1、- 1 -2019 年安庆市高三模拟考试（二模）数学试题（理）第 I 卷（选择题，共 60 分）一、选择题：本大题共 12 小题.每小题 5 分。满分 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知 i 为虚数单位，复数 z 满足 izi2)1(，则下列关于复数 z 说法确的是A. z1B. 2| C.D.2.命题“ 0,xR”的否定是A.)(sin)( xAxf 的部分图象如图所示，其中点 A 坐标为2,31,点 B 的坐标为 1,35，点 C 的坐标为(3,-1)，则 )(xf的递增区间为A. Zkk,4, B. Zkk,312,5C. ,31,5 D. ,8.已知
2、正数 zyx,，满足 0logllog532zyx，则下列结论不可能成立的是A. 532 B. b0)的左、右两焦点分别为 F1、F2，P 是双曲线上一点，点 P 到双曲线中心的距离等于双曲线焦距的一半，且 aF4|21，则双曲线的离心率是A. 210B. 6 C. 25 D. 310. 若ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a，b，C，已知 BaAbsin2i，且 bc2,则ba等于 A. 23B. 4 C. 2 D. 311.甲、乙、丙、丁四名同学报名参加假期社区服务活动，社区服务活动共有关怀老人、环境监测、教育咨询、交通宣传等四个项目，每人限报其中一项，记事件 A 为“4 名同学
3、所报- 3 -项目各不相同”，事件 b 为“只有甲同学一人报关怀老人项目，则 )|(BAP的值为A. 41B. 3 C. 92 D. 512.若函数 0)(log)(axf且 1)的定义域与值域都是m, n ( mb0)的离心率为 2，且过点（2， 2）.(I)求椭圆 C 的标准方程；(II)设 A、B 为椭圆 C 的左，右顶点，过 C 的右焦点 F 作直线 l交椭圆于 M, N 两点，分别记ABM、ABN 的面积为 S1，S 2,求|S 1-S2|的最大值。21.(本小题满分 12 分）已知函数 )(ln)(Raxf.(1)讨论 x的单调性.(II)若 0)(f有两个相异的正实数根 21,x
4、，求证 00,求 |PBA的值。23.(本小题满分 10 分）选修 4-5 不等式选讲 已知 |12|)(xxf .(I )若 (f,求实数 的取值范围；(II) nmxf1 (m0, n0 )对任意的 Rx 都成立，求证： 43nm。2019 年安庆市高三模拟考试（二模）数学试题（理科）答案1、选择题：题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 C B C D D B A B A D C D- 7 -1. 解析：由条件知 i12ii1z， A 错； 2z，B 错；i1z，C 正确； i2z，D 错误. 故选 C.2. 解析：根据全称命题的否定是特称命题，只有 B 正确.
5、故选 B.3. 解析：根据程序框图可知： 13iSiSiS， ； ， ； ， ； 6,4i516274386iSiS， ； ， ； ， ； ， ； 917，；0348， ； ，； 0i， . 故选 C.4. 解析：由 costan(1s)，可得 sinco(1i)，csii2，即 cos2.又 02， ， 0， ，则 0， ， 0， .故 即 2. 故选 D .5. 解析：作出可行域，可知当 1x， 0y时，目标函数 21yxz取到最小值，最小值为 412yxz. 故选 D.6. 解析：该几何体是一个长方体，其长、宽、高分别为 2， ， 3，其体积为32. 故选 B.7. 解析：由 B、 C的
6、坐标可知，函数 )(xf的图象有对称轴 37x， 21T，故4T，可得函数的一个单调递增区间为 513， ，则 )(f的递增区间为 543k， ， Zk. 故选 A.8. 解析：设 0logllog532kzyx，则 12kx， 13ky， 15kz，故1k时， 5z； 1k时， 32yx； 时， . 故选 B.9. 解析：不妨设点 P在双曲线的右支上，则 12PFa.因为 124PFa，所以 13Fa， 2.由点 到双曲线中心的距离等于双曲线焦距的一半可知，- 8 -12PF，所以 22211PFF，即 2294ac，得 104a.所以双曲线的离心率 0cea.故选 A.10. 解析：由 s
7、in2ibAB，得 2sincosinsAB，得 1cos2A又 c，由余弦定理得 2243bbb，得 3ab. 故选 D11.解析： 4)(BP， 43)(A， 9)(BPA.故选 C12. 解析：函数 logafx的定义域与值域相同等价于方程 logax有两个不同的实数解. 因为 nlnla xx，所以问题等价于直线 lny与函数lnxy的图象有两个交点. 作函数 y的图象，如图所示. 根据图象可知，当10le时，即1e时，直线 lna与函数 lxy的图象有两个交点.选 D.第 II 卷（非选择题，共 90 分）二、填空题： 题号 13 14 15 16答案 2121331613.解析：由
8、已知得 5baba，于是 4ba，222ba， .14. 解析：展开式的通项公式为 7721C2Crr rrrTxax. 由 71r，得3r，所以一次项的系数为 347a. 由 3470，得 1.15. 解析： fx是 R上周期为 5 的奇函数，- 9 -30)1(2)0(1)2(5)4(3 fffff 16. 解析：由作法可知，弧（）为抛物线 yxy弧，则实线围成的区域面积为 dxS)21(420 360)23(4.三、解答题：17. 解析：（）由 1naS ，得 1naS（ 2 ， *Nn）. - ，得 20，即 12（ ， ）.3 分由 2212aSa， 1a，得 214a，所以 1nn
9、（ *N），所以数列 n是首项和公比都为 2的等比数列，因此 2a， . 6 分（）由 1n，得 2lognnba， 7 分所以 11()n， 9 分所以 1231nbb1n. 12 分18.解析：（）在图 1 中，因为 BECDE， ，所以在图 2 中有， P， ，2 分又因 DE，所以 平面 ，4 分因 B平面 P，故 PDEB平 面平 面 .- 10 -5 分（）因为 DEP， B， E，所以 P平面 ABED.又 B，以 为原点，分别以 BD,所在直线为 x轴， y轴， z轴，建立如图 1 所示的空间直角坐标系，设 a， (20)()(20)PaA， ， ， ， ， ， ， ， ，则
10、PD， ， ， ，.6 分设平面 A的法向量为 ()nxyz， ， ，由 020azyxPn.取 xayz， ， ，即 (2)n， ，8 分取平面 BE的法向量为 )0,(D，9 分n52，即 )4,20(),4(,524 PBnaa故解 得 .10 分设直线 PB与平面 AD所成角为 ， 5,cosi .所以直线 与平面 所成角的正弦值为 52. 12 分注：（）另解- 11 -根据题设可将四棱锥 PABED补成直四棱柱 EBADPGH，且平面 PE与平面PAD所成二面角的平面角为 ，如图 2 所示.设 Ea，则 24a，由 25cos，得 4a.作 BOF， 为垂足，易知 O平面 F. 连
11、接 O，则 就是直线 B与平面 PAD所成角.225+sinABBPEP.19. 解析:（）抽取的一件药品的主要药理成分含量在 (3)， 之内的概率为09974，1 分从而主要药理成分含量在 (3)， 之外的概率为 00026，2 分故 (20.6)XB， 4 分因此 0495.26.974)11CP，5 分的数学期望为 .0.E6 分（）（1）由 96.x， 1.s，得 的估计值为 96.， 的估计值为 19.0，7 分由样本数据可以看出有一件药品的主要药理成分(9.22)含量在(3)(.305)， ，之外，因此需对本次的生产过程进行检查8 分（2）设“在一次检测中，发现需要对本次的生产过程
12、进行检查”为事件 A，则057.943.1)97.(1)(1)( 2020 XPA；10 分如果在一天中，需停止生产并对原材料进行检测，则在一天的四次检测中，有连续两次出现了主要药理成分含量在 (3)， 之外的药品，故概率为 07.)943.(057.()1)(3 2222 APP.故确定一天中需对原材料进行检测的概率为 .12 分- 12 -20. 解析：（）根据题意可得 2241cabc解得 28a， 24b.故椭圆 C的标准方程为218xy. 5 分（）由（）知 20F， ，当直线 l的斜率不存在时， 21S，于是 021S；6 分理科数学答案（共 10 页）第 6 页当直线 l的斜率存
13、在时，设直线 02:kxyl，设 1Mxy， ， 2Nxy， ，联立2184ykx得 22+8k，根据韦达定理得212xk，21kx8 分于是 12121244Syxk10 分22888112kk.当且仅当 2k时等号成立，此时 21S的最大值为 4.综上， 21S的最大值为 4.12 分21. 解析：（） xafln)(的定义域为 0，- 13 -所以 1axfx. 2 分 当 0a时， 0f，所以 fx在 0， 上为减函数； 当 时， 1fxa，所以 f在 1a， 上为减函数，在 1a， 上为增函数. 5 分（）法 1：要证 0)(21 xff，即证 012xa，即 21xa6 分理科数学
14、答案（共 10 页）第 7 页由 12()fxf得 12lnxa，所以只要证 1212lnxx.7 分不妨设 120x，则只要证 1 12221221lnlnxxx.8 分令 12tx，则只要证明当 1t时， lt成立.10 分设 ()lngtt， 1t，则 221()10tgtt，所以函数 t 在 ， 上单调递减，所以 ()g，即 1lnt成立.11 分由上分析可知， 12()0fxf成立. 12 分法 2：要证 12()ff，即证 012xa，即 21xa.6 分令 1tx， 2t，下证 12t.- 14 -7 分由 12()fxf.得 12lnlaxx，即 21lnltat.令 lgtt
15、， 12()gt， 22()agtt.由 ()00a， ，所以 )(g在 0a， 上为减函数，在a，上为增函数.8 分设 10t， ， 2ta， .理科数学答案（共 10 页）第 8 页令 )2ln(ln)()( tatttgth . 10 分2224()()()tatatt， 1(0)， ， 1(0ht. 所以 th在 0， 上为减函数， )(1aht，即 )2()11tag， 2(tg. 11 分又因为 )(t在 )， 上为增函数，所以 12tat，即 at2. 故 021 xff，得证. 12 分请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。作答时请写清题号2
16、2解析：（）由 25sin得 250xy，即 22(5)xy.2 分直线 l的普通方程为 0myx， l被圆 C截得的弦长为 ，所以圆心到 l的距离为32，即0532，解得 3m或 . 5 分（）法 1：当 时，将 l的参数方程代入圆 C 的直角坐标方程得，22(3)(5tt，即 230tt.- 15 -由于 2(3)40，故可设 12t， 是上述方程的两实根，所以12.t，又直线 l过点 35P， ，故由上式及 t的几何意义，得 AB= 12(|+|)t= 12()3. 10 分法 2：当 3m时点 5， ，易知点 P在直线 l上. 又 5)(322，所以点 P在圆外.联立22()1350xy，消去 y得， 230x.不妨设 A， 、 5B， ，所以 PAB= 232.23.解析：（） ()1fxf，即 215x. 当 12x时， ，得 ； 当 时， 125x，得 3，不成立； 当 1x时， 2，得 2x. 综上，所求的 的取值范围是 312， ， .5 分（）因为 21213xxx，所以 3mn.8 分因为 0， 时， 12nm，所以 123n，得 23mn，所以 423n.- 16 -10 分
