1、11.2 基本不等式(一)1.理解并掌握定理 1、定理 2，会用两个定理解决函数的最值或值域问题.2.能运用平均值不等式(两个正数的)解决某些实际问题.自学导引1.定理 1(重要不等式)：对于任意实数 a， b， a2 b22 ab，当且仅当 a b 时，等号成立.2.定理 2(基本不等式)：如果 a， b 是正数，那么 ，当且仅当 a b 时，等号成立.aba b23.我们常把 叫做正数 a， b 的算术平均值，把 叫做正数 a， b 的几何平均值，所以基a b2 ab本不等式又可叙述为：两个正数的算术平均值不小于它们的几何平均值.4.关于用不等式求函数最大、最小值(1)若 x0、 y0，且
2、 xy p(定值)，则当 x y 时， x y 有最小值 2 .p(2)若 x0、 y0，且 x y s(定值)，则当 x y 时， xy 有最大值 .s24基础自测1.设 02 ， a22ab，且 ab0， b0，所以 2 ，即 ab2 ，当且仅当1a 2b ab ab 1a 2b 2ab 22即 a ， b 2 时取“”，所以 ab 的最小值为 2 .1a 2b，1a 2b ab， ) 42 42 2答案 C3.若正数 a， b 满足 ab a b3，则 ab 的取值范围是_.解析 a0， b0，ab a b32 3，ab( )22 30，ab ab 3 或 1(舍去)，ab ab ab9
3、.答案 9，)知识点 1 不等式证明【例 1】 求证： a7 (其中 a3).4a 3证明 a ( a3)3，4a 3 4a 3由基本不等式，得 a ( a3)34a 3 4a 32 32 37.4a 3（ a 3） 4当且仅当 a3，即 a5 时取等号. 4a 3反思感悟：在利用基本不等式证明的过程中，常需要把数、式合理地拆成两项或多项或恒等地变形配凑成适当的数、式，以便于利用基本不等式.1.若 a， bR ，且 a b1，求证： 9.(11a)(1 1b)证明 方法一： 1 (11a)(1 1b) 1a 1b 1ab1 1 9.2ab 2(a b2 )2 方法二： (11a)(1 1b)
4、(1 a ba )(1 a bb )3 52 9.(2ba)(2 ab) (ba ab)知识点 2 最值问题【例 2】 设 x， yR 且 3，求 2x y 的最小值.1x 2y解 方法一：2 x y 3(2x y)13 (2x y) .13 (1x 2y) 13(4 yx 4xy) 83当且仅当 ，即 x ， y 时，等号成立，yx 4xy 23 432 x y 的最小值为 .83方法二：设 ， 1x 3mm n 2y 3nm n则 x ， y13(1 nm) 23(1 mn)2x y 23(1 nm) 23(1 mn) 43 23(nm mn) ，当且仅当 m n，即 x ， y 时，取得
5、最小值 .83 23 43 83反思感悟：利用基本不等式求最值，关键是对式子恰当的变形，合理构造“和式”与“积式”的互化，必要时可多次应用.注意一定要求出使“”成立的自变量的值，这也是进一步检验是否存在最值.2.已知 x0， b0 且 a b， ， 2 ，a b2 ab 1a 1b 1ab 2ab ，21a 1b ab a b221a 1b乙公司的平均成本比较低.3.某单位决定投资 3 200 元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米造价 40 元，两侧砌砖墙，每米造价 45 元，顶部每平方米造价 20 元.试问：(1)仓库底面积 S 的最大允许值是多少？(2
6、)为使 S 达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？解 设铁栅长为 x 米，一堵砖墙长为 y 米，则有 S xy，由题意得：40x245 y20 xy3 200.(1)由基本不等式，得3 2002 20 xy120 20 xy40x90y xy120 20 S，S S6 160，即( 16)( 10)0.S S S 160， 100，从而 S100.S S S 的最大允许值是 100 m2.(2)S 取最大值的条件是 40x90 y，又 xy100，由此解得 x15.正面铁栅的长度应设计为 15 米.课堂小结1.两个不等式： a2 b22 ab 与 成立的条件是不同的，前者
7、要求 a， b 都是实数，a b2 ab后者要求 a， b 都是正数.如(3) 2(2) 22(3)(2)是成立的，而 2（ 3） （ 2）25是不成立的.（ 3） （ 2）2.两个不等式： a2 b22 ab 与 都是带有等号的不等式，对于“当且仅当时，a b2 ab取号”这句话的含义要有正确的理解.当 a b 取等号，其含义是 a b ；a b2 ab仅当 a b 取等号，其含义是 a b.a b2 ab综合上述两条， a b 是 的充要条件.a b2 ab3.与基本不等式有关的两个常用不等式：(1) 2 ( a、 b 同号)；ba ab(2) (a0， b0).21a 1b ab a b
8、2 a2 b22随堂演练1.设实数 x， y，满足 x2 y21，当 x y c0 时， c 的最大值是( ) A. B.2 2C.2 D.22 2解析 方法一：设 xcos ， ysin ， ，当 x y c0 时，c x y(cos sin ) sin ，2 ( 4)当 sin 1 时， cmax .( 4) 2方法二： c2( x y)22( x2 y2)2 c ， cmax .2 2 2答案 A2.若 log4(3a4 b)log 2 ，则 a b 的最小值是( )abA.62 B.723 3C.64 D.743 3解析 先判断 a， b 的符号，再将已知的式子转化为关于 a， b 的
9、方程，最后根据基本不等式求解.由题意得 所以ab0，ab 0，3a 4b0， ) a0，b0.)6又 log4(3a4 b)log 2 ，ab所以 log4(3a4 b)log 4ab，所以 3a4 b ab，故 1.4a 3b所以 a b( a b) 7 72 7 4 ，当且仅当 时取等号，(4a 3b) 3ab 4ba 3ab4ba 3 3ab 4ba故选 D.答案 D3.已知 x0， y0，且 1，求 x y 的最小值_.1x 9y解析 x0， y0， 1， x y( x y) 1061016，1x 9y (1x 9y) yx 9xy当且仅当 时，上式等号成立.yx 9xy又 1， x4
10、， y12 时，( x y)min16.1x 9y答案 164.x， y， zR ， x2 y3 z0， 的最小值是_.y2xz解析 由 x2 y3 z0，得 y ，将其代入 ，x 3z2 y2xz得 3，x2 9z2 6xz4xz 6xz 6xz4xz当且仅当 x3 z 时取“”.答案 3基础达标1.若 a， bR ，且 a b1，则 的最大值为( )a 1 b 1A. B. C. D.23 2 6 3答案 C2.若 a， bR ，且 a b2，则 的最小值为( )1a 1bA.1 B.2C. D.42答案 B3.下列命题： x 最小值是 2； 的最小值是 2； 的最小值是1x x2 2x2
11、 1 x2 5x2 472；23 x 的最小值是 2.其中正确命题的个数是( )4xA.1 B.2C.3 D.4解析 当 x0 时，23 x 2 22 24 ，4x (3x 4x) 12 3当 x0， b0， a b2 0，ab当且仅当 a b 时，取等号. 2 0，当且仅当 ，即 a b 时取等号.1a 1b 1ab 1a 1b8，得( a b) 2 2 4，(1a 1b) ab 1ab当且仅当 a b 时，取等号.综合提高7.函数 ylog 2 (x1)的最小值为( )(x1x 1 5)A.3 B.3C.4 D.4解析 x1， x10，ylog 2 log 2(x1x 1 5) (x 1
12、1x 1 6)log 2(26)log 283.答案 B8.要制作一个容积为 4 m3，高为 1 m 的无盖长方体容器.已知该容器的底面造价是每平方米 20 元，侧面造价是每平方米 10 元，则该容器的最低总造价是( )A.80 元 B.120 元C.160 元 D.240 元解析 设底面矩形的一条边长是 x m，总造价是 y 元，把 y 与 x 的函数关系式表示出来，再利用均值(基本)不等式求最小值.由题意知，体积 V4 m3，高 h1 m，所以底面积 S4 m2，设底面矩形的一条边长是 x m，则另一条边长是 m，又设总造价是 y 元，则4xy20410 8020 160，当且仅当 2x
13、，即 x2 时取得等号.(2x8x) 2x8x 8x答案 C9.设 a， b0， a b5，则 的最大值为_.a 1 b 3解析 将 进行平方，为使用基本不等式创造条件，从而求得最值.a 1 b 3令 t ，则a 1 b 3t2 a1 b32 92 9 a1 b313 a（ a 1） （ b 3） （ a 1） （ b 3） b13518，当且仅当 a1 b3 时取等号，此时 a ， b .72 32 tmax 3 .18 2答案 3 210.对于 c0，当非零实数 a， b 满足 4a22 ab b2 c0 且使|2 a b|最大时， 的1a 2b 4c9最小值为_.解析 利用均值不等式找到
14、|2 a b|取得最大值时等号成立的条件，从而可以用字母 c 表示a， b，再求 的最小值.1a 2b 4c由题意知， c4 a22 ab b2(2 a b)26 ab，(2 a b)2 c6 ab.若|2 a b|最大，则 ab0.当 a0， b0 时，(2a b)2 c6 ab c32 ab c3 ，(2a b2 )2 (2 a b)2 c (2a b)2，(2 a b)24 c，|2 a b|2 ，当且仅当 b2 a，即34 c时取等号.a c2，b c)此时 0.1a 2b 4c 2c 2c 4c当 a0， b0 时，(2a b)2 c6 ab c3(2 a)( b) c3 ，( 2a
15、 b2 )2 (2 a b)24 c，|2 a b|2 ，即2 a b2 .c c当且仅当 b2 a，即 时取等号.a c2，b c)此时 4 11 ，当 ，即 c4 时等号成立.1a 2b 4c 2c 2c 4c 4c 4c (1c 12)2 1c 12综上可知，当 c4， a1， b2 时， 1.(1a 2b 4c) min答案 111.若 a0， b0，且 .1a 1b ab(1)求 a3 b3的最小值；(2)是否存在 a， b，使得 2a3 b6？并说明理由.解 (1)由 ，得 ab2，且当 a b 时等号成立.ab1a 1b 2ab 2故 a3 b32 4 ，且当 a b 时等号成立
16、.a3b3 2 2所以 a3 b3的最小值为 4 .2(2)由(1)知，2 a3 b2 4 .6ab 310由于 4 6，从而不存在 a， b，使得 2a3 b6.312.经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量 y(千辆/时)与汽车的平均速率 v(千米/时)之间的函数关系为 y (v0).920vv2 3v 1 600(1)在该时段内，当汽车的平均速度 v 为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？(精确到 0.1 千辆/时)(2)若要求在该时段内车流量超过 10 千辆/时，则汽车的平均速度应在什么范围内？解 (1)依题意， y 11.1( 千辆/时)9203 (v 1 600v ) 9203 21 600 92083(2)由条件得 10，920vv2 3v 1 600整理得 v289 v1 6000，即( v25)( v64)0，解得 25 v64.答 当 v40 千米/时时，车流量最大，最大车流量约为 11.1 千辆/时.如果要求在该时段内车流量超过 10 千辆/时，则汽车的平均速度应大于 25 千米/时且小于 64 千米/时.
