1、1第一章 计数原理(A)(时间120 分钟 满分150 分)一、选择题(本大题共 12小题，每小题 5分，共 60分)1将 5封信投入 3个邮筒，不同的投法有( )A5 3种 B3 5种 C3 种 D15 种2三名教师教六个班的课，每人教两个班，分配方案共有( )A18 种 B24 种 C45 种 D90 种37 名同学排成一排，其中甲、乙两人必须排在一起的不同排法有( )A720 种 B360 种C1 440 种 D120 种4从 5名男生和 5名女生中选 3名组队参加某集体项目的比赛，其中至少有 1名女生入选的组队方案数为( )A100 B110 C120 D1805从 1,2,3，100
2、 中任取 2个数相乘，其积能被 3整除的有( )A33 组 B528 组C2 111 组 D2 739 组6编号为 1,2,3,4,5的 5人，入座编号也为 1,2,3,4,5的 5个座位，至多有 2人对号入座的坐法种数为( )A120 B130 C90 D1097杨辉三角为：杨辉三角中的第 5行除去两端数字 1以外，均能被 5整除，则具有类似性质的行是( )A第 6行 B第 7行C第 8行 D第 9行8在 n的展开式中，所有奇数项系数之和为 1 024，则第六项的系数是( )(1x 51x3)A330 B462 C682 D7929在 8的展开式中，常数项是 ( )(x2 13x)A28 B
3、7 C7 D2810若(3 x )n的展开式中各项系数之和为 128，则展开式中含 项的系数是( )13x2 1x3A7 B7 C21 D2111若( x1) n xn ax3 bx21( nN *)，且 a b31，则 n的值为( )A9 B10 C11 D1212三位数中，如果十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都小，则称这个数为凹数，如 524,746等都是凹数，那么，各个数位上无重复数字的三位凹数有( )A72 个 B120 个C240 个 D360 个二、填空题(本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分)13在由数字 0,1,2,3,4,5所组成的没有重复数字的四位数中，不能被
4、 5整除的数共2有_个14过三棱柱任意两个顶点的直线共 15条，其中异面直线有_对15在( x )9的展开式中， x3的系数是_1x16对于二项式(1 x)1 999，有下列四个命题：展开式中 T1 000C x999；9991 9展开式中非常数项的系数和是 1；展开式中系数最大的项是第 1 000项和第 1 001项；当 x2 000时，(1 x)1 999除以 2 000的余数是 1.其中正确命题的序号是_(把你认为正确命题的序号都填上)三、解答题(本大题共 6小题，共 70分)17(10 分)有 A， B， C三个城市，上午从 A城去 B城有 5班汽车，2 班火车，都能在1200 前到达
5、 B城，下午从 B城去 C城有 3班汽车，2 班轮船某人上午从 A城出发去 B城，要求 1200 前到达，然后他下午去 C城，问有多少种不同的走法？18(12 分)用 0,1,2,3,4,5共 6个数字，可以组成多少个没有重复数字的六位奇数？19(12 分)有 9本不同的课外书分给甲、乙、丙三名同学，求在下列条件下，各有多少种分法？(1)甲得 4本，乙得 3本，丙得 2本；(2)一人得 4本，一人得 3本，一人得 2本320(12 分)求( x 1) 5展开式中的常数项1x21(12 分)已知 Sn2 nC 2n1 C 2n2 C 211( nN *)，求证：当 n为偶1n 2n n 1n数时
6、， Sn4 n1 能被 64整除22(12 分)已知( 3 x2)n展开式中各项系数和比二项式系数和大 992，求展开式中3x2二项式系数最大的项和系数最大的项4第一章 计数原理(A)答案1B2D 分三步进行：先从六个班中选两个班给第一名老师，有 C 种方法；再从剩余26的四个班中选两个班给第二名老师，有 C 种方法；最后两个班给第 3名老师，共24C C C 90(种)方法26 24 23C 用捆绑法： NA A 1 440(种)6 24B 方法一 (直接法)分为三类：一女二男，二女一男，三女所以共有 C C C C C 110(种)组队方案15 25 25 15 35方法二 (间接法)无限
7、制条件的方案数减去全是男生的方案数，所有共有 C C 12010110(种)组队方案310 355D 乘法满足交换律，因此是组合问题把 1,2,3，99,100 分成 2组：3,6,9，99，共计 33个元素；1,2,4,5，100，共计 67个元素，故积能被 3整除的有 C C C 2 739(组)233 133 1676D 问题的正面有 3种情况：有且仅有 1人对号入座，有且仅有 2人对号入座和全未对号入座，这 3种情况都难以求解从反面入手，只有 2种情况：全对号入座(4 人对号入座时必定全对号入座)，有且仅有 3人对号入座全对号入座时只有 1种坐法；有 3人对号入座时，分 2步完成：从
8、5人中选 3人有 C 种选法，安排其余 2人不对号入座，只有 135种坐法因此，反面情况共有 1C 111(种)不同坐法.5 人无约束条件入座 5个座位，35有 A 120(种)不同坐法所以满足要求的坐法种数为 12011109.57B8B 由题意知，2 n1 1 0242 10，所以 n11.所以第六项的系数为 C 462.故511选 B.9C10C 赋值法：令 x1，得 n7，由通项公式得 Tk1 C (3x)7 k( )kk713x2(1) k37 kC x ，k721 5k3令 3，得 k6，21 5k3 的系数为(1) 6376 C 21.1x3 6711C12C131921436解
9、析 15 条直线中任选两条，有 C 105(对)直线；其中平行直线有 C 36(对)；215 23相交直线有 6C (同一顶点处)3(每个侧面的对角线)63(对)所以异面直线共有2510566336(对)1584解析 Tr1 C x9 rx rC x92 r，r9 r9令 92 r3， r3. x3的系数是 C 84.39165解析 展开式中 T1 000C ( x)999C x999，所以正确；展开式中各项系9991 9 9991 9数和为 0，而常数项为 1，所以非常数项的系数和为1，错；展开式中系数最大的项是第 1 001项，错；将二项式展开，即可判断对17解 根据分类加法计数原理，上午
10、从 A城到 B城，并在 1200 前到达，共有527(种)不同的走法下午从 B城去 C城，共有 325(种)不同的走法根据分步乘法计数原理，上午从 A城去 B城，然后下午从 B城去 C城，共有7535(种)不同的走法18.解 分三步：确定末位数字，从 1,3,5中任取一个有 C 种方法；确定首位数13字，从另外的 4个非零数字中任取一个有 C 种方法；将剩余的 4个数字排中间有 A 种14 4排法，故共有 C C A 288(个)六位奇数1314419解 (1)分三步完成：第一步：从 9本不同的书中，任取 4本分给甲，有 C 种方法；49第二步：从余下的 5本书中，任取 3本给乙，有 C 种方
11、法；35第三步：把剩下的书给丙有 C 种方法，2共有不同的分法为 C C C 1 260(种)49 35 2(2)分两步完成：第一步：按 4本、3 本、2 本分成三组有 C C C 种方法；49 35 2第二步：将分成的三组书分给甲、乙、丙三个人，有 A 种方法，3共有 C C C A 7 560(种)49 35 2 320解 ( x 1) 5( x )1 5，1x 1x通项为 Tk1 C (x )5 k(1) k(0 k5)k51x当 k5 时， T6C (1) 51，5当 0 k5时，( x )5 k的通项为1xTr1 C x5 k r( )rC x5 k2 r(0 r5 k)r5 k1x
12、 r5 k0 k5，且 kZ,5 k2 r0， k只能取 1或 3，相应 r的值分别为 2或 1，常数项为 C C (1)C C (1) 3(1)51.1524 351221证明 Sn(21) n3 n， n为偶数，设 n2 r(rN *)， Sn4 n19 r8 r1(81) r8 r1(C 8r2 C 8r3 C )82，(*)0r 1r r 2r当 r1 时，9 r8 r10，显然 Sn4 n1 能被 64整除；当 r2 时，(*)式能被 64整除 n为偶数时， Sn4 n1 能被 64整除22解 令 x1 得展开式各项系数和为(13) n4 n，又展开式二项式系数和为 C C C 2 n，0n 1n n由题意知 4n2 n992，即(2 n)22 n9920，(2n32)(2 n31)0，2 n32， n5.所以展开式共有 6项，其中二项式系数最大的项为第三项和第四项，它们是 T3C ( )3(3x2)290 x6.253x2T4C ( )2(3x2)3270 x ，353x2223设展开式中第 r1 项的系数最大又 Tr1 C ( )5 r(3x2)rC 3rx ，r53x2 r510 4r3得Error!即Error!6解得 r ，又 rN， r4.72 92所以展开式中第 5项系数最大，T5C 34x 405 x .45263 263
