1、- 1 -27.2.3 相似三角形应用举例【教学目标】知识技能目标:1.进一步巩固相似三角形的知识.2.能够运用三角形相似的知识,解决不能直接测量物体的长度和高度(如测量金字塔高度问题、测量河宽问题、盲区问题)等的一些实际问题.过程性目标:通过把实际问题转化成有关相似三角形的数学模型,进一步了解数学建模的思想,培养分析问题、解决问题的能力.情感态度目标:通过学生观察、分析现实生活中的相似现象,使学生进一步体会三角形相似的应用价值和丰富内涵.逐步形成数学思想,认识数学价值,促进审美意识的发展.【重点难点】重点:运用三角形相似的知识计算不能直接测量物体的长度和高度.难点:灵活运用三角形相似的知识解
2、决实际问题.【教学过程】一、创设情境1.判断两个三角形相似有哪些方法?2.相似三角形有什么性质?3.太阳光线是什么光线?二、探索归纳探究活动 1(教材 P39 例 4测量高度问题)例 4 据传说,古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾利用相似三角形的原理,在金字塔影子的顶部立一根木杆,借助太阳光线构成两个相似三角形,来测量金字塔的高度.如图,如果木杆 EF 长 2 m,它的影长 FD 为 3 m,测得 OA 为 201 m,求金字塔的高度 BO.(思考如何测出 OA 的长?)- 2 -师生活动:学生小组讨论;师生共同交流,通过观察示意图,使学生建立起相似图形的几何直觉,并能明确表述求 OA 的方法中蕴
3、含的数学知识.分析:根据太阳光的光线是互相平行的特点,可知在同一时刻的阳光下,竖直的两个物体的影子互相平行,从而构造相似三角形,再利用相似三角形的判定和性质,根据已知条件,求出金字塔的高度.解:略(见教材 P40)探究活动 2(教材 P40 例 5测量河宽问题)例 5 如图,为了估算河的宽度,我们可以在河对岸选定一个目标点 P,在近岸取点 Q 和 S,使点 P,Q,S 共线且直线 PS 与河垂直,接着在过点 S 且与 PS 垂直的直线 a 上选择适当的点 T,确定 PT 与过点 Q 且垂直 PS 的直线 b 的交点 R.已测得 QS=45 m,ST=90 m,QR=60 m,请根据这些数据,计
4、算河宽 PQ.师生活动:教师提出问题:估算河的宽度,你有什么好办法吗?学生先小组讨论;教师在这一活动中重点关注学生们探究的主动性,特别应关注那些平时学习有一定困难的学生,他们往往在解决实际问题时,显示出创造的能力,这也是树立这些学生自信心的一个契机,然后通过例 5 进一步完善学生们的想法,让学生体会用数学知识解决实际问题的成就感和快乐.分析:设河宽 PQ 长为 x m,由于此种测量方法构造了三角形中的平行截线,故可得到相似三角形,因此有= ,即 = .再解 x 的方程可求出河宽. +456090解:略(见教材 P40)探究活动 3(教材 P40 例 6盲区问题)例 6 如图,左、右并排的两棵大
5、树的高分别为 AB=8 m 和 CD=12 m,两树底部的距离 BD=5 m.一个人估计自己眼睛距地面 1.6 m.她沿着正对这两棵树的一条水平直路 l 从左向右前进,当她与左边较低的树的距离小于多少时,就看不到右边较高的树的顶端 C 了?- 3 -分析:观察者的眼睛 F 的位置为视点,视线 FC 与水平视线 FG 的夹角CFG 是观察者的仰角,观察者看不到的区域(如四边形 ABDC 内部)是盲区.解:假设观察者从左向右走到点 E(视点 F)处,视点 F 与两棵树的顶点 A,C 恰在一条直线上.由题意可知AB l,CD l,ABCD,AFHCFK, = .即 = = .+58-1.612-1.
6、66.410.4解得 FH=8.由此可知,如果观察者继续前进,即她与左边的树的距离小于 8 m 时,由于这棵树的遮挡,右边的树顶端 C在观察者的盲区之内,观察者就不能看到它了.三、新知应用某同学想利用树影测量树高.他在某一时刻测得小树高为 1.5 米时,其影长为 1.2 米,当他测量教学楼旁的一棵大树影长时,因大树靠近教学楼,有一部分影子在墙上.经测量,地面部分影长为 6.4 米,墙上影长为1.4 米,那么这棵大树高多少米?师生活动:教师出示问题,学生独立思考,写出解答过程,找学生板演讲解.设计意图:这是一个变式拓展题,前面知道影子长度可以很快用比例得出想要的高度,但这里设置了一堵墙,物体的影
7、长等于地上的部分加上墙上的部分,需要学生灵活处理,也会出现不同的处理办法,截断 AB 或延长AD,考查学生对此类问题的灵活度和综合运用知识的能力.四、检测反馈- 4 -1.在阳光下,身高 1.5 m 的张强在地面上的影长为 2 m,在同一时刻,测得学校的旗杆在地面上的影长为 18 m,则旗杆的高度为_. 2.王明在测量楼高时,先测出楼房落在地面的影长为 15 米,然后在同一时刻测得一根高为 2 米的标杆,影长为 3 米,则楼高为_. 3.在某一时刻,有人测得一高为 1.8 米的竹竿的影长 AC 为 3 米,某一高楼的影长 BA 为 90 米,那么高楼的高度是多少米?4.如图,测得 BD=120 m,DC=60 m,EC=50 m,求河宽 AB.五、课堂小结1.面对不易直接测量的物体的高度或长度:实际问题构造数学模型利用相似三角形的性质建立方程解决问题.2.这节课用到的求不能直接测量的物体的高度或宽度的方法:(1)利用阳光下的影长测物体的高度.(2)利用标杆测物体的高度.(3)利用镜子的反射测物体的高度.六、板书设计课题:27.2.3 相似三角形应用举例测高 测宽 盲区问题- 5 -
