1、1专题训练(三) 相似三角形的基本模型 模型一 “A”字型(1)如图 3ZT1，公共角所对应的边平行，则ADEABC；(2)如图 3ZT1，公共角的对边不平行，且有另一对角相等，则AEDABC；(3)如图 3ZT1，公共角的对边不平行，且有另一对角相等，两个三角形有一条公共边，则ACDABC.(又称母子图)图 3ZT11如图 3ZT2 所示，D 是ABC 的边 AB 上一点，连接 CD，若AD2，BD4，ACDB，则 AC 的长为_图 3ZT22如图 3ZT3 所示，在ABC 中，D 是 BC 边上一点，连接 AD，EFBC，EF 分别与AB，AC，AD 交于点 E，F，G.求证： .EGGF
2、 BDDC图 3ZT323如图 3ZT4 所示，D，E 两点分别在ABC 的边 AB，AC 上，DE 与 BC 不平行(1)补充一个条件，使ADEACB；(2)在(1)的条件下，求证：ADEACB.图 3ZT4 模型二 “X”字型(1)如图 3ZT5，对顶角的对边平行，则ABODCO；(2)如图 3ZT5，对顶角的对边不平行，且OABOCD，则ABOCDO.图 3ZT54如图 3ZT6 所示，已知 AC 和 BD 相交于点 E，CEAEBEDE.求证：ABEDCE.图 3ZT65如图 3ZT7 所示，在四边形 ABCD 中，ADBC，对角线 AC，BD 相交于点 O，BECD 交CA 的延长线
3、于点 E.求证：OC 2OAOE.图 3ZT73 模型三 旋转型如图 3ZT8，12，BD，则ADEABC.图 3ZT86如图 3ZT9 所示， ，点 B，D，F，E 在同一条直线上，请找出图中的相似三ABAD BCDE ACAE角形，并说明理由图 3ZT9 模型四 垂直型(1)如图 3ZT10，直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似，即ACDABCCBD.(双垂直图)图 3ZT10(2)如图 3ZT11，RtABD 与 RtBCE 的斜边互相垂直，且点 A，B，C 共线，则有ABDCEB.(M 型，也可归入模型五)图 3ZT1147已知：如图 3ZT12，ABBD，EDBD
4、，C 是线段 BD 的中点，且ACCE，ED1，BD4，则 AB 的长为_图 3ZT12 模型五 一线三等角型如图 3ZT13，ABCACECDE，则ABCCDE，称为“一线三等角型”的相似三角形图 3ZT138如图 3ZT14，在ABC 中，ABAC10，BC16，D 是边 BC 上一动点(不与点 B，C 重合)，ADEB，DE 交 AC 于点 E.给出下列结论：图中有 2 对相似三角形；线段 CE 长的最大值为 6.4；当 ADDC 时，BD 的长为 .其中正确的结论是( )394图 3ZT14A BC D9如图 3ZT15 所示，ABC，DEF 均为正三角形，点 D，E 分别在边 AB，
5、BC 上，请找出一个与DBE 相似的三角形，并给予证明图 3ZT155详解详析1答案 2 3解析 在ABC 和ACD 中，ACDB，AA，ABCACD， ，即ACAD ABACAC2ADABAD(ADBD)2612，AC2 .故填 2 .3 32证明：EFBC， ， ，EGBD AGAD GFDC AGAD ，即 .EGBD GFDC EGGF BDDC3解：(1)A 是公共角，且 DE 与 BC 不平行，当补充条件ADEC 或AEDB 或 或ADABAEAC 时，ADEADAC AEABACB.(答案不唯一)(2)证明：A 是公共角，ADEC，ADEACB.A 是公共角，AEDB，ADEAC
6、B.A 是公共角， ，ADAC AEABADEACB.ADABAEAC， .ADAC AEAB又A 是公共角，ADEACB.4证明：CEAEBEDE， .CEBE DEAE又AEBDEC，ABEDCE.5证明：ADBC，COBAOD， .OCOA OBOD又BECD，EOBCOD， ，OEOC OBOD ，OCOA OEOC即 OC2OAOE.6解：ABCADE，BADCAE，ABFECF，AEFBCF.理由： ，ABAD BCDE ACAEABCADE，BACDAE，BACDACDAEDAC，即BADCAE.又 ，即 ，ABAD ACAE ABAC ADAEBADCAE，ABFFCE.又AF
7、BEFC，ABFECF.由ABCADE，得ACBAEF.又AFEBFC，AEFBCF.67答案 4解析 ABBD，EDBD，BD90，ACBA90.ACCE，ACBECD90，AECD，ABCCDE， .ABCD BCED又C 是线段 BD 的中点，BD4，BCCD2， ，AB4.AB2 218证明：CDAB，E 为斜边 AC 的中点，DECEAE AC，EDAA.12EDAFDB，AFDB.ACBCDA90，AACDFCDACD90，AFCD，FDBFCD.又FF，FDBFCD， ，BDCD DFCFBDCFCDDF.9解析 D 由ADEBC，得BADADB180ADBCDE，得BADCDE，于是ABDDCE，又易证ADEACD，故正确；设 BDx，由ABDDCE得 ，CE (x8) 26.4，故 CE 长的最大值为 6.4，正确；当ABCD BDCE BDCDAB x（ 16 x）10 110ADDC 时，DACCB，易证ABCDAC，得 ，即 ，解得 BD ，正ACCD BCAC 1016 BD 1610 394确10解：ECH，GFH，GAD 均与DBE 相似如选DBEGAD 证明如下：ABC 与DEF 均为等边三角形，AEDF60.又BDGBDEEDF，BDGAAGD，即BDE60AGD60，BDEAGD.又BA60，DBEGAD.
