，从而确定通项为 ；（）由数列 的通项公式得数列 的通项 ，结合特点采用错位相减法求和试题解析：（）设数列 的公比为 ，因为 ，所以 ， 1 分因为 是 和 的等差中项，所以 2 分即 ，化简得 因为公比 ，所以 4 分所以 （ ） 5 分（）因为 ，所以 所以 7 分则 ， -
14、11 - 9 分得，10 分，所以 12 分考点：数列求通项与求和19.有编号为 1,2,3n 的 n 个学生,入座编号为 1,2,3n 的 n 个座位,每个学生规定一个座位,设学生所坐的座位号与该生的编号不同的学生人数为 x,已知 x=2 时,共有 6 种坐法.（1）求 n 的值；（2）求随机变量 x 的概率分布列及数学期望 E(x)【答案】 （1） ；（2）分布列详见解析， .【解析】试题分析：（1）解题的关键是 =2 时，共有 6 种坐法，写出关于 n 的表示式，解出未知量，把不合题意的舍去（2）学生所坐的座位号与该生的编号不同的学生人数为 ，由题意知 的可能取值是0，2，3，4，当变量
15、是 0 时表示学生所坐的座位号与该生的编号都相同，当变量是 2 时表示学生所坐的座位号与该生的编号有 2 个相同，理解变量对应的事件，写出分布列和期望解：（1）当 =2 时，有 Cn2种坐法，C n2=6，即 ，n2n12=0，n=4 或 n=3（舍去） ，n=4（2）学生所坐的座位号与该生的编号不同的学生人数为 ，由题意知 的可能取值是 0，2，3，4，当变量是 0 时表示学生所坐的座位号与该生的编号都相同，当变量是 2 时表示学生所坐的座位号与该生的编号有 2 个相同，当变量是 3 时表示学生所坐的座位号与该生的编号有 1 个相同，当变量是 4 时表示学生所坐的座位号与该生的编号有 0 个
16、相同，- 12 - ， 的概率分布列为： 0 2 3 4P 考点：离散型随机变量及其分布列20.如图，在长方体 中， ， ， 为 的中点（1）在所给图中画出平面 与平面 的交线(不必说明理由) （2）证明: 平面（3）求平面 与平面 所成锐二面角的余弦值【答案】(1)见解析；(2)见证明；(3)- 13 -【解析】【分析】(1)连接 交 于 ，即可得到平面 与平面 的交线;(2)根据线面平行的判定定理即可证明: 平面 ；(3)建立坐标系,求出平面的法向量,利用向量法进行求解.【详解】 （1）连接 交 于 ，连接则直线 即为平面 与平面 的交线 （2）证明： 分别是 的中点ME B又 平面 ，
17、平面 平面（3）解：以为 坐标原点， 所在直线分别为 轴 轴 轴，建立空间直角坐标系因为 ，所以- 14 -所以设平面 的法向量所以 从而有即 不妨令得到平面 的一个法向量 (1,0,2) 同理可求得平面 的一个法向量 (-1,2,2) 因为所以平面 与平面 所成锐二面角的余弦值为 .【点睛】本题主要考查了面的延展问题及线面平行的证明，利用空间向量求解二面角问题，考查了学生的空间想象能力及运算能力，属于中档题.21.已知椭圆 过点 , 离心率为 ,左右焦点分别为 , 过点 的直线 交椭圆于 两点.（1）求椭圆 C 的方程；（2）当 的面积为 时, 求以 为圆心且与直线 相切的圆的方程.【答案】
18、(1) 椭圆 C 的方程为 (2) 【解析】【分析】（1）将点 代入椭圆结合离心率列方程求解即可；（2）当直线 与 轴垂直时，易知 的面积为 3，不符合题意； 当直线 与 轴不垂直时，设直线 的方程为 与椭圆联立，得到，设 ，利用 的面积为 及 ，结合韦达定理即可得解.- 15 -【详解】 （1）因为椭圆 过点所以又因为离心率 所以 ，又解、得所以椭圆 C 的方程为（2）当直线 与 轴垂直时，可得的面积为 3，不符合题意 当直线 与 轴不垂直时，设直线 的方程为代入椭圆的方程得显然 成立，设 则所以用点到直线距离公式可得圆 的半径所以 的面积化简得 解得所以 ，圆的方程为【点睛】本题考查椭圆方
19、程的求法,考查直线方程的求法,解题时要认真审题,注意韦达定理和函数与方程思想的合理运用.- 16 -22.已知函数（1）当 时，求函数 在区间 上的最大值和最小值；（2）若 有解,求 的取值范围.【答案】(1)最大值为 ，最小值为 (2) 的取值范围为【解析】【分析】（1）求函数导数，判断函数单调性进而可求最值；（2）由 ，讨论 时和当 时函数的单调性，进而可得解.【详解】 （1）由题可知 的定义域为 ，当 时，函数 所以函数 在区间 上是增函数.在区间 上的最大值为 ，最小值为 （2）当 时，显然 有解 当 时，由 得当 时，当 时，故 在 处取得最大值 若使 有解，只需解得 结合此时 的取值范围为- 17 -综上所述， 的取值范围为【点睛】本题主要考查了利用函数的导数研究单调性，利用最值研究不等式的有解问题，属于常规题型.
