1、1第 3 讲 平面向量的数量积及应用考纲解读 1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义，了解平面向量的数量积与向量投影的关系(重点)2.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算，能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系(重点、难点)考向预测 从近三年高考情况来看，本讲一直是高考中的一个热点内容预测 2020 年高考将考查向量数量积的运算、模的最值、夹角的范围题型以客观题为主，试题难度以中档题为主，有时也会与三角函数、解析几何交汇出现于解答题中.1两个向量的夹角2平面向量的数量积3平面向量数量积的性质设 a， b 都是非零向量， e 是单位向量， 为 a 与
2、 b(或 e)的夹角，则(1)ea ae| a|cos .2(2)a b ab0.01 (3)当 a 与 b 同向时， ab| a|b|；当 a 与 b 反向时， ab| a|b|.特别地， aa |a|2或| a| .02 03 aa(4)cos .ab|a|b|(5)|ab| |a|b|.04 4平面向量数量积满足的运算律(1)ab ba；01 (2)( a)b (ab) a( b)( 为实数)；02 03 (3)(a b)c ac bc.04 5平面向量数量积有关性质的坐标表示设向量 a( x1， y1)， b( x2， y2)，则 ab x1x2 y1y2，由此得到：01 (1)若 a
3、( x， y)，则| a|2 x2 y2或| a| ；02 03 x2 y2(2)设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则 A， B 两点间的距离| AB| | AB 04 ； x2 x1 2 y2 y1 2(3)设两个非零向量 a， b， a( x1， y1)， b( x2， y2)，则 a b x1x2 y1y20；05 (4)设两个非零向量 a， b， a( x1， y1)， b( x2， y2)， 是 a 与 b 的夹角，则cos .x1x2 y1y2x21 y21x2 y21概念辨析(1)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的结果是向量( )(2)若 ab0，则
4、 a 和 b 的夹角为锐角；若 ab0，则 a 和 b 的夹角为钝角( )(3)由 ab0 可得 a0 或 b0.( )(4)(ab)c a(bc)( )(5)若 ab bc(b0)，则 a c.( )答案 (1) (2) (3) (4) (5)2小题热身(1)(2018全国卷)已知向量 a， b 满足| a|1， ab1，则 a(2a b)( )A4 B3 C2 D0答案 B解析 因为 a(2a b)2 a2 ab2| a|2(1)213.所以选 B.(2)(2017全国卷)已知向量 a(2,3)， b(3， m)，且 a b，则 m_.3答案 2解析 a(2,3)， b(3， m)，且 a
5、 b， ab0，即233 m0，解得 m2.(3)设向量 a， b 满足：| a|1，| b|2， a( a b)，则 a 与 b 的夹角是_答案 60解析 设 a 与 b 的夹角为 ，因为 a( a b)，所以 a(a b)0，故| a|2| a|b|cos 0，解得 cos ，故 a 与 b 的夹角为 60.12(4)已知| a|5，| b|4， a 与 b 的夹角 120，则向量 b 在向量 a 方向上的投影为_答案 2解析 因为 ab| a|b|cos 54cos12010，所以 b 在 a 方向上的投影为| b|cos 2.ab|a| 105题型 平面向量数量积的运算一1已知两个单位
6、向量 a 和 b 的夹角为 60，则向量 a b 在向量 a 方向上的投影为( )A1 B1 C D.12 12答案 D解析 由两个单位向量 a 和 b 的夹角为 60，可得ab11 ，( a b)a a2 ab1 ，向量 a b 在向量 a 方向上的投影为12 12 12 12 ，故选 D. a b a|a| 121 122(2018天津高考)在如图的平面图形中，已知 OM1， ON2， MON120，2 ， 2 ，则 的值为( )BM MA CN NA BC OM A15 B9 C6 D0答案 C解析 连接 MN，因为 2 ，所以 3 ，同理BM MA AB AM 43 ， 3 3 3 ，
7、 3 3( ) 3 3(AC AN BC AC AB AN AM MN BC OM MN OM ON OM OM ON OM )2321cos12031 26.OM 3已知菱形 ABCD 的两条对角线 BD， AC 的长度分别为 6,10，点 E， F 分别是线段BC， CD 的中点，则 _.AE BF 答案 12解析 依题意，建立如图所示的平面直角坐标系，故 A(5,0)， C(5,0)，E ， B(0,3)， F ，则 ， ，则 12.(52， 32) (52， 32) AE (152， 32) BF (52， 92) AE BF 计算向量数量积的三种方法(1)定义法：已知向量的模与夹角时
8、，可直接使用数量积的定义求解，即ab| a|b|cos ( 是 a 与 b 的夹角)(2)基向量法：计算由基底表示的向量的数量积时，应用相应运算律，最终转化为基向量的数量积，进而求解如举例说明 2.(3)坐标法：若向量选择坐标形式，则向量的数量积可应用坐标的运算形式进行求解如举例说明 3. 1已知向量 a( x,2)， b(2,1)， c(3， x)，若 a b，则 ac( )A4 B8 C12 D20答案 D解析 因为 a b，所以 x220，解得 x4，所以 a(4,2)，所以ac(4,2)(3,4)432420.2(2019西安八校联考)已知点 A(1,1)， B(1，2)， C(2，1
9、)， D(3,4)，则向量 在 方向上的投影是( )CD BA A3 B C3 D.5322 5 322答案 A5解析 依题意得， (2，1)， (5,5)， (2，1)(5,5)BA CD BA CD 15，| | ，因此向量 在 方向上的投影是 3 .BA 5 CD BA BA CD |BA | 155 53在平行四边形 ABCD 中，点 M， N 分别在边 BC， CD 上，且满足 BC3 MC， DC4 NC，若 AB4， AD3，则 ( )AN MN A B0 C. D77 7答案 B解析 以 ， 为基底，AB AD ， ， AN AD 34AB MN CN CM 14CD 13CB
10、 14AB 13AD AN MN (AD 34AB ) ( 14AB 13AD ) (99)0，故选 B.13(AD 2 916AB 2) 13题型 平面向量数量积的性质二1(2018华南师大附中一模)已知向量| |3，| |2， ( m n)OA OB BC (2 n m1) ，若 与 的夹角为 60，且 ，则实数 的值为( )OA OB OA OB OC AB mnA. B. C. D.87 43 65 16答案 A解析 由题意得， ( m n) (2 n m) ，OC OB BC OA OB ， 32cos603.AB OB OA OA OB 又因为 ，OC AB 所以 ( m n) (
11、2 n m) ( )OC AB OA OB OB OA ( m n) 2(2 m3 n) (2 n m) 2OA OA OB OB 9( m n)3(2 m3 n)4(2 n m)0，整理得 7m8 n0，故 .mn 872(2017全国卷)已知向量 a， b 的夹角为 60，| a|2，| b|1，则6|a2 b|_.答案 2 3解析 由题意得， ab21cos601，所以| a2 b|2 a24 ab4 b244412，所以| a2 b|2 .33已知向量 m(sin ，1cos )(0 )与向量 n(2,0)的夹角为 ，则 3 _.答案 23解析 由已知条件得|m| ，sin2 1 co
12、s 2 2 2cos|n|2， mn2sin ，于是由平面向量的夹角公式得cos ，整理得 2cos2 cos 10，解得 cos 或 3 mn|m|n| 2sin22 2cos 12 12cos 1(舍去)因为 0 ，所以 .23条件探究 1 把举例说明 1 的条件改为“已知 (2 ，0)， (0,2)，OA 3 OB t ， tR，当| |最小时” ，求 t 的值AC AB OC 解 由题意得， t( )，OC OA OB OA (1 t) tOC OA OB (1 t)(2 ，0) t(0,2)3(2 2 t,2t)，3 3所以| |212(1 t)24 t216 23，OC (t 34
13、)所以当 t 时，| |取最小值34 OC 条件探究 2 把举例说明 2 的条件改为“平面向量 a 与 b 的夹角为 45， a(1,1)，|b|2” ，求|3 a b|.解 由题意得，| a| ，12 12 2ab 2cos452.2所以|3 a b|29 a26 ab b292622 234.所以|3 a b| .341求向量夹角问题的方法7(1)当 a， b 是非坐标形式时，求 a 与 b 的夹角 ，需求出 ab 及| a|，| b|或得出它们之间的关系；(2)若已知 a( x1， y1)， b( x2， y2)，则 cos a， b .如举例x1x2 y1y2x21 y21x2 y2说
14、明 3.2求向量模的常用方法(1)若向量 a 是以坐标形式出现的，求向量 a 的模可直接利用公式| a| .x2 y2(2)若向量 a， b 是以非坐标形式出现的，求向量 a 的模可应用公式| a|2 a2 aa，或| ab|2( ab)2 a22ab b2，先求向量模的平方，再通过向量数量积的运算求解如举例说明 2.3解答向量垂直问题的两个策略(1)若证明两个向量垂直，先根据共线、夹角等条件计算出这两个向量的坐标；然后根据向量数量积的坐标运算公式，计算出这两个向量的数量积为 0 即可(2)根据两个向量垂直的充要条件 ab0，列出相应的关系式如举例说明 1. 1已知平面向量 a(1,2)， b
15、(4,2)， c ma b(mR)，且 c 与 a 的夹角等于 c 与b 的夹角，则 m( )A2 B1 C1 D2答案 D解析 a(1,2)， b(4,2)， c ma b( m4,2 m2)，| a| ，| b|2 ，5 5 ac5 m8， bc8 m20. c 与 a 的夹角等于 c 与 b 的夹角， ，ca|c|a| cb|c|b| ，解得 m2.5m 85 8m 20252(2018北京高考)设向量 a(1,0)， b(1， m)，若 a( ma b)，则m_.答案 1解析 由已知， ma b( m1， m)，又 a( ma b)，所以 a(ma b)1( m1)0( m)0，解得
16、m1.3(2018青岛模拟)已知| a|2，| b|3， a 与 b 的夹角为 ，且 a b c0，则23|c|_.答案 7解析 因为 a b c0，所以 c a b，8所以 c2 a2 b22 ab2 23 2223cos234967.所以| c| .7题型 向量数量积的综合应用三角度 1 向量在平面几何中的应用1已知 ， 是非零向量，且满足( 2 ) ，( 2 ) ，则 ABC 的形状AB AC AB AC AB AC AB AC 为( )A等腰三角形 B直角三角形C等边三角形 D等腰直角三角形答案 C解析 ( 2 ) ( 2 ) 0，即 2 0，( 2 )AB AC AB AB AC A
17、B AB AB AC AB AC AB ( 2 ) 0，即 2 0， 2 ，即AC AC AB AC AC AC AB AC AB AB AC AC AB AC | | |，则 cosA ， A60， ABC 为等边三角形AB AC AB AC |AB |AC | 12角度 2 向量在解析几何中的应用2已知 0，| |1，| |2， 0，则| |的最大值为_AB BC AB BC AD DC BD 答案 5解析 由 0 可知， .AB BC AB BC 故以 B 为坐标原点，分别以 BA， BC 所在的直线为 x 轴、 y 轴建立平面直角坐标系(图略)，则由题意，可得 B(0,0)， A(1,
18、0)， C(0,2)设 D(x， y)，则 ( x1， y)， ( x,2 y)AD DC 由 0，可得( x1)( x) y(2 y)0，AD DC 整理得 2( y1) 2 .(x12) 54所以点 D 在以 E 为圆心，半径 r 的圆上(12， 1) 52因为| |表示 B， D 两点间的距离，BD 9而| | .EB (12)2 12 52所以| |的最大值为| | r .BD EB 52 52 5角度 3 向量与三角函数的综合应用3(2018石家庄模拟)已知 A， B， C 分别为 ABC 的三边 a， b， c 所对的角，向量m(sin A，sin B)， n(cos B，cos
19、A)，且 mnsin2 C.(1)求角 C 的大小；(2)若 sinA，sin C，sin B 成等差数列，且 ( )18，求边 c 的长CA AB AC 解 (1)由已知得 mnsin AcosBcos AsinBsin( A B)，因为 A B C，所以 sin(A B)sin( C)sin C，所以 mnsin C.又 mnsin2 C，所以 sin2Csin C，所以 cosC .12又 0C，所以 C . 3(2)由已知得 2sinCsin Asin B，由正弦定理得 2c a b.因为 ( ) 18，CA AB AC CA CB 所以 abcosC18，所以 ab36.由余弦定理得
20、 c2 a2 b22 abcosC( a b)23 ab，所以 c24 c2336，所以 c236，所以 c6.1向量在平面几何中的应用用平面向量解决平面几何问题时，常常建立平面直角坐标系，这样可以使向量的运算更简便一些在解决这类问题时，共线向量定理和平面向量基本定理起主导作用如举例说明 1.2向量在解析几何中的作用(1)载体作用：向量在解析几何问题中出现，多用于“包装” ，解决此类问题时关键是利用向量的意义、运算脱去“向量外衣” ，导出曲线上点的坐标之间的关系，从而解决有关距离、斜率、夹角、轨迹、最值等问题如举例说明 2.(2)工具作用：利用 a bab0； a ba b(b0)，可解决垂直
21、、平行问题，特别是向量垂直、平行的坐标表示在解决解析几何中的垂直、平行问题时经常用到3向量与三角函数的综合应用解决这类问题的关键是应用向量知识将问题准确转化为三角函数问题，再利用三角函10数的知识进行求解如举例说明 3. 1已知点 A(2,0)， B(3,0)，动点 P(x， y)满足 x2，则点 P 的轨迹是( )PA PB A圆 B椭圆C双曲线 D抛物线答案 D解析 由已知得 (2 x， y)(3 x， y)(2 x)(3 x)PA PB ( y)( y) x2 x6 y2 x2，所以 y2 x6，故点 P 的轨迹是抛物线2若 O 为 ABC 所在平面内任一点，且满足( )( 2 )0，则
22、 ABCOB OC OB OC OA 的形状为( )A正三角形 B直角三角形C等腰三角形 D等腰直角三角形答案 C解析 ( )( 2 )0，即( )( )OB OC OB OC OA OB OC OB OA OC OA 0， ( )0，( )( )0，即CB AB AC AB AC AB AC | |2| |20，| | |，三角形 ABC 为等腰三角形AB AC AB AC 3已知函数 f(x) ab，其中 a(2cos x， sin2x)， b(cos x,1)， xR.3(1)求函数 y f(x)的单调递减区间；(2)在 ABC 中，角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c，
23、f(A)1， a ，且向量7m(3，sin B)与 n(2，sin C)共线，求边长 b 和 c 的值解 (1) f(x) ab2cos 2x sin2x31cos2 x sin2x12cos ，3 (2x 3)由 2k2 x 2 k( kZ)， 3解得 k x k (kZ)， 6 3 f(x)的单调递减区间为 (kZ)k 6， k 3(2) f(A)12cos 1，(2A 3)cos 1.(2A 3)110 A， 2A ， 3 3732 A ，即 A . 3 3 a ，7由余弦定理得a2 b2 c22 bccosA( b c)23 bc7.向量 m(3，sin B)与 n(2，sin C)共线，2sin B3sin C.由正弦定理得 2b3 c，由，可得 b3， c2.
