1、13.1 变化率与导数3.1.1 变化率问题3.1.2 导数的概念3.1.3 导数的几何意义【选题明细表】知识点、方法 题号函数的平均变化率 1,2,6函数的导数 3,7导数的几何意义 4,9,12,13导数在物理中的应用 5综合问题 8,10,11【基础巩固】1.设函数 y=f(x),当自变量由 x0变到 x0+x 时,函数值的改变量 y 为( D )(A)f(x0+x) (B)f(x0)+x(C)f(x0)x (D)f(x0+x)-f(x 0)解析:函数值的改变量为 f(x0+x)-f(x 0),所以 y=f(x 0+x)-f(x 0).故选 D.2.已知一个物体的运动方程为 s=1-t+
2、t2,其中 s 的单位是 m,t 的单位是 s,那么物体在时间3,3+ts 内的平均速度是( A )(A)(5+t)(m/s) (B)5+(t) 2(m/s)(C)5(t) 2+t(m/s) (D)5(t) 2(m/s)解析:因为 s=1-(3+t)+(3+t) 2-(1-3+32)=(t) 2+5t,所以物体在时间3,3+ts 内的平均速度是 = =t+5.故选 A.3.(2018延安高二月考)函数 f(x)在 x0处可导,则( B )(A)与 x0,h 都有关(B)仅与 x0有关,而与 h 无关(C)仅与 h 有关,而与 x0无关(D)与 x0,h 均无关解析:因为 f(x 0)= ,所以
3、 f(x 0)仅与 x0有关,与 h 无关.故选 B.4.(2018徐州高二检测)曲线 f(x)=3x+x2在点(1,f(1)处的切线方程为( A )(A)y=5x-1 (B)y=-5x+1(C)y= x+1 (D)y=- x-12解析:k= =5.f(1)=4.由点斜式得 y-4=5(x-1),即 y=5x-1.故选 A.5.(2018长春高二检测)一质点运动的方程为 s=5-3t2,若该质点在 t=1 到 t=1+t 这段时间内的平均速度为-3t-6,则该质点在 t=1 时的瞬时速度是( D )(A)-3 (B)3 (C)6 (D)-6解析:当 t 趋近于 0 时,-3t-6 趋近于-6,
4、即 t=1 时该质点的瞬时速度是-6.故选 D.6.如图,函数 y=f(x)在 A,B 两点间的平均变化率是 . 解析: = =-1.答案:-17.已知 f(x 0)= ,f(3)=2,f(3)=-2,则 的值是 . 解析: =-3 +=-3f(3)+=-3f(3)+2=8.答案:88.已知直线 l1为曲线 y=x2+x-2 在(1,0)处的切线,l 2为该曲线的另一条切线,且 l1l 2.(1)求直线 l2的方程.(2)求由直线 l1,l2和 x 轴围成的三角形的面积.解:(1)y= (2x+x+1)=2x+1.3y x=1=21+1=3,所以直线 l1的方程为 y=3(x-1),即 y=3
5、x-3.设直线 l2过曲线 y=x2+x-2 上的点 B(b,b2+b-2),则 l2的方程为 y=(2b+1)x-b2-2.因为 l1l 2,则有 2b+1=- ,b=- .所以直线 l2的方程为 y=- x- .(2)解方程组 得所以直线 l1和 l2的交点坐标为( ,- ).l1,l2与 x 轴交点的坐标分别为(1,0),(- ,0).所以所求三角形的面积 S= - = .【能力提升】9.(2018杭州高二检测)设 P 为曲线 C:y=x2+2x+3 上的点,且曲线 C 在点 P 处的切线倾斜角的取值范围是0, ,则点 P 横坐标的取值范围为( A )(A)-1,- (B)-1,0(C)
6、0,1 (D) ,1解析:设点 P(x0,y0),则f(x 0)= (2x0+2+x)=2x 0+2.结合导数的几何意义可知 02x 0+21,解得-1x 0- .故选 A.10.已知函数 f(x)=x2+2bx 的图象在点 A(0,f(0)处的切线 l 与直线 x+y+3=0 垂直,若数列4的前 n 项和为 Sn,则 S2 018的值为( A )(A) (B) (C) (D)解析:由题意可得 A(0,0),函数 f(x)=x2+2bx 的图象在点 A(0,0)处的切线 l 的斜率 k=2b,由 l 与直线 x+y+3=0 垂直,可得 2b(-1)=-1,所以 b= .因为 f(n)=n2+2
7、bn=n2+n=n(n+1),所以 = - ,故数列 的前 n 项和为 Sn=(1- )+( - )+( - )+( - )=1- ,所以 S2 018=1- = .故选 A.11.(2018甘肃质检)若点 P 是抛物线 y=x2上任意一点,则点 P 到直线 y=x-2 的最小距离为 .解析:由题意可得,当点 P 到直线 y=x-2 的距离最小时,点 P 为抛物线 y=x2的一条切线的切点,且该切线平行于直线 y=x-2,设 P(x0, ),由导数的几何意义知 y =2x0=1,得 x0= ,所以 P( , ),故点 P 到直线 y=x-2 的最小距离d= = .答案:12.已知曲线 C:y=
8、x3.(1)求曲线 C 上横坐标为 1 的点处的切线的方程;(2)第(1)小题中的切线与曲线 C 是否还有其他的公共点?解:(1)将 x=1 代入曲线 C 的方程得 y=1,所以切点为 P(1,1).因为 y= =5= 3x2+3xx+(x) 2=3x2,所以 y =3.所以过 P 点的切线方程为 y-1=3(x-1),即 3x-y-2=0.(2)由可得(x-1)(x 2+x-2)=(x-1)2(x+2)=0,解得 x1=1,x2=-2.从而求得公共点为(1,1)或(-2,-8).说明切线与曲线 C 的公共点除了切点 P 外,还有另外的点(-2,-8).【探究创新】13.(2018银川高二月考
9、)设函数 f(x)=x3+ax2-9x-1(a0).若曲线 y=f(x)的斜率最小的切线与直线 12x+y=6 平行,则 a 的值为 . 解析:设曲线 y=f(x)与斜率最小的切线相切于点(x 0,y0),因为 y=f(x 0+x)-f(x 0)=(x0+x) 3+a(x0+x) 2-9(x0+x)-1- ( +a -9x0-1)=(3 +2ax0-9)x+(3x 0+a)(x) 2+(x) 3,所以 =3 +2ax0-9+(3x0+a)x+(x) 2.当 x 无限趋近于零时, 无限趋近于 3 +2ax0-9.即 f(x 0)=3 +2ax0-9.所以 f(x 0)=3(x0+ )2-9- .当 x0=- 时,f(x 0)取最小值-9- .因为斜率最小的切线与 12x+y=6 平行,所以该切线斜率为-12.所以-9- =-12.解得 a=3.又 a0,所以 a=-3.答案:-3
