1、1第一章 不等式的基本性质和证明的基本方法本章复习课1.掌握不等式的基本性质，会应用基本性质进行简单的不等式变形.2.熟练掌握一元一次不等式、一元二次不等式的解法.3.理解绝对值的几何意义，理解绝对值三角不等式，会利用绝对值三角不等式证明有关不等式和求函数的最值.4.会解四种类型的绝对值不等式：|ax b| c，| ax b| c，| x c| x b| m，| x c| x b| m.5.会用平均值不等式求一些特定函数的最值.6.理解不等式证明的五种方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法，会用它用证明比较简单的不等式.知识结构知识梳理1.实数的运算性质与大小顺序的关系： aba b0，
2、 a ba b0， a0)或ax2 bx c0 (a0)， ax2 bx c0 (a0)的解集实质上是函数 f(x) ax2 bx c (a0)的函数值 f(x)0 对应的自变量 x 的取值范围，方程 ax2 bx c0 (a0)的根实质上是函数 f(x)的图象与 x 轴交点的横坐标，方程的根也是方程对应的一元二次不等式解集的端点值.4.基本不等式(1)定理 1：若 a， bR，则 a2 b22 ab (当且仅当 a b 时取“”).(2)定理 2：若 a， bR ，则 (当且仅当 a b 时取“”).a b2 ab2(3)引理：若 a， b， cR ，则 a3 b3 c33 abc(当且仅当
3、 a b c 时取“”)可以当作重要结论直接应用.(4)定理 3：若 a， b， cR ，则 (当且仅当 a b c 时取“”).a b c3 3abc(5)推论：若 a1， a2， anR ，则 .当且仅当a1 a2 ann na1a2ana1 a2 an时，取“”.(6)在应用基本不等式求最值时一定要注意考察是否满足“一正，二定，三相等”的要求.5.绝对值不等式的解法：解含绝对值的不等式的基本思想是通过去掉绝对值符号，把含绝对值的不等式转化为一元一次不等式，或一元二次不等式.去绝对值符号常见的方法有：(1)根据绝对值的定义；(2)平方法；(3)分区间讨论.6.绝对值三角不等式：(1)|a|
4、的几何意义表示数轴上的点到原点的距离，| a b|的几何意义表示数轴上两点间的距离.(2)|a b| a| b| (a， bR， ab0 时等号成立).(3)|a c| a b| b c| (a， b， cR，( a b)(b c)0 等号成立).(4)|a| b| a b| a| b| (a， bR，左边“”成立的条件是 ab0，右边“”成立的条件是 ab0).(5)|a| b| a b| a| b| (a， bR，左边“”成立的条件是 ab0，右边“”成立的条件是 ab0).7.不等式证明的基本方法(1)比较法：作差法与作商法.(2)综合法：强调将问题进行合理变形转换，使之能运用定义、公理
5、、定理、性质推证命题.(3)分析法：强调书写步骤的合理性，注意逻辑上的充分性，步步可逆不是指等价，当然等价也行.(4)反证法：反证法是一种“正难则反”的方法，反证法适用的范围：直接证明困难；需要分成很多类进行讨论；“唯一性”、“存在性”的命题；结论中含有“至少”、“至多”及否定性词语的命题.(5)放缩法：放缩法就是将不等式的一边放大或缩小，寻找一个中间量，常用的放缩技巧有：舍掉(或加进)一些项；在分式中放大或缩小分子或分母；应用基本不等式放缩.例如 ， ， 2 且 kN *).(a12)2 34(a 12)2 1k2 1k（ k 1） 1k2 1k（ k 1） 1k 2k k 1典例剖析知识点
6、 1 基本不等式的应用3【例 1】 求函数 y x2(15 x) 的最值.(0 x15)解 y x2 xx ，52 (25 2x) 52 (25 2x)0 x ， 2 x0.15 25 y .52x x (25 2x)3 3 4675当且仅当 x 2 x，25即 x 时， y 取得最大值且 ymax .215 4675知识点 2 证明不等式(利用函数的单调性)【例 2】 已知 ABC 的三边长是 a， b， c，且 m 为正数，求证： .aa m bb m cc m证明 设函数 f(x) 1 (x0， m0).xx m mx m易知 f(x)在(0，)上是增函数. f(a) f(b) aa m
7、 bb m f(a b).aa b m ba b m a ba b m又 a bc， f(a b)f(c) ，cc m .aa m bb m cc m知识点 3 应用绝对值三角不等式证明不等式【例 3】 已知 f(x) x2 ax b (a， bR)的定义域为1，1.(1)记| f(x)|的最大值为 M，求证： M ；12(2)当 M 时，求 f(x)的表达式.12(1)证明 由题意 M| f(0)|， M| f(1)|， M| f(1)|.4 M2| f(0)| f(1)| f(1)|2| b|1 a b|1 a b|1 a b1 a b2 b|2， M .124(2)解 当 M 时，| f
8、(0)| b| ，12 12 b .12 12同理有 1 a b ， 1 a b .12 12 12 12两式相加122 b1， b .32 12又 b ， b .12 12 12当 b 时，由 1 a b 1 a0；12 12 12由 1 a b 0 a1，即 a0.12 12 f(x) x2 .12基础达标1.若 a， b， x， yR，则 是 成立的( )x ya b（ x a） （ y b） 0) xayb)A.充分条件 B.必要条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件解析 由( x a)(y b)0 知， x a 与 y b 同号，由 x ya b 得( x a)( y b)0，即
9、( x a)，( y b)同正，所以 如果 易知xa，yb.) xa，yb.) x ya b，（ x a） （ y b） 0.)答案 C2.若 a3 b32，则( )A.a b2 D.a b2解析 a3 b32，( a b)(a2 b2 ab)2，(a b)(a b)23 ab2.(a b)33( a b)ab23( a b) 2.(a b2 )2 ( a b)38， a b2.5答案 B3.设 a0， b0，下列不等式中不正确的是( )A.a2 b22 ab B. 2ba abC. a b D. b2a a2b 1a 1b 1a b解析 0，故选 D.1a 1b 1a b a bab 1a
10、b （ a b） 2 abab（ a b） a2 ab b2ab（ a b）答案 D4.A1 与 (nN )的大小关系是_.12 13 1n n解析 A1 ， A .12 13 1n 1n 1n 1n nn n n答案 A n5.若 a ，则 a b 的最小值是_.1 b2解析 设 bsin ， ， 2 2则 acos ， a b sin .2 ( 4) ， 4 4 34 sin 1，22 ( 4)故1 a b .2答案 16.解不等式|2 x4|3 x9|2 时，原不等式等价于x2x2，（ 2x 4） （ 3x 9） 或 x0)满足 f(m)0 D.f(m1)0.答案 C8.设 00 时，
11、f(x)11x2 1x f(x)在(0，)上为减函数.又 b .a b2 ab答案 D9.若正数 a， b 满足 ab a b3，则 ab 的取值范围是_.解析 由 ab a b32 3，令 x，则有ab abx22 x3 x22 x30，解 x 求 的范围.abx3 或 x1(舍去)， ab9.答案 9，)10.函数 y12 x 的值域是_.3x解析 |2 x| 2 .|2x3x| 3|x| 62 x 2 ，)或(，2 .3x 6 6 y(，2 12 1，).6 6答案 (，2 12 1，)6 6711.设 abc1，记 M a ， N a ， P2 ， Q3 ，试找c b (a b2 ab) (a b c3 3abc)出其中的最小者，并说明理由.解 bc0， ， Nbc1， c ，ab从而 QP，又 N P2 b (2 1 )ab b b a b ( 1)( )0( abc1)b a a b P0，4 cd(a b)(c d).结合，得 4cdab cd，3 cdab，即 cd ab.13由，得( a b)2 ab，即 a2 b2 ab，矛盾.43 23不等式、中至少有一个不正确.
