1、11.2 二次函数的图象与性质第 4 课时 二次函数 y a(x h)2 k 的图象与性质知|识|目|标1通过回顾图象的平移，理解抛物线 y ax2平移到抛物线 y a(x h)2和抛物线y a(x h)2 k 的过程2运用描点法画二次函数 y a(x h)2 k 的图象，并通过观察二次函数 y a(x h)2 k的图象归纳其性质3在回顾用待定系数法求一次函数的表达式的基础上，能根据抛物线 y a(x h)2 k 的顶点坐标求二次函数的表达式. 目标一 理解二次函数 yax 2与 ya(xh) 2k 的图象之间的关系例 1 教材补充例题已知二次函数 y2 x2， y2( x2) 2， y2(
2、x2) 22，请回答下列问题：(1)通过怎样的平移，可以由抛物线 y2 x2得到抛物线 y2( x2) 2和 y2( x2)22?(2)如果要得到抛物线 y2( x2017) 22018，应将抛物线 y2 x2怎样平移？这样的平移方法唯一吗？【归纳总结】抛物线 y ax2与 y a(x h)2 k 之间的平移：(1)抛物线的平移规律可以总结为“左加右减自变量，上加下减常数项” ，即抛物线 y ax2向左平移时，在自变量 x 中加上平移的单位数 h，向右平移时，在自变量 x 中减去平移的单位数 h; 向上平移时，在常数项中加上平移的单位数 k，向下平移时，在常数项中减去平移2的单位数 k.(2)
3、 抛物线 y ax2与 y a(x h)2 k 之间的平移方法不是唯一的，既可以先左右平移，也可以先上下平移(3) 由抛物线 y a(x h)2 k 平移得到抛物线 y ax2与由抛物线 y ax2平移得到抛物线y a(x h)2 k 的方法恰好相反(4)由于抛物线平移后的形状不变，故二次项系数 a 不变，所以求平移后的抛物线的函数表达式通常有两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出函数表达式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出函数表达式目标二 理解二次函数 ya(xh) 2k 的图象与性质例 2 教材例 4 针对训练已知二次函数 y( x2) 24.(1)在图
4、122 给定的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象；(2)求出图象的顶点坐标、对称轴与最值；(3)当 x 满足什么条件时，函数值 y 随自变量的增大而增大？ 当 x 满足什么条件时，函数值y 随自变量的增大而减小？(4)根据图象，写出当 y0 时 x 的取值范围图 122【归纳总结】二次函数 y a(x h)2 k 的图象与性质：(1)在二次函数 y a(x h)2 k 中， a 决定了图象的开口方向与开口大小， h 决定了图象的对称轴， h， k 决定了图象的顶点的位置(2)从二次函数的表达式 y a(x h)2 k 中，可以直接看出抛物线的顶点坐标( h， k)，对称轴，即直线 x h，因
5、此通常把表达式 y a(x h)2 k 叫作二次函数的顶点式(3)二次函数 y a(x h)2 k 与 y a(x h)2的增减性相同(4)求函数值 y0 时自变量 x 的取值范围的方法：求出 y0 时 x 的值(即确定抛物线与 x轴的交点坐标)；找出 x 轴下方的图象对应的自变量 x 的取值范围目标三 能根据抛物线的顶点坐标求二次函数表达式 ya(xh) 2k例 3 教材例 5 针对训练已知二次函数图象的顶点为 A(1，4)，且过点 B(2，5)(1)求该函数的表达式；(2)求该函数图象与坐标轴的交点坐标；(3)将该函数图象向右平移，当图象经过坐标原点时， A， B 两点随图象移至点 A，
6、B，求 OA B的面积3【归纳总结】根据抛物线的顶点坐标求函数表达式的方法：(1)设二次函数的表达式为 y a(x h)2 k(a0)；(2)将抛物线的顶点坐标与另一点的坐标或一组 x， y 的对应值代入，计算出 a 的值；(3)将所求的 a 值代入顶点式 y a(x h)2 k 中，得到二次函数表达式知识点一 画二次函数 ya(xh) 2k 的图象的步骤由于我们已经知道了二次函数 ya(xh) 2k 的图象的性质，因此画二次函数 ya(xh)2k 的图象的步骤如下：第一步：写出对称轴和顶点坐标，并且在平面直角坐标系内画出对称轴，描出顶点；第二步：列表(自变量 x 从顶点的横坐标开始取值)、描
7、点和连线，画出图象在对称轴右边的部分；第三步：利用对称性，画出图象在对称轴左边的部分(这只要先把对称轴左边的对称点描出来，然后用一条光滑曲线顺次连接它们和顶点)知识点二 二次函数 ya(xh) 2k 的图象与性质a 的取值图象的开口方向图象的对称轴图象的顶点坐标函数值的变化情况a0 向_ _ _在对称轴左侧，y 随 x 的增大而_；在对称轴右侧，y随 x 的增大而_ya(xh)2ka0 向_ _ _在对称轴左侧，y 随 x 的增大而_；在对称轴右侧，y随 x 的增大而_知识点三 用平移法由二次函数 yax 2(a0)的图象得到二次函数 ya(xh) 2k(a0)的图象4二次函数图象平移的规律：
8、左加右减(对 x 变化)，上加下减(对 y 变化)知识点四 已知抛物线的顶点及另一点的坐标求函数表达式我们把 ya(xh) 2k(a，h，k 是常数，a0)叫作二次函数的顶点式，其中_为其图象的顶点坐标已知抛物线的顶点坐标与图象上另一点的坐标求函数表达式时，设函数表达式为 ya(xh) 2k 计算较为简单点拨 符合用顶点式求函数表达式的情形：已知抛物线的顶点坐标与图象上另一点的坐标；已知抛物线的对称轴及两点的坐标1已知二次函数 y(xm) 21，当 x3 时，y 随 x 的增大而减小，则 m 的取值范围是( )Am3 Bm3Cm3 Dm3答案：A 或 B上述答案正确吗？若不正确，请给出正确答案
9、，并说明理由2抛物线 y(x1) 22 的顶点坐标是_答案：(1，2)以上答案正确吗？若不正确，请给出正确答案56教师详解详析【目标突破】例 1 解：(1)抛物线 y2x 2的顶点坐标为(0，0)，抛物线 y2(x2) 2的顶点坐标为(2，0)，抛物线 y2(x2) 22 的顶点坐标为(2，2)，所以抛物线 y2x 2向右平移 2个单位得到抛物线 y2(x2) 2，抛物线 y2x 2先向右平移 2 个单位，再向上平移 2 个单位得到抛物线 y2(x2) 22.(2)抛物线 y2(x2017) 22018 的顶点坐标为(2017，2018)，应将抛物线 y2x 2先向右平移 2017 个单位，再
10、向下平移 2018 个单位这样的平移方法不唯一例 2 解：(1)列表：x 0 1 2 3 4 y 0 3 4 3 0 描点、连线如图(2)顶点坐标为(2，4)，对称轴为直线 x2，当 x2 时，函数值 y 有最小值，y 最小值4.(3)当 x2 时，函数值 y 随自变量的增大而增大；当 x2 时，函数值 y 随自变量的增大而减小(4)由于抛物线与 x 轴交于点(0，0)，(4，0)，当 y0 时，0x4.例 3 解：(1)由顶点为 A(1，4)，可设函数表达式为 ya(x1) 24(a0)，将B(2，5)代入表达式，得5a(21) 24，解得 a1，则二次函数的表达式为 y(x1) 24.(2
11、)令 x0，得 y(01) 243，故函数图象与 y 轴的交点坐标为(0，3)；令 y0，得 0(x1) 24，解得 x13，x 21，故函数图象与 x 轴的交点坐标为(3，0)和(1，0)(3)设原函数图象与 x 轴的交点为 M，N(点 M 在点 N 的左侧)，由(2)知 M(3，0)，N(1，0)当函数图象向右平移至经过坐标原点时，点 M 与点 O 重合，因此函数图象向右平移了 3 个单位，故 A(2，4)，B(5，5)，如图所示，过点 A作 ADy 轴于点 D，过点 B作 BEy 轴于点 E，S OAB (25)9 24 5515.12 12 127【总结反思】小结 知识点二 上 直线 xh (h，k) 减小增大 下 直线 xh (h，k) 增大 减小知识点四 (h，k)反思 1.不正确正确答案为 C.因为二次函数 y(xm) 21 的图象的对称轴为直线 xm，而抛物线开口向上，所以当 xm 时，y 随 x 的增大而减小又因为当 x3 时，y 随 x 的增大而减小，所以 m3.故答案为 C.反思：画出函数图象，根据图象进行分段分析2不正确正确答案为(1，2)反思：识记抛物线 ya(xh) 2k 的顶点坐标公式时，切勿弄错符号
