1、13.2.2 复数的乘法和除法学习目标 1.掌握复数代数形式的乘法和除法运算.2.理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律.3.掌握共轭复数的性质知识点一 复数的乘法思考 怎样进行复数的乘法运算？答案 两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要把已得结果中的 i2换成1，并且把实部与虚部分别合并即可梳理 (1)复数的乘法设 z1 a bi， z2 c di， a， b， c， dR，定义 z1z2( ac bd)( ad bc)i.(2)复数乘法的运算律对任意复数 z1， z2， z3，有交换律 z1z2 z2z1结合律(z1z2)z3 z1(z2z3)乘法对加法的分配律z1(z2 z3
2、) z1z2 z1z3对复数 z， z1， z2和自然数 m， n 有 zmzn zm n，( zm)n zmn，( z1z2)n z z .n1 n2(3)共轭复数的性质设 z 的共轭复数为 ，则：z z | z|2| |2.z z ( )2.z2 z .z1z2 z1 z2知识点二 复数的除法法则思考 类比根式除法的分母有理化，比如 ，你能写出复数的除法法则1 33 2 1 33 23 23 2吗？答案 设 z1 a bi， z2 c di(c di0)，则 i.z1z2 a bic di ac bdc2 d2 bc adc2 d22梳理 (1)复数的倒数已知 z a bi(a， bR)，
3、如果存在一个复数 z，使 zz1，则 z叫做 z 的倒数，记作 .1z(2)复数的除法法则设 z1 a bi， z2 c di(c di0)，则 i(a， b， c， dR 且z1z2 a bic di ac bdc2 d2 bc adc2 d2c di0)特别提醒：复数的除法和实数的除法有所不同，实数的除法可以直接约分、化简得出结果；而复数的除法是先将两复数的商写成分式，然后分母实数化(分子、分母同乘分母的共轭复数)1复数加、减、乘、除的混合运算法则是先乘除，再加减( )2两个共轭复数的和与积是实数( )3若 z1， z2C，且 z z 0，则 z1 z20.( )21 2类型一 复数的乘除
4、运算例 1 计算：(1)(1i)(1i)(1i)；(2) (1i) ；(12 32i)(32 12i)(3)(23i)(12i)；(4) .3 2i2 3i 3 2i2 3i解 (1)(1i)(1i)(1i)1i 2(1i)21i1i.(2) (1i)(12 32i)(32 12i) (1i)(34 34) (34 14)i (1i)(32 12i) i(32 12) (12 32)3 i.1 32 1 32(3)(23i)(12i) 2 3i1 2i 2 3i1 2i1 2i1 2i i. 2 6 3 4i12 22 45 75(4)方法一 3 2i2 3i 3 2i2 3i3 2i2 3i
5、 3 2i2 3i2 3i2 3i 2i.6 13i 6 6 13i 64 9 26i13方法二 3 2i2 3i 3 2i2 3i i2 3i2 3i i2 3i2 3iii2i.反思与感悟 (1)复数的乘法运算可以把 i 看作字母，类比多项式的乘法进行(2)复数的除法一般先写成分式形式，再把分母实数化，类比实数中的分母有理化进行跟踪训练 1 计算：(1)(1i) (1i)；(12 32i)(2) ；2 3i3 2i(3) .i 2i 11 ii 1 i解 (1)原式(1i)(1i) (12 32i)2 1 i.(12 32i) 3(2)原式 i.2 3ii3 2ii 2 3ii2 3i(3
6、)原式 i1.i 2i 1i 2类型二 共轭复数的性质及应用例 2 已知复数 z 满足： z 2i z86i，求复数 z 的实部与虚部的和z解 设 z a bi(a， bR)，4则 z a2 b2，z a2 b22i( a bi)86i，即 a2 b22 b2 ai86i，Error! 解得Error! a b4，复数 z 的实部与虚部的和是 4.反思与感悟 (1) z | z|2| |2是共轭复数的常用性质z z(2)实数的共轭复数是它本身，即 zR z ，利用此性质可以证明一个复数是实数z(3)若 z0 且 z 0，则 z 为纯虚数，利用此性质可证明一个复数是纯虚数z跟踪训练 2 已知复数
7、 z 满足| z|1，且(34i) z 是纯虚数，求 z 的共轭复数 .z解 设 z a bi(a， bR)，则 a bi 且| z| 1，即 a2 b21.z a2 b2因为(34i) z(34i)( a bi)(3 a4 b)(3 b4 a)i，而(34i) z 是纯虚数，所以 3a4 b0，且 3b4 a0.由联立，解得Error!或Error!所以 i 或 i.z45 35 z 45 35类型三 i n的周期性例 3 计算：(1)(4i 5)(62i 7)(7i 11)(43i)；(2) ； 1 3i31 i6 2 i1 2i(3) 2 016 . 23 i1 23i ( 21 i)
8、4 8i2 4 8i211 7i解 (1)原式2(4i)(3i)(7i)(43i)2(123i4ii 2)(284i21i3i 2)4739i.(2)原式 1 3i31 i23 2 i1 2i5 3iii0. 1 3i32i3 2 4i i 25 (3 i2 )(3)原式 1 0080 (i) 1 008i1. 23 i1 23i1 23i1 23i ( 21 i)2 13i1 12反思与感悟 (1)i n的周期性i 4n1 i，i 4n2 1，i 4n3 i，i 4n1( nN )i ni n1 i n2 i n3 0( nN )(2)记住以下结果，可提高运算速度5(1i) 22i，(1i)
9、 22i. i， i.1 i1 i 1 i1 i i.1i设 i，则 2 i， 31,1 20.12 32 12 32跟踪训练 3 计算：1ii 2i 3i 2 012.解 i 21，i 3ii 2i，i 4(i 2)21，i 5i 4ii，i 4n1 i，i 4n2 1，i 4n3 i，i 4n1 且 ii 2i 3i 40，1ii 2i 3i 2 0121(ii 2i 3i 4)5031.1若复数 z ，其中 i 为虚数单位，则 等于( )21 i zA1i B1i C1i D1i答案 B解析 z 1i，21 i 21 i1 i1 i 21 i2 1i，故选 B.z2设复数 z11i， z
10、2 mi，若 z1z2为纯虚数，则实数 m 可以是( )Ai Bi 2 Ci 3 Di 4答案 B解析 z1z2(1i)( mi) m1( m1)i. z1z2为纯虚数，Error! 即Error!得 m1，i 21，实数 m 可以是 i2，故选 B.3.已知 i 为虚数单位，图中复平面内的点 A 表示复数 z，则表示复数 的点是( )z1 iA M B N6C P D Q答案 D解析 由图可知 z3i.复数 2i 表示的点是 Q(2，1)故选 D.z1 i 3 i1 i 3 i1 i1 i1 i 4 2i24复数 z 的共轭复数记作 .已知(12i)( 3)43i，则 z_.z z答案 5i
11、解析 (12i)( 3)43i，z 3 ， 3 ，z4 3i1 2i z 4 3i1 2i3 3 5i，z4 3i1 2i1 2i1 2i 10 5i5则 z5i.5已知复数 z 的共轭复数为 ，且 z( 3i) ，求 z.z z101 3i解 设 z a bi(a， bR)，则 a bi，z由 z( 3i) ，得 z 3 zi13i，z101 3i z即 a2 b23 b3 ai13i，由复数相等的充要条件，得Error!解得Error! 或Error!所以 z1 或 z13i.1复数代数形式的乘除运算(1)复数代数形式的乘法类似于多项式乘以多项式，复数的乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法
12、的分配律(2)在进行复数代数形式的除法运算时，通常先将除法写成分式的形式，再把分子、分母都乘以分母的共轭复数，化简后可得，类似于以前学习的分母有理化2共轭复数的性质可以用来解决一些复数问题3复数问题实数化思想复数问题实数化是解决复数问题的基本思想方法，其桥梁是设复数 z a bi(a， bR)，利用复数相等的充要条件转化.7一、选择题1设 i 是虚数单位， 表示复数 z 的共轭复数若 z1i，则 i 等于( )zzi zA2 B2i C2 D2i答案 C解析 z1i， 1i，z则 i i(1i)1ii12.zi z 1 ii2若复数 z 满足(34i) z|43i|，则 z 的虚部为( )A4
13、 B C4 D.45 45答案 D解析 (34i) z|43i|， z |4 3i|3 4i 53 4i i，53 4i3 4i3 4i 35 45则 z 的虚部是 .453若 z 6， z 10，则 z 等于( )z zA13i B3iC3i D3i答案 B解析 设 z a bi(a， bR)，由题意得Error!得 Error!或Error! z3i.4已知复数 z ， 是 z 的共轭复数，则 z 等于 ( )3 i1 3i2 z zA. B. C1 D214 12答案 A解析 z 3 i1 3i1 3i 3 ii1 3ii1 3i8 .3 ii3 i1 3i i1 3i 3 i4z .z
14、 3 i4 3 i4 145已知复数 z (bR)的实部为1，则复数 b 在复平面内对应的点位于( )4 bi1 i zA第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限答案 C解析 z 4 bi1 i 4 bi1 i1 i1 i i，4 b 4 bi2 4 b2 4 b2又复数 z (bR)的实部为1，4 bi1 i则 1，即 b6.4 b2 z15i，则 15i.z复数 b15i675i，在复平面内对应的点的坐标为(7，5)，位于第三象z限故选 C.6i 为虚数单位，i 607的共轭复数为( )Ai Bi C1 D1答案 A7当 z 时， z100 z501 的值等于( )1 i2A1 B1 C
15、i Di答案 D解析 z2 i，1 i22则 z100 z501(i) 50(i) 251i 1242 (1) 25i641 11i1i.二、填空题8已知 bi( a， bR)，其中 i 为虚数单位，则 a b_.a 2ii答案 1解析 2 ai bi，a 2ii9即Error! 得Error! a b1.9设复数 z12i， z213i，则复数 的虚部为_iz1 z25答案 1解析 i i ii，虚部为 1.iz1 z25 i2 i 1 3i5 i2 i5 15 35 15 25 15 3510定义一种运算： ad bc，则复数 的共轭复数是_a bc d 1 i 12 3i考点 共轭复数的
16、定义与应用题点 利用定义求共轭复数答案 13i解析 3i(1i)213i，1 i 12 3i其共轭复数为13i.11如图，在复平面内，复数 z1， z2对应的向量分别是 ， ，则复数 对应的点位于第OA OB z1z2_象限答案 二解析 由复数的几何意义知， z12i， z2i，所以 12i，对应的点在第二象限z1z2 2 ii三、解答题12已知 i 是虚数单位，且复数 z 满足( z3)(2i)5.(1)求 z 及| z23i|；(2)若 z(ai)是纯虚数，求实数 a 的值解 (1)( z3)(2i)5， z 3 352 i 52 i2 i2 i(2i)35i.| z23i|34i| 5.
17、32 42(2)由(1)可知， z5i， z(ai)(5i)( ai)(5 a1)( a5)i.10又 z(ai)是纯虚数，5 a10 且 a50，解得 a .1513已知 z 是复数， z2i 与 均为实数(i 为虚数单位)，且复数( z ai)2在复平面内对z1 i应的点在第一象限，求实数 a 的取值范围解 z 是复数， z2i 与 均为实数，z1 i可设 z x2i( xR)，x 2i1 i x 2i1 i2 ，2 x x 2i2可得 x2.因为复数( z ai)2(22i ai)2 a24 a4( a2)i，因为复数( z ai)2在复平面内对应的点在第一象限，所以Error!所以Er
18、ror!即 2a4.所以实数 a 的取值范围为(2,4)四、探究与拓展14投掷两颗骰子，得到其向上的点数分别为 m 和 n，则复数( m ni)(n mi)为实数的概率为_考点 复数的乘除法运算法则题点 乘除法的综合应用答案 16解析 易知( m ni)(n mi) mn m2i n2i mn2 mn( n2 m2)i.若复数( m ni)(n mi)为实数，则 m2 n2，即( m， n)共有(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)，(5,5)，(6,6)，6 种情况，所以所求概率为 .636 1615已知 z， 为复数，(13i) z 为纯虚数， ，且| |5 ，求 .z2 i 2解 设 z m ni(m， nR)，11因为(13i) z(13i)( m ni) m3 n(3 m n)i 为纯虚数，所以 m3 n0，且 3m n0， .z2 i m ni2 i 2m n 2n mi5由| |5 ，得2 (5 )2，2m n225 2n m225 2即 m2 n2250.由可得Error!或Error!代入 ，得 (7i)2m n 2n mi5
