1、- 1 -2017-2018 年度莆田六中高三第三次模拟考文科数学试卷班级： 姓名： 座号：第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合 , ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先求集合 B，再根据交集定义求 .【详解】因为 ,所以 ，选 B.【点睛】集合的基本运算的关注点(1)看元素组成集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提(2)有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决(3)注意数形结合思想的
2、应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和 Venn 图2.设有下面四个命题，其中的真命题为（ ）A. 若复数 ，则 B. 若复数 满足 ，则 或C. 若复数 满足 ，则 D. 若复数 满足 ，则【答案】A【解析】【分析】根据复数模的定义以及共轭复数定义，判断命题真假.【详解】设 ,则由 ，得 ,因此 ,从而 A正确；- 2 -设 , , 则由 ，得 ,从而 B 错误；设 , 则由 ，得 ，因此 C 错误；设 , , 则由 ，得 ，因此 D 错误；综上选 A.【点睛】熟悉复数相关基本概念，如复数 的实部为 、虚部为 、模为 、对应点为 、共轭为3.已知双曲线 ： 与双曲线 ： ，给出下列说法，其
3、中错误的是（ ）A. 它们的焦距相等 B. 它们的焦点在同一个圆上C. 它们的渐近线方程相同 D. 它们的离心率相等【答案】D【解析】由题知 则两双曲线的焦距相等且 ，焦点都在圆 的圆上，其实为圆与坐标轴交点渐近线方程都为 ，由于实轴长度不同故离心率 不同故本题答案选 ，4.已知一几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）- 3 -A. B. C. D. 【答案】C【解析】观察三视图可知，几何体是一个圆锥的 与三棱锥的组合体，其中圆锥的底面半径为 ，高为 三棱锥的底面是两直角边分别为 的直角三角形，高为 则几何体的体积故本题答案选 5.在等比数列 中， ，则“ ， 是方程 的两根”是“
4、”的 （ ）A. 充分而不必要条件 B. 必要而充分不条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】先根据韦达定理得 ，再根据等比数列性质求 ，最后确定充要关系.【详解】因为 ， 是方程 的两根，所以 ，因此 ,因为 0，所以从而“ ， 是方程 的两根”是“ ” 充分而不必要条件，选 A.【点睛】充分、必要条件的三种判断方法1定义法：直接判断“若 则 ”、 “若 则 ”的真假并注意和图示相结合，例如“ ”为真，则 是 的充分条件2等价法：利用 与非 非 ， 与非 非 ， 与非 非 的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法3集合法：若 ，则 是 的充分条
5、件或 是 的必要条件；若 ，则 是 的充要条件6.为了反映国民经济各行业对仓储物流业务的需求变化情况，以及重要商品库存变化的动向，中国物流与采购联合会和中储发展股份有限公司通过联合调查，制定了中国仓储指数如图所示的折线图是 2016 年 1 月至 2017 年 12 月的中国仓储指数走势情况- 4 -根据该折线图，下列结论正确的是A. 2016 年各月的仓储指数最大值是在 3 月份B. 2017 年 1 月至 12 月的仓储指数的中位数为 54%C. 2017 年 1 月至 4 月的仓储指数比 2016 年同期波动性更大D. 2017 年 11 月的仓储指数较上月有所回落，显示出仓储业务活动仍
6、然较为活跃，经济运行稳中向好【答案】D【解析】2016 年各月的仓储指数最大值是在 11 月份；2017 年 1 月至 12 月的仓储指数的中位数为52%；2017 年 1 月至 4 月的仓储指数比 2016 年同期波动性小；2017 年 11 月的仓储指数较上月有所回落，显示出仓储业务活动仍然较为活跃，经济运行稳中向好，所以选 D.7.设 分别为椭圆 的左右焦点，椭圆 上存在一点 使得 ，则该椭圆的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析：由椭圆定义 ,及公式 ，可得 a 与 b 的关系，进一步可求得离心率 e.解析：由椭圆定义 ,结合 ， ，可得- 5 -，即 解得 （
7、舍）或 ，所以离心率 ，选 C.点睛:求离心关系是要通过题意与圆锥曲线定义或几何关系，建立关于 a,b 或 a,c 的关系式，再进一步求得离心率真。8.相传黄帝时代，在制定乐律时，用“三分损益”的方法得到不同的竹管，吹出不同的音调 “三分损益”包含“三分损一”和“三分益一” ，用现代数学的方法解释如下， “三分损一”是在原来的长度减去一分，即变为原来的三分之二；“三分益一”是在原来的长度增加一分，即变为原来的三分之四，如图的程序是与“三分损益”结合的计算过程，若输入的 的值为 ，输出的 的值为 （ ） - 6 -A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据循环计算输出结果.【详解】因
8、为 ，结束循环，输出结果 ，选 B.【点睛】算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终- 7 -止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.9.已知直线 过点 且倾斜角为 ，若 与圆 相切，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先根据直线与圆相切得 ，再根据诱导公式以及弦化切求结果.【详解】设直线 ,因为 与圆 相切，所以 ，因此 选 A.【点睛】应用三角公式解决问题的三个变换角度(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常
9、是“配凑”.(2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦” 、 “升幂与降幂”等.(3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换” 、 “逆用变用公式” 、 “通分约分” 、 “分解与组合” 、 “配方与平方”等.10.如图，在 中， ， ， ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】 ， ，又 ， ，- 8 - ，故选 11.三棱锥 A-BCD 的所有顶点都在球 O 的表面上， 平面 BCD， ，则球 的表面积为 ( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先确定三角形 BCD 外接圆半
10、径，再解方程得外接球半径，最后根据球表面积公式得结果.【详解】因为 ， ，所以 ，因此三角形 BCD 外接圆半径为 ,设外接球半径为 R，则 选 D.【点睛】涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解.12.设定义在 上的函数 满足任意 都有 ，且 时， ，则的大小关系是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】函数 f（x）满足 可得 f（t+4）= ，f（x
11、）是周期为 4 的函数f（2016）=f（4） ，4f（2017）=4f（1） ，2f（2018）=2f（2） 令 g（x）= ，x（0，4，则 x（0，4时， f( x)g（x）0，g（x）在（0，4递增，- 9 -f（1） 可得：4f（1）2f（2）f（4） ，即 故选 C二、填空题（本题共 4 小题，每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13.若变量 满足约束条件 ,则 的最小值为_；【答案】1【解析】【分析】先作可行域，再根据目标函数表示可行域内点到坐标原点距离的平方，结合图像确定最小值取法.【详解】作可行域， 表示可行域内点 P 到坐标原点距离的平方，由图可得最小值为【点
12、睛】线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围.14.已知函数 若 ， ，则_【答案】-4- 10 -【解析】【分析】根据分段函数解析式计算 .【详解】因为 ，.【点睛】(1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现 的形式时，应从内到外依次求值.(2)求某条件下自变量的值，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记代入检验，看所求的自变量的
13、值是否满足相应段自变量的取值范围.15.远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”.如右上图所示的是一位母亲记录的孩子自出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满七进一，根据图示可知，孩子已经出生的天数是_【答案】509【解析】【分析】根据不同进制转换成十进制.【详解】【点睛】本题考查不同进制转换，考查基本求解能力.16.已知数列 的前 项和为 ，且满足 ，数列 满足 ，则数列 中第_项最小【答案】4【解析】- 11 -分析：由题可得到数列 为等差数列，首项为 1，公差为 1可得 数列 满足利用累加求和方法即可得出 可得 ，利用不等式的性质即可得出详解：由题 时， 化为
14、 时， ，解得 数列 a1=1，a 2=2 的奇数项与偶数项分别成等差数列，公差都为 2， 进而得到数列 为等差数列，首项为 1，公差为 1 数列 满足时，时也成立则数列 中第 4 项最小即答案为 4.点睛：本题考查了数列递推关系、等差数列的定义项公式与求和公式、累加求和方法、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题三、解答题：本大题共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(一)必考题：共 60 分.17.在 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且 ()求 ；()若 ，点 ， 是线段 的两个三等分点， ， ，求 的值【答案】(1) ;(2) .【解析】【分析】（
15、1）先根据正弦定理将边角关系化为边的关系，再根据余弦定理得结果， （2）先根据余弦- 12 -定理解得 ，再根据余弦定理解得 .【详解】() ，则由正弦定理得： ， ， ，又 ， ；()由题意得 ， 是线段 的两个三等分点，设 ，则 ， ， 又 ， ，在 中，由余弦定理得 ，解得（负值舍去） ，则 ，又在 中， . 或解：在 中，由正弦定理得： ， ，又 ， ， 为锐角， ， ，又 ， ， ， ，在 中，【点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图
16、形中标出来，然后确定转化的方向.第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.第三步：求结果.18.已知四棱台 的上下底面分别是边长为 和 的正方形， 且 底面 ，点 为 的中点.（1）求证： 平面 ；- 13 -（2）在 边上找一点 ，使 平面 ，并求三棱锥 的体积.【答案】(1)证明见解析.(2) .【解析】分析：(1) 取 中点 ，由平几相似得 ，再由 底面 得 ，又是正方形，有 ，因此 平面 ，即得 ，最后根据线面垂直判定定理得结论，(2) 在 边上取一点 ，使 ，由平几知识得四边形 是平行四边形，即有 平面 . 设 ，由（1）得 为高，最后根据锥体体积公式求
17、结果.详解： （1）取 中点 ，连结 ， ，在 ， 平面 . 面 ， 面 ， ， 是正方形， ，又 平面 ， 平面 ， ， 平面 ， 平面 ， . ， ， ， ， ， ， ， 平面 ， 平面 ， ， 平面 .（2）在 边上取一点 ，使 ， 为梯形 的中位线， ， ， ， ，又 ， ，四边形 是平行四边形，- 14 - ，又 平面 ， 平面 ， 平面 . 平面 ， 平面 ， ， ， ， ，设 ，则 . . .点睛:垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.1
18、9.某公司想了解对某产品投入的宣传费用与该产品的营业额的影响.右图是以往公司对该产品的宣传费用 (单位：万元)和产品营业额 (单位：万元)的统计折线图.()根据折线图可以判断，可用线性回归模型拟合宣传费用 与产品营业额 的关系，请用相关系数加以说明；()建立产品营业额 关于宣传费用 的回归方程；- 15 -()若某段时间内产品利润 与宣传费 和营业额 的关系为 应投入宣传费多少万元才能使利润最大，并求最大利润. (计算结果保留两位小数)参考数据： ， ， ， ，参考公式：相关系数 ，回归方程 中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为 ， 【答案】(1)见解析;(2) ;(3)投入宣传费 3 万元
19、时，可获得最大利润 55.4 万元.【解析】【分析】（1）根据公式计算 与 的相关系数，再根据系数值作出判断， （2）先求均值，再代入公式求， ，即得结果， （3）将回归直线方程代入，再根据二次函数性质求最值.【详解】 （）由折线图中数据和参考数据得： ， ，又 ， ， 因为 与 的相关系数近似为 ，说明 与 的线性相关程度相当高，从而可以用线性回归模型拟合 与 的关系. - 16 -（）又 ， ， ，所以 关于 的回归方程为 . （）故 ，故当 时，.所以投入宣传费 3 万元时，可获得最大利润 55.4 万元.【点睛】函数关系是一种确定的关系，相关关系是一种非确定的关系.事实上，函数关系是两
20、个非随机变量的关系，而相关关系是非随机变量与随机变量的关系.如果线性相关，则直接根据用公式求 ，写出回归方程，回归直线方程恒过点 .20.在平面直角坐标系 中，抛物线 ，三点 ， ， 中仅有一个点在抛物线 上()求 的方程；（）设直线 不经过 点且与 相交于 两点若直线 与 的斜率之和为 ，证明： 过定点【答案】(1)见解析;(2)见解析.【解析】【分析】（1）根据抛物线对称性确定 在抛物线上，代入可得 ， （2）先设坐标，根据斜率公式化简条件直线 与 的斜率之和为 ，得 ，再联立直线方程 与抛物线方程，利用韦达定理化简得 ，根据点斜式可得定点.【详解】()因为点 , 关于 轴对称，故两个点都
21、不在抛物线上 所以仅 在抛物线上，计算得 ，解得 ， 所以 经验证 , 都不在 上 （）由题意得直线 斜率不为 ，设直线 ， ， 与 的斜率分别为 将 与 联立，并消去 ，得： ， - 17 -故有 ； 又因为 ， 所以 ，解得又因为 ，所以 ，即 ，解得 ，即 ，故 ，必过定点 【点睛】定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、 “定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.21.已知函数 ， ，曲线 y=
22、g(x)在 x=1 处的切线方程为 x-2y-1=0 ()求 ，b；()若 ，求 m 的取值范围【答案】(1) ， (2) .【解析】【分析】（1）先求导数，再根据导数几何意义求切线斜率，最后化简 解得 ， ， （2）先化简不等式，再构造函数 ，利用导数研究函数 性质，结合 ，确定 m 的取值范围【详解】 （1） ， 又依题意，可得： ，即 .又因为切点为 ，所以 ，即 由上可解得 ， （2）依题意， ，即 又 ，所以原不等式等价于 构造函数 ，则 ， ，则 - 18 -当 时， 在 上恒成立，故 在 上单调递增，又 ，故当 时， ，故不合题意当 时，令 ，得 ，由下表：单调递增 单调递减可知
23、， 构造 ， ，可得 ，由下表：单调递减 单调递增可知， 由上可知，只能有 ，即 【点睛】对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法，一是分离参数法, 使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件.二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论，三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图像确定条件.(二)选考题：共 10 分.请考生在第 22，23 题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题记分，作答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.22.在极坐标系中，曲线 ： ， ： ， 与 有且仅有一个公共点- 19
24、 -（1）求 ；（2） 为极点， ， 为 上的两点，且 ，求 的最大值【答案】 （1） （2）【解析】试题分析（I）把圆与直线的极坐标方程分别化为直角坐标方程，利用直线与圆相切的性质即可得出 a；（II）不妨设 A 的极角为 ，B 的极角为 + ，则|OA|+|OB|=2cos+2cos（+ ）=2cos（+ ） ，利用三角函数的单调性即可得出解：（）曲线 C：=2acos（a0） ，变形 2=2acos，化为 x2+y2=2ax，即（xa）2+y2=a2曲线 C 是以（a，0）为圆心，以 a 为半径的圆；由 l：cos（ ）= ，展开为 ，l 的直角坐标方程为 x+ y3=0由直线 l 与圆
25、 C 相切可得 =a，解得 a=1（）不妨设 A 的极角为 ，B 的极角为 + ，则|OA|+|OB|=2cos+2cos（+ ）=3cos sin=2 cos（+ ） ，当 = 时，|OA|+|OB|取得最大值 2 考点：简单曲线的极坐标方程视频23.选修 4-5：不等式选讲 设函数 ()求函数 的值域；() 若函数 的最大值为 ，且实数 满足 ，求证：- 20 -【答案】(1) ;(2)见解析.【解析】【分析】（1）先根据绝对值三角不等式得 最大值，再根据绝对值定义得函数 的值域， （2）利用 1 的代换将不等式转化为，再根据基本不等式证明结论.【详解】() ， ， （当且仅当 即 时，等号成立） ， ，函数 的值域为 ；()由()得： 函数 的最大值 ，又 ， ，（当且仅当 ，即 时，等号成立）【点睛】含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向- 21 -
