1、1第 11章 算法复数推理与证明 第 5讲A组 基础关1用数学归纳法证明不等式 1 (n m， nN *)成立时，其初始12 14 12n 112764值 m至少应取( )A7 B8 C9 D10答案 B解析 左边1 2 ，代入验证可知 n的最小值是 8.故12 14 12n 11 12n1 12 12n 1选 B.2已知 n为正偶数，用数学归纳法证明“1 212 13 14 1n”时，若已假设 n k(k2 且 k为偶数)时等式成立，则还需要用归(1n 2 1n 4 12n)纳假设再证 n_时等式成立( )A k1 B k2C2 k2 D2( k2)答案 B解析 由于 n为正偶数，所以若已假
2、设 n k(k2 且 k为偶数)时等式成立，则还需要用归纳假设再证 n k2 时等式成立3对于不等式 (n2， nN *)时，从1n 2 1n 3 1n 4 1n2n2 n 1n2 nn k到 n k1 时，左边应增加的项是( )A. 1k2 1 1k2 2 1 k 1 2B. 1k2 1 1k2 2 1 k 1 2 1k 2C. 1k 3 1k2 2 1 k 1 2D. 1k2 1 1k2 2 1 k 1 2 1k 3 1k 2答案 B3解析 假设 n k时不等式成立左边 ，1k 2 1k 3 1k 4 1k2则当 n k1 时，左边 ，1k 3 1k 4 1k2 1 1k2 2 1 k 1
3、 2所以由 n k递推到 n k1 时不等式左边增加了 1k2 1 1k2 2 1 k 1 2.1k 28设平面内有 n(n3)条直线，它们任何 2条不平行，任何 3条不共点，若 k条这样的直线把平面分成 f(x)个区域，则 k1 条直线把平面分成的区域数 f(k1) f(k)_.答案 k1解析 f(1)2， f(2)4， f(3)7， f(4)11， f(5)16，f(2) f(1)422，f(3) f(2)743，f(4) f(3)1174，f(5) f(4)16115，归纳推理，得出 f(n) f(n1) n， f(n) f(n1) n，所以 n k1 时 f(k1) f(k)( k1)
4、9设数列 an的前 n项和为 Sn，且对任意的自然数 n都有( Sn1) 2 anSn，通过计算S1， S2， S3，猜想 Sn_.答案 nn 1解析 由( S11) 2 S ，得 S1 ；2112由( S21) 2( S2 S1)S2，得 S2 ；23由( S31) 2( S3 S2)S3，得 S3 .34猜想 Sn .nn 110用数学归纳法证明 ，假设 n k时，不等式成立，122 132 1 n 1 212 1n 2则当 n k1 时，应推证的目标不等式是_答案 122 132 1 k 1 2 1 k 2 212 1k 3解析 观察不等式中分母的变化便知B组 能力关1用数学归纳法证明“
5、5 n2 n能被 3整除”的第二步中， n k1 时，为了使用假设，应将 5k1 2 k1 变形为( )4A5(5 k2 k)32 k B(5 k2 k)45 k2 kC(52)(5 k2 k) D2(5 k2 k)35 k答案 A解析 假设 n k时命题成立，即 5k2 k能被 3整除当 n k1 时，5k1 2 k1 55 k22 k5(5 k2 k)52 k22 k5(5 k2 k)32 k.2设平面内有 n条直线( n3)，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点若用 f(n)表示这 n条直线交点的个数，则 f(4)_；当 n4时， f(n)_(用 n表示)答案 5 (n1
6、)( n2)12解析 由题意知 f(3)2， f(4)5， f(5)9，可以归纳出每增加一条直线， 交点增加的个数为原有直线的条数所以 f(4) f(3)3， f(5) f(4)4，猜测得出 f(n) f(n1) n1( n4)有 f(n) f(3)34( n1)，所以 f(n) (n1)12(n2)3用数学归纳法证明( n1)( n2)( n3)( n n)2 n135(2n1)(nN *)时，从 n k到 n k1 时左边需增乘的代数式是_答案 4 k2解析 用数学归纳法证明( n1)( n2)( n3)( n n)2 n135(2n1)(nN *)时，从 n k到 n k1 时左边需增乘
7、的代数式是2(2 k1)故答案为 4k2. k 1 k k 1 k 1k 14已知数列 an， an0， a10， a an1 1 a .求证：当 nN *时， an0，又 ak1 ak0，所以 ak2 ak1 10，所以 ak1 1时，对 x(0， a1，有 ( x)0， (x)在(0， a1上单调递减， (a1)1时，存在 x0，使 (x)x4x6，猜想：数列 x2n是递减数列下面用数学归纳法证明 x2nx2n2 .当 n1 时，已证命题成立假设当 n k(kN *， k1)时命题成立，即 x2kx2k2 ，易知 xk0，那么x2k2 x2k4 11 x2k 1 11 x2k 3x2k 3 x2k 1 1 x2k 1 1 x2k 311 x2k 2 11 x2k 1 x2k 1 1 x2k 37 0，x2k x2k 2 1 x2k 1 x2k 1 1 x2k 2 1 x2k 3即 x2(k1) x2(k1)2 .所以当 n k1 时命题也成立结合知，命题 x2nx2n2 对于任何 nN *成立故数列 x2n是递减数列
